ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2011
KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A
Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )

A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm )
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
−
=
−
(C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận
tại A, B. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
3 3
sin .sin 3 os .cos3 1
8
tan .tan
6 3
x x c x x
x x
π π
+
= −
   

BAD
bằng
0
60
. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể
tích khối đa diện AA’BDMN theo
a
.
Câu V. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
2 2 2
1a b c+ + =
, ta có:
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
− + − + − +
+ + ≤
+ + +
.
B. PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
I. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của
hai đường thẳng: d

2 3 1
0 1 2
2 2 2 6560
2
2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
+
+ + + + =
+ +
.
II. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có phương trình
7x – y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
1 0x y z+ + − =
và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2).
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MA MB−
đạt giá trị lớn nhất.
Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hệ phương trình
2
3 3
3
2
1

y’ =
( )
2
1
0,
1
x D
x
−
< ∀ ∈
−
.
Hàm số nghịch biến trên:
( ) ( )
;1 à 1;v−∞ +∞
0,25
Giới hạn:
lim lim 2
x x→+∞ →−∞
= =
; tiệm cận ngang: y = 2

1 1
lim , lim
x x
+ −
→ →
= +∞ = −∞
; tiệm cận đứng: x = 1
0,25

1
m
m −
), B(2m-1; 2) 0,25
IA =
2 1
2 2
1 1
m
m m
− =
− −
, IB =
2 2 2 1m m− = −
0,25
1
. 2
2
IAB
S IA IB
∆
= =
.
Vậy diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
0,25
II 1 1,0
Điều kiện:
6 2
k
x

0,25
3
1 1
os os2
8 2
c x c x⇔ = ⇔ =
0,25

Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
( )
ai
6
,
6
x k lo
k Z
x k
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= − +



+ − = +


0,25
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
3 3 2 2
1 1 1
1 2 2 2
2 2 2
( ) 2
uv uv u v uv u v
u v u v u v vu u v uv
+ = + = + + = +
+ = − + + = − +
0,25
2 2
2
2 2
2
2

du dx
u x x
x x
x
dv xdx
v
+

=


= + +
 
+ +
⇒
 
=



=


( )
1
2 3 2
2
0
1
1 2

− − + + + −
+ +
= −
∫
0,25
1
2
2
0
1 3
2 2
dx
J
x
=
 
 
+ +
 ÷
 ÷
 
 
∫
. Đặt
1 3
tan , ;
2 2 2 2
x t t
π π
 


⇒

∆
ABD đều
⇒
OA =
3
, 3
2
a
AC a=

SA = 2AA’ = a
3
3, ' AA'
2
a
CC = =
0,25

Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
~ '
'
AO SA
SAO ACC
AC CC
⇒ = ⇒ ∆ ∆

= =
 ÷
 
0,25
2
AA' '
7
32
BDMN SABD SA MN
a
V V V= − =
0,25
V 1,0
Do a, b, c > 0 và
2 2 2
1a b c+ + =
nên a, b, c
( )
0;1∈
Ta có:
( )
2
2
5 3
3
2 2 2
1
2
1
a a

( ) ( ) ( )
2 3
3
f a f b f c⇒ + + ≤
⇒
đpcm
Đẳng thức xảy ra
1
3
a b c⇔ = = =
0,25
VI.a 1 1,0
I
9 3
;
2 3
 
 ÷
 
, M
( )
3;0
0,25
Giả sử M là trung điểm cạnh AD. Ta có: AB = 2IM =
3 2
. 12 2 2
ABCD
S AB AD AD= = ⇒ =
AD qua M và vuông góc với d
1

hoặc
4
1
x
y
=


= −

0,25
Chọn A(2 ; 1)
( ) ( ) ( )
4; 1 7;2 à 5;4D C v B⇒ − ⇒
0,25
2 1,0
Gọi H là trung điểm đoạn AB
8HA
⇒ =
0,25
IH
2
= 17 0,25
IA
2
= 81
9R
⇒ =
0,25
( ) ( ) ( ) ( )

3 1 6560
3 6561 7
1 1
n
n
n
n n
+
+
−
⇔ = ⇔ = ⇔ =
+ +
0,25
7
14 3
7
4
7
4
0
1 1
2
2
k
k
k
x C x
x
−
 


⇒
a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3
⇒
AB:
3 4 32 0; : 4 3 1 0x y AD x y− + = + + =
0,25
Gọi I là tâm hình vuông
⇒
I(
1 9
; )
2 2
−
( )
3;4C⇒
: 4 3 24 0; :3 4 7 0BC x y CD x y⇒ + − = − + =
0,25
KL: 0,25
2 1,0
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)
⇒
B’(-1; -3; 4)
0,25
' 'MA MB MA MB AB− = − ≤
Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng
⇒
M là giao điểm của (P) và AB’
0,25
AB’:

3 2
1
log log
log log 0
2
0
0
, 1
, 2
0
x y
x y
x y ay
x y my
y x
y x
y y a
y y ay

 =
− =
 
⇔
 
+ − =
 

+ − =

 =