112
1

BNGLNGGICHểAIS
Biểu thức đại số
Biểu thức lợng giác
tơng tự
Công thức lợng giác
1 + x
2
1 + tg
2
t
1+tg
2
t =
tcos
1
2
4x
3
- 3x 4cos
3
t - 3cost 4cos
3
t - 3cost = cos3t
2x
2
- 1 2cos
2
t - 1 2cos

b a -
b + a
tgtg1
tgtg
b a -
b + a
tgtg1
tgtg
= tg(a+b)
x
2
- 1
1
cos
1
2
-
a
1
cos
1
2
-
a
= tg
2
a

một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số

ỡ
a =
a =
cosay
sinax
với a ẻ [0, 2p]
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a
2
+ b
2
= c
2
+ d
2
= 1
Chứng minh rằng: Ê - 2 S = a(c+d) + b(c-d) Ê 2
Giải:
Đặt
ợ
ớ
ỡ
=
=
ucosb
usina
và
ợ
ớ
ỡ

b
a
1
a
2
2
2
2
2
2

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
Giải:
Đặt a = cosa và b = sina với 0 Ê a Ê 2p. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi.
2
2
2

ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+ a =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
= cos
4
a + sin
4
a + 4
sin.cos
sincos
sincos4
sin

+ a + a
=
( )
[ ]
4
sin.cos
1
1sincos2sincos
44
2222
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a a
+ a a - a + a
=
2
25
4
2
17
4)161(
2
1
14
2sin

Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a
2
+b
2
=1
VD3: Cho a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng:
A =
2334b)324(a)321(2ab32ba
22
Ê - + - + + - + -
Giải:
Biến đổi điều kiện: a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)
2
+ (b-2)
2
= 1
Đặt a a + a - a = ị
ợ
ớ
ỡ
a + =
a + =

Biến đổi bất đẳng thức: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1 (a-1)
2
+ (b + 1)
2
1
Đặt
ợ
ớ
ỡ
a = +
a = -
cosR1b
sinR1a
với R 0
222
R)1b()1a(
1cosRb
1sinRa
= + + -
ợ
ớ
ỡ
- a =
+ a =
312
3

II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị 1|cos|1|sin| Ê a Ê a
1. Phơng pháp:
a) Nếu thấy |x| Ê 1 thì đặt
[ ]
sin
2 2
cos 0
x khi
x khi

p p
a a
a a p

ộ
ộ ự
= ẻ -
ờ
ờ ỳ
ở ỷ
ờ
ờ
= ẻ
ở
b) Nếu thấy |x| Ê m (
0m
) thì đặt
[ ]
sin
2 2

p
= (1+cosa)
p
+ (1-cosa)
p
=
p22pp2p2p
p
2
p
2
2
2
sin
2
cos2
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
cos2 =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ

VD2: Chứng minh rằng: 23123223
22
+ Ê - + = Ê - a a a A
Giải:
Từ đk 1 - a
2
0 |a| Ê 1 nên
Đặt a = cosa với 0 Ê a Ê p ị
2
a1- = sina. Khi đó ta có:
A=
a + a + = a a + a = - + 2sin)2cos1(3sincos2cos32a1a2a32
222
= 3
3
2sin232sin
2
1
2cos
2
3
2 +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
+ a = +

2
sin2222
2
sin
2
cos22.
2
cos
2
sin21
33
a a
+ Ê
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
a
-
a a a
+

2
cos
2
sin1
2
sin

ử
ỗ
ố
ổ
a
-
a
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
+
a
1cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22

2332
Ê - - + - - a a a ) a (
Giải:
Từ đk |a| Ê 1 nên:
Đặt a = cosa với a ẻ [0, p] ị
2
a1- = sina. Khi đó biến đổi S ta có:
S= )cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4
3333
a - a + a - a = a - a + a - a
= 2
4
3sin23cos3sin Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
+ a = a + a ị (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng A =
(
)
211311
2222
Ê - - - + - + - ) b )( a ( ab a b b a
Giải:
Từ điều kiện: 1 - a
2

ờ
ở
ộ
p
- b + a = b + a - b + a = b + a - b + a
(đpcm)
VD6: Chứng minh rằng: A = |4a
3
- 24a
2
+ 45a - 26| Ê 1 "a ẻ [1; 3]
Giải:
Do a ẻ [1, 3] nên |a-2| Ê 1 nên ta đặt a - 2 = cosa a = 2 + cosa. Ta có:
A =
13342624522424
323
Ê a = a - a = - a + + a + - a + cos cos cos ) cos ( ) cos ( ) cos (
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A =
2
2 3 3 2 [0,2]a a a a - - + Ê " ẻ
512
5
Giải:
Do a ẻ [0, 2] nên |a-1| Ê 1 nên ta đặt a - 1 = cosa với a ẻ [0, p]. Ta có:
A =
a - a - = + a + - a - - a + cos cos ) cos ( ) cos ( ) cos ( 31313112
22
= 2
3

1
tg
cos
1
2
2
2
-
a
= a
a
) k ( p +
p
ạ a
2
1) Phơng pháp:
a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức
1x
2
-
thì đặt x =
acos
1
với aẻ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ

ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
2
3
,
2
0
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A =
2
1 3
2 1
a
a
a
- +
Ê "
Giải:
Do |a| 1 nên :
Đặt a =
acos
1
với aẻ
ữ
ứ
ử

ỗ
ố
ổ
p
+ a = a + a = a + a =
+ -
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: - 4 Ê A =
2
2
a
1a125 - -
Ê 9 1a "
Giải:
Do |a| 1 nên:
Đặt a =
acos
1
với aẻ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
p ẩ
ữ
ứ
ử

ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ a + =
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a - a +
13
5
arcco s2cos
2
13
2
5
2sin
13
12
2cos
13
5
2
13
2

- + -
Ê 1
1a b "
Giải:
Do |a| 1; |b| 1 nên .
Đặt a =
acos
1
; b =
bcos
1
với aẻ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
p ẩ
ữ
ứ
ử
ờ
ở
ộ
p
2
3
,

sin
1
tg
1
.
cos
1
1a
a
2
0
22
. Khi đó:
a+
22
2sin
22
sin
1
.
cos
1
.2
sin
1
cos
1
1a
a
2

ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
-
+
-
Do |x|; |y| 1 nên Đặt x =
acos
1
; y=
bcos
1
với a, bẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
2
,0 .
Khi đó: (1) S = sina + cosa(4sinb + 3cosb) Ê 26
Ta có: S Ê sina + cosa

,
2
b) Nếu x ẻ R và bài toán chứa (x
2
+m
2
) thì đặt x = mtga với a ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p p
-
2
,
2
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: S =
1
1
4
1
3
32
3
2
Ê
+

3
a| = |3sina - 4sin
3
a| = |sin3a| Ê 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
22
42
)a21(
a12a83
+
+ +
Giải:
Đặt a
2
= tga với a
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
p p
- ẻ
22
, thì ta có: A =
22
42
)tg1(
tg3tg43
a +

4
p
ị a =
2
1
thì MinA =
2
5
VD3: Chứng minh rằng:
2
1
)b1)(a1(
)ab1)(ba(
22
Ê
+ +
- +
" a, b ẻ R
Giải:
Đặt a = tga, b = tgb. Khi đó
) tg )( tg (
) tg tg )( tg tg (
) b )( a (
) ab )( b a (
b + a +
b a - b + a
=
+ +
- +
22 22

|ac|
)c1)(b1(
|cb|
)b1)(a1(
|ba|
222222
"
+ +
-

+ +
-
+
+ +
-
Giải:
Đặt a = tga, b = tgb, c = tgg. Khi đó bất đẳng thức

)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
)tg1)(tg1(
|tgtg|
222222
a + g +
a - g

g + b +
g - b

1
d
b
1
a
c
1
ab
cd
d
b
1
a
c
1
1
1
)db)(ca(
cd
)db)(ca(
ab
Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
ữ

, tg
2
b=
b
d
với a,b ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
2
,0 ị Biến đổi bất đẳng thức
1sinsincoscos
)tg1)(tg1(
tg.tg
)tg1)(tg1(
1
2222
22
22
22
Ê b a + b a =
b + a +
b a
+
b + a +
cosa cosb + sina sinb = cos(a-b) Ê 1 đúng ị (đpcm)

tg2
.3
1
2
tg
|1
2
tg
|4
2
tg6
2
2
22
2
+
a
-
a
+
a
+
a
=
+
a
-
a
+
a

>
12
0
222
xyz z y x
z ; y ; x
thì
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
= = =
p
ẻ
D $
CcoszBcosyAcosx
)
2
0(CBA
:ABC
b) Nếu
ợ
ớ
ỡ
= + +
>
xyz z y x
z ; y ; x 0
thì

ở
ộ
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
= = =
p ẻ
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
= = =
p
ẻ
D $
2
C
tgz
2
B
tgy
2
A
tgx
)0(CBA
gCcotzgBcotygAcotx
)

ổ
p
2
,0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg
2
a
tg
2
b
+ tg
2
b
tg
2
g
+ tg
2
g
tg
2
a
= 1
1012
10
tg
2
a
ữ
ứ

2
tg
2
tg
a
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b

a
=
g b
-
g
+
b
p = g + b + a
p
=
g + b + a

a
-

1
y
1
x
1
+ + - + +
= cotg
2
a
+ cotg
2
b
+ cotg
2
g
-3
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b
+
a
2
tg
2

ố
ổ
b
-
b
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
a
-
a
222
2
222222
tg tg tg tg g cot tg g cot tg g cot
S = 2(cotga+cotgb+cotgg) -
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b
+

0
2
tg2gcotgcot
2
tg2
2
cos2
2
cos
2
sin4
cos1
sin2
)cos(1
sin2
2

g
- b + a ị
g
=
g
g g
=
g +
g
=
b + a -
g
T đó suy ra S 0. Với x = y = z =

; y = tg
2
b
; z = tg
2
g
với a, b, g ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
2
,0
Khi đó tga =
2
x1
x2
-
; tgb =
2
y1
y2
-
; tgg =
2
z1
z2

= - tgg tg(a+b) = tg(-g)
Do a, b, g ẻ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
p
2
,0 nên a + b = p - g a + b + g = p. Khi đó ta có:
tg
2
a
tg
2
b
+ tg
2
b
tg
2
g
+ tg
2
g
tg
2
a
= 1 xy + yz + zx = 1. Mặt khác:

1zyx
0z,y,x
. Chứng minh rằng: S =
4
9
xyz
z
zxy
y
yzx
x
Ê
+
+
+
+
+
Giải:
Đặt
2
tg
x
yz a
= ;
2
tg
y
xz b
= ;
2

+ + = x + y + z = 1
nên tg
2
a
tg
2
b
+ tg
2
b
tg
2
g
+ tg
2
g
tg
2
a
= 1
tg
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
g
+
b

2
g
=
2
p
-
2
a
p = g + b + a
p
=
g + b + a
22
S =
2
3
1
xyz
z2
1
zxy
y2
1
yzx
x2
2
1
xyz
z
zxy

+
+
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
-
+
=
+
+
+
+
+
=
2
3
z
xy
1
z
xy
1
y
zx
1

ỗ
ỗ
ố
ổ
+
-
+
+
-
+
+
-
= +
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
-
+
+
-
+
-
-
=

2
1
2
1
22
2
= + = +
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
b a - b + a + + b + a
(đpcm)
3. BiT pNgh
Bài 1:Cho a
2
+ b
2
= 1. CMR: | 20a
3
- 15a + 36b - 48b
3
| Ê 13.
Bài 2:Cho (a-2)
2
+ (b-1)
2
= 5. CMR: 2a + b Ê 10.

-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
c

b) xy + yz + zx Ê
4
3
c) x
2
+ y
2
+ z
2

4
3
d) xy + yz + zx Ê 2xyz +
2
1
e) 3
z1
z1
y1
y1
x1
x1

+
-
+
+
-
+
+

x
:C MR
1zxyzxy
0z,y,x
222

-
+
-
+
-
ợ
ớ
ỡ
= + +
>
Bài 9:Cho
2
3
z1
z
y1
y
x1
x
:CMR
xyzzyx
0z,y,x
222
Ê

+

+
+
+
+
+ ợ
ớ
ỡ
= + +
>