Giỏo viờn: Phan Quang Sn THPT Nam Khoỏi Chõu
5
NOI DUNG
I.CC BI TON MINH HA
Trong phần này tôi xin đợc trình bày 3 bài toán đơn giản th hin mi quan h gia
ng thc lng giỏc v ng thc i s có trong chng trỡnh ph thụng, qua ú
-tan tan tan tan tan tanA B C A B C
vi mi
ABC
khụng vuụng
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
vi mi ABC
cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A vi mi ABC
2 2 2
cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C vi mi ABC .
Sau õy chỳng tụi xin cp n mt hng khai thỏc cỏc ng thc trờn i tỡm li
gii cho cỏc bi toỏn bt ng thc i s .
Bi toỏn 1.
Vi
, , 0
1
x y z
xy yz zx
T gi thit ta cú:
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
xy yz zx tan tan tan 1 tan tan
2 2 2 2 2
B A C C A
(*)
tan tan
1
2 2
1 tan tan tan
2 2 2
A C
C A B
(Vỡ vt(*)>0 nờn vf(*)>0)
tng t.
www.
laisac.
pag
e.
tl
C
C
H
H
N
N
G
G
M
M
I
I
N
N
H
H
N
N
G
G
L
L
N
N
G
G
G
G
I
I
C
C
H
G
T
T
H
H
C
C
T
T
A
A
N
N
T
T
R
R
O
O
N
N
G
G
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
3
P x y z
x y z
Lời giải
Đặt
tan ; tan ; tan
2 2 2
A B C
x y z
ta có
, , 0;
A B C
,
A B C
Ta có
sin
2sin
cot cot
sin sin cos cos
A B
C
A B
A B A B A B
2sin 2sin
2tan
cos cos 1 cos 2
C C C
A B C C
Tương tự
cot cot 2tan
2
Nhận xét:Bài toán trên được suy ra từ bài toán
cot cot cot tan tan tan
2 2 2
A B C
A B C
Với mọi
ABC
Bài toán 1.2: Cho
, , 0
1
x y z
xy yz zx
Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
2 2 2 1 1 1
1 1 1
1 1 1
x y z
x y z
x y z
2 2 2
A B C
Đ
A B C
A B C
Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu
7sin sin sin cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C
Ta có
sin sin 2sin cos 2cos cos 2cos
2 2 2 2 2
A B A B C A B C
A B
, , 0;
A B C
0 , , 1
1
x y z
xy yz zx
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2
1 1 1
x y z
x y z
Lời giải:
Đặt
tan ; tan ; tan
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
A B C
A B C
=
2
cos 2 cos 2 cos
A B C
cos 2 cos 2 cos
A B C
(Vì
0;
2
A
khi
2
cos cos
cos 1 ; 1, tan
2 2 4 8
1
sin
2
2
A A
B C
A B C x y z
A
Lời giải:
Đặt
tan ; tan ; tan
2 2 2
A B C
x y z
ta có
, , 0;
A B C
,
A B C
Khi đó
2 2 2
2tan 2tan 2 3 tan
2 2 2
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
A B C
'( ) sin 3cos 2 3sin sin 3, 0;
2 2 2
C C C
f C C C
0
1
'( ) 0 sin
2
3
C
f C C C
trong đó
0
0
1
sin , 0;
2
3
C
C
C
0
2
1
2
sin
2
2
3
6 2
1
2
C
z
z
C
x y
A B
xy yz zx
x y
Chứng minh rằng
2 2 2
4 4 5 29
1 1 1 5
x y z
(1)
Lời giải:
Từ giả thiết ta có
1 1
1
xz x z
y y
do đó đặt
1
tan ; tan ; tan
2 2 2
A B C
x z
y
Khi đó
1 1
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
2
2 cos cos 5 5sin
2
C
A B 2
4cos cos 5 5sin
2 2 2
A B A B C
2 2 2
4 4 4
5 sin sin cos cos cos 5
2 5 2 2 25 2 5 2
C C A B A B A B
Nhận xét:
a) Bài toán trên tương tự như đề thi OLYMPIC Việt Nam 2002
Cho
, , 0x y z
xyz x z y
Chứng minh
2 2 2
2 2 3 10
k k
x y z k
với k<0
Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu
10
Bài toán 1.6: Cho
, , 0
1
x y z
x y z
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=
3 2 2 3
z xy x yz y zx
z xy x yz y zx
Đặt
tan ; tan ; tan
2 2 2
xy A yz B zx C
z x y
, Từ giả thuyết ta có:
tan tan tan tan tan tan
2 2 2 2 2 2
=x+y+z=1
A B B C C A xy yz yz zx zx xy
z x x y y z
Vậy ta lại có
, , 0;
A B C
, A B C
A B C a b c
a b c
a b c abc
Thật vậy (*)
2 2 2
2 cos 2 cos 2 cos , , , 0
bc A ca B ab C a b c a b c
2 2 2
2 cos cos 2 cos 0 (2*) , , 0
a c B b C a b c bc A a b c
Ta có
2
2 2 2 2
(2*)
2
2 2 2 2
2 2
Vậy giá trị lớn nhất của P là
4
MaxP
đạt được khi
Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu
11
1
sin
2
3
3sin 2sin 2 3 sin sin , ,
2 2 3 6
sin 1
C
A B C B A B C
A
Lời giải:
Ta có P=
1
11
1 1 1
3 4 5
1 1 1
zx
yz
xy
y
x
z
xy yz zx
z x y
, , 0;
A B C
,
A B C
Khi đó P=
2 2 2
2 2 2
1 tan 1 tan 1 tan
1 1 1
2 2 2
3 4 5
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
A B C
A B C
=
3
sin
5
C
A B C
B
A
1
1
1 1 1
, ,
4
3 6 2
1
9
, , 0
zx
. Chứng minh
2 2 2
2
z xy x yz y xz a b c
bc ca ab
z xy x yz y xz
Bài toán 1.8: Cho
, , 0
1
x y z
x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
6
z x y
, Từ giả thiết ta có:
cot cot cot cot cot cot
=x+y+z=1
xy yz yz zx zx xy
A B B C C A
z x x y y z
cot cot cot
xy yz zx
A B C xyz
z x y
cot ,cot ,cot 0 , , 0;
2
A B C A B C
, A B C
, Khi đó
2 2 2
7
tan 6sin 7 4 3 , 0;
3 2
x x x x
dấu “=” trong bất
đẳng thức này xảy ra khi
3
x
. Áp dụng BĐT trên cho
, ,
x A x B x C
ta có
Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu
13
7
tan 6sin 7 4 3
3
A A A
1 1
3 3
3
xy yz zx
A B C x y z
z x y
Nhận xét:Nếu ta có giả thiết
, , 0
1
x y z
x y z
và biểu thức trong bài toán có thể biểu diễn
hết thông qua
; ;
xy yz zx
z x y
ta có thể đặt
cot ; cot ; cot
xy yz zx
A B C
z x y
x y z
nên
, , 0;
2
A B C
Từ giả thiết ta có:
tan tan tan tan tan tan
A B C A B C
tan tan tan tan 1 tan
A B A B C
(*)
tan tan
tan
tan tan 1
A B
C
Suy ra A,B,C là ba góc của tam giác (ĐPCM). Việc chứng minh ý còn lại ho
àn toàn
tương tự.
Bài toán 2.1 Cho
, , 0x y z
x y z xyz
Chứng minh rằng
2 2 2
2 1 1 9
4
1 1 1x y z
Lời giải
Đặt
tan ,tan ,tan
A x B y C z
,từ giả thiết ta có
tan tan tan tan tan tan
A B C A B C
A A B C
2 2 2
1 1 1
4 sin sin cos cos cos 2
2 2 2 2 16 2 4 2
A A B C B C B C
2
2 2
1 1 1 9
4 sin cos cos 2 cos 2
2 4 2 4 2 4 2 4
A B C B C B C
(Đpcm).
Dấu “=” xảy ra khi
15
1
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1
bc ca ab a b c
x y z
Bài toán 2.2 Cho
, , 0x y z
x y z xyz
Chứng minh rằng
2 2 2
2 2
2
4 3 2
1 1 4
2 1
x y z
x y
z
2
cos2 cos2 1 1
1 cos
2
2 2
A B
C
2
1 1
1 cos cos cos
2 2
C A B C
2
2
2
1 1 1 1
cos cos 1 cos
2 2 2 2 2
1 1 4 3 2
1 cos
Nhận xét:Tương tự ta chứng minh được bài toán tổng quát: Cho
, , 0x y z
x y z xyz
.
Chứng minh a.
2
2 2 2
2 2 2
2 1
1 1 1 4
k
x y kz
x y z
với k>0
b.
Chứng minh rằng
a,
2 2 2
3 3
1 1 1 4
x y z
x y z
b,
2 2 2
3
2
1 1 1
x y z
x y z
c,
2 2 2
2 2 2
1 1 1 21
2
1 1 1
x y z
x y z
x y z
A B C
Vậy ta được
2 2 2 2 2 2
2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan
2 2 2 2 2 2
1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
A B C A B C
tan tan tan tan tan tanA B C A B C A B C
a) BĐT
3
sin sin sin
2 2 2 2
A B C
không khó
c) BĐT
2 2 2
2 2 2
tan tan tan
1 1 1 21
2 2 2
2
tan tan tan
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
2 2 2
A B C
A B C
A B C
2 2 2
2 2 2
1 tan 1 tan 1 tan
21
2 2 2
sin sin sin 3
Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu
16
(*)
4 4 4
sin sin sin
2 2 2
sin sin sin
2 2 2
A B C
VT
A B C
36
sin sin sin
2 2 2
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
9 135
4 4
sin sin sin
2 2 2
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 1 1
x y x y y z y z z x z x
P
y x z y x z
Lời giải
Từ giả thiết ta có
2 2 2
2 2 2
2 2 2 8
(1)
1 1 1
1 1 1
x y z xyz
x y z
x y z
2 2 2 2
2 2
1 1
1 2 1 1
1 1
x y x y y
x y x y
y x y x
2 2 2 2
2 2
1 1
1
x y x y
x y
2 2 2 2
2
2
2
1 2 1 1
sin
1 2
sin
2
y z y z B
C
z y
Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu
172 2 2 2
2
2
2
1 2 1 1
sin
1 2
sin
2
z x z x C
2
2
81
sin sin sin
2 2 2
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
Vì ta luôn có
3
sin sin sin
2 2 2 2
A B C
với mọi
ABC
Vậy
3 17
2
MaxP
khi
1
tan
3 6
3
A B C x y z
Bài toán 3. Với
2 2 2
, , 0
2 1
x y z
x y z xyz
A B C A B C
2
1 cos2 1 cos2
cos 2cos cos cos 1
2
A B
C A B C
2
cos( )cos( ) cos 2cos cos cos 0
A B A B C A B C
2
cos( )cos( ) cos cos( ) cos( ) cos 0
A B A B C A B A B C
nên
cos cos( )
C A B
>0)
cos( ) cos cos
A B C C
A B C
(Vì
, , 0;
2
A B C
)
Bài toán 3.1 Cho
2 2 2
, , 0
theo chứng minh tr
ên ta có
A B C
BĐT
1 cos 1 cos 1 cos
3
1 cos 1 cos 1 cos
A B C
A B C
tan tan tan 3
2 2 2
A B C
Từ tan tan
2 2 2
A B C
A B C
x y z
x y z xyz
Tìm giá trị lớn nhất
1 1 1
P x y z
Lời giải
Đặt
, , 0
cos ,cos ,cos , , 0;
2
x y z
A x B y C z A B C
2
2 1 sin cos cos
2 2 2
A B C B C
3
2 2sin 1 sin 1 sin
64
2 2 2
2 1 sin 1 sin 1 sin
2 2 2 3 27
A A A
A A A
Bài toán 3.3 (TH&TT-T7/386). Các số dương x, y, z thõa mãn điều kiện
2 2 2
1 16
4
xyz
x y z
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
1 4 4 4
x y z xyz
(*).
Thật vậy, do
ABC
nhọn ta có
2
2 sin 2 1 cos
AB R A R A
và
1 cos
cot
2 1 cos
A A
p AB r r
A
. Suy ra
1 cos
( ) 2 (1 cos )(1 cos )
1 cos
A
p AB p AB R A A r
A
,
2 2
2
(2 )
cos cos cos
4
R r p
A B C
R
2 2 2
2 2 2
2
6 4
cos cos cos
2
R p Rr r
A B C
R
Suy ra
2 2
2 2 2
cos cos cos cos
2
cos 2cos cos cos cos cos
cot 3 3
2 2
p AB AC BC A
r r
nên (1) đúng suy ra
13
28
S .
Vậy
13
min
28
S
đạt được khi và chỉ khi
1
4
x y z
.
Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu
20
II.SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ TỪ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LƯ
Ví dụ 1. Từ bài toán: 33tantantan CBA với mọi
ABC nhọn
Ta chuyển được sang Bài toán : Cho
0 , , 1
1
x y z
xy yz zx
Chứng minh rằng
2 2 2
3 3
1 1 1 2
x y z
x y z
Ví dụ 2. .Từ bài toán: trong mọi tam giác ta có
2
3
coscoscos CBA
Bài toán trên trở thành : Cho
1
x y z
xy yz zx
Chứng minh rằng
2 2 2
3 3
1 1 1 4
x y z
x y z
Ví dụ 4. . Từ bài toán:Trong mọi
ABC ta đều có :
3 3
cos cos cos
2 2 2 2
A B C
Từ bài toán trên ta chuyển được thành bài toán:
Cho
0 , ,
1
xy yz zx
Chứng minh rằng
2 2 2
3
2
1 1 1
x y z
x y z
Ví dụ 6. . Từ bài toán:Trong mọi
ABC ta đều có :
Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu
21
2
39
2
cot
sin
2
sin
2
sin
3
2
sin
2
sin
2
sin
CBA
CBA
Mặt khác :
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
cos cos cos
2 2 2
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
Suy ra :
2 2 2
3
3
sin sin sin cos cos cos
9
2 2 2 2 2 2
sin sin sin cot cot cot
2 2 2 2 2 2 2
sin sin sin
2 2 2
9
cot cot cot 1
2 2 2 2
A B C A B C
A B C A B C
A B C
A B C
mà ta cũng có :
33
2
cot
2
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin
Ví dụ 7. . Từ bài toán:Trong mọi
ABC ta đều có :
Giáo viên: Phan Quang Sơn THPT Nam Khoái Châu
22
8
7
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
222
1
x y z
xy yz zx
Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
2 2 2
7
1 1 1 8
1 1 1
x y z xyz
x y z
x y z
Ví dụ 8. . Từ bài toán:Trong mọi
ABC ta đều có :
2
sin
2
coscossinsincos
coscossinsincos
nên :
2
4
3
coscoscoscoscoscos1 ACCBBA
Thật vậy hiển nhiên ta có :
3coscoscos
3
1
coscoscoscoscoscos
2
CBAACCBBA
Mặt khác ta có :
3
0 cos cos cos
2
A B C
1 1 1 1 1 1
1 1 1
xy yz zx xyz
x y y z z x
x y z
Copyright: Tài liệu đại học ©