1
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

BẰNG LƯỢNG GIÁC HÓA
BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN
Mở đầu: Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới
một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng
nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ
trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học
sinh một phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi TSĐH.
Khi nào thì có thể vận dụng bất đẳng thức trong tam giác?
- Từ điều kiện , , , 1a b c R ab bc ca

    luôn tồn tại 3 góc của tam giác ABC sao cho
tan , tan , tan
2 2 2
A B C
a b c  
- Từ điều kiện , , ,a b c R ab bc ca abc

    bao gìơ cũng tồn tại 3 góc của tam giác sao cho
tan , tan , tana A b B c C  
- Từ điều kiện


2 2 2
, , , *a b c R a b c bc


    với (0;2)


* a,b,c R

 , ab+bc+ca=1
2 2 2
1 ( )( ),1 ( )( ),1 ( )( )a a b a c b b c b a c c a c b             (1)
* a,b
2 2
1
1
1 1
ab
R
a b


  
 
(2) Thật vậy (2) tương đương với
 
2
2 2 2 2
1 (1 )(1 ) 2ab a b ab a b      
*
2 2
2
1
, , , 1
1 1
1
a b

Vì
2 2
1
1
(1 )(1 )
ab
a b


 

đpcm
*
2 2
2 2
2
1 1 2
, , , 1
1 1
1
a b c
a b c R ab bc ca
a b
c

 
      
 



a b a b
 
        
 
 
   
rõ
ràng bất đẳng thức này luôn đúng
- Ta thấy (3)
C
sin sin 2 os
2
A B c   Nhưng ta có
C A-B A-B
sin sin 2 os . os ; os 1
2 2 2
A B c c c
   
   
   
   
đpcm
- Ta thấy (4)
C
osA+cosB 2sin
2
c  Nhưng ta có
C
osA+cosB=2sin . os( ); os( ) 1
2 2 2

2
A B c  nên ta sẽ chứng minh
C
3sin os 10
2 2
C
c  . Theo BĐT Bunhiacopxki
2 2 2
C
(3sin os ) (9 1)(sin os ) 10
2 2 2 2
C C C
c c
     
đpcm
Ví dụ 2)
2 2 2
2 2 3 10
, , 0, 1. :
1 1 1 3
a b c abc a c Cmr
a b c
      
  
(2)
Giải:
Đây là bài toán khó nhưng nhìn kỹ các bạn sẽ thấy
1 1
a c
abc a c ac

2
A B
 

 
 
2
2sin 3sin
2 2
C C
VT   Ta sẽ
chứng minh
2
1
2sin 3sin
2 2 3
C C
 

2 2
1 1
2sin 3sin 0 3(sin ) 0
2 2 3 2 3
C C C
       
. Điều
này là hiển nhiên

đpcm
3

 Điều kiện bài toán trở thành cho a, b,c là các số dương
thỏa mãn bccba 
222
chứng minh
333
53 aabccb  (*)
Coi a, b, c như là 3 cạnh của tam giác ta suy ra góc A=60
0

Ta có BĐT (*)
23222
53)(53)(3))(( abccbaaabccbaabccbcbcb 
vận dụng điều kiện góc A=60
0
và các hệ thức a = 2Rsin A, b = 2RsinB, c= 2RsinC
BĐT cần cm 15sin.sin12)sin(sin32  CBCB mặt khác ta có
sinB + sinC
4
3
4
)]
2
sin(2[
4
)sin(sin
sinsin,3)
2
sin(2
2
2

Giải:
Từ giả thiết suy ra


, , 0;2
a b c do đó tồn tại A,B,C

[0; ]
2

sao cho
a=2cosA,b=2cosB,c=2cosC và
2 2 2
2 1
a b c abc
   
suy ra A,B,C là các đỉnh của tam giác
nhọn ABC.
(4)
A
osA+cosB+cosC 4cosA.cosB.cosC+1 sin sin sin o
sA.cosB.cosC
2 2 2
B C
c c   
Ta có
 
2
2 2 2
cosA+cosB


Giải:
Đặt x=tanA, y=tanB,z=tanC với A,B,C là 3 góc nhọn của tam giác ABC thì bất đẳng thức cần
chứng minh tương đương với
3 3
sin sin sin
2
A B C  
Tacó
0
0
A-B 60
sin sin 2sin . os 2sin ; sin sin 60 2sin
2 2 2 2
A B A B C
A B c C
 
  
     
     
 
     
     
 

Từ đó suy ra
0
0 0
60 4 3
sin sin sin sin 60 4sin 4sin60

yz zx xy
x y z
  
  
. Đặt
2 2
;
2 2
yz A zx B
tg tg
x y
 
với
0
0
A
B


 


 


Ta có:
1 . . .
xy xz yz xz xz yz
x y z
z y x y y x

      )
 
2 2
2 2 2
1 1 sin 1
2
cos cos 1 cos cos sin
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
C
tg
A B C
P A B C
A B C
tg tg tg
          
  

Mặt khác:
3 3
cos cos sin sin 2cos .cos 2sin .cos
3 2 2 2 2
3 3
2cos 2cos 4cos 4cos 2 3
2 2 4 6
C C
A B A B
A B C
C A B C

A B
yz zx xy
tg tg
x y z
C
C

 





 


 
       
 
 
 




.
2 3; 7 4 3
x y z     .
5



, , 0; ,A B C A B C
 
   
thì
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
  

Khi đó
2
sin sin cos 2cos cos 2cos 1
2 2 2
C A B C
P A B C

     

2
2
1 1 3
cos cos 1 cos
2 2 2 2 2 2
C A B A B
P
 
 
     
 







 



MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) Cho a, b,c không âm thỏa mãn điều kiện
1.
ab bc ca
  

Chứng minh rằng:
1 1 1 5
2
a b b c c a
  
  

2) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
2 2 2
4
a b c abc
   
. CRM:
3

  

5) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
2 2 2
1 16
4
xyz
x y z

   . Chứng minh rằng
4 13
1 4( ) 28
x y z xyz
xy yz zx
  

  

TÀI LIỆU THAM KHẢO: MATH.VN; TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ; OLYMPIC 30-04