1
1. PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
A. TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC
1. Đònh nghóa :
• Bất đẳng thức là hệ thức có một trong các dạng :
A > B ⇔ A – B > 0 hay A < B ⇔ A – B < 0
A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0 hay A ≤ B ⇔ A – B ≤ 0 (dạng suy rộng)
Trong đó A, B là các biểu thức chứa biến số hay các số.
2. Tính chất cơ bản :
2.1 a > 0 ⇔ a + m > b + m
2.2 Nếu m > 0 thì : a > b ⇔ am > bm
Nếu m < 0 thì : a > b ⇔ am < bm
3. Vài tính chất khác :
3.1 Nếu a > b thì b < a
3.2 Nếu a > b và b > c thì a > c
3.3 Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d
(tính chất này không áp
dụng cho phép trừ hai đẳng thức cùng chiều)
3.4 Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd
3.5 Nếu a > b và ab > 0 thì
<
11
2
≥ 0 A
2
+ B
2
≥ 0
Và các hằng bất đẳng thức :
(A ± B)
2
= A
2
± 2AB + B
2
≥ 0
(A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2(AB + BC + CA) ≥ 0
1.1
Chứng minh các bất đẳng thức :
1. x
4
+ y
4
≥ x
1.3
Chứng minh các bất đẳng thức :
1. a
2
+ b
2
+ 1 ≥ ab + a + b 2.
2
22
a
bcab2bcca
4
+
+≥+ −
1.4
Chứng minh bất đẳng thức : x
2
+ y
2
+ 4 ≥ 2(x + y) + xy
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Gợi ý :
Tách –2x thành x – 3x, đưa hiệu hai vế về dạng :
⎛⎞⎛⎞
−+ + −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
22
−− +
⎜⎟
⎝⎠
2
3
36
212
aa
bc
a
C. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dùng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải
chứng minh tương đương với một bất đẳng thức mà ta biết là đúng.
Cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn :
A
2
> B
2
⇔ A > B trong điều kiện A, B > 0
m > n ⇔ A
m
> A
n
trong điều kiện A > 1 và m, n nguyên dương
1.6
Chứng minh các bất đẳng thức :
1. (a
2
+ b
1. Nếu
<
a
1
b
thì
+
<
+
aac
bbc
2. Nếu
>
a
1
b
thì
+
>
+
aac
bbc
1.9
Cho hai số dương a và b và
≤
xy
ab
⎫
<<
⎪
++ + ++
⎪
⎪
<<
⎬
++ + ++
⎪
⎪
<<
⎪
++ + ++
⎭
aa2a
abc bc abc
bb2b
abc ca abc
cc2c
abc ab abc
⇒
<
+<<
++ +
abc
12
bcca ab
1.11
2
≥ 0
1.13
Cho a > b > 0 và hai số nguyên dương m và n với m > n. Chứng minh
rằng :
−−
>
++
mm nn
mm nn
ab ab
ab ab
1.14
Cho ba số dương x, y, z với x > z và y > z. Chứng minh rằng :
−+ −≤z(x z) z(y z) xy
1.15
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x
3
+ y
3
+ z
3
= 1.
1. Chứng minh bất đẳng thức :
≥
−
2
Hướng dẫn :
Trong điều kiện xy ≥ 1
Bất đẳng thức tương đương với :
⎛⎞⎛⎞
−+−
⎜⎟⎜⎟
++ ++
⎝⎠⎝⎠
22
11 11
1x 1xy 1y 1xy
≥ 0 ⇔ ………… ⇔
⇔
−−
≥
+++
2
22
(x y) (xy 1)
0
(1 x )(1 y )(1 xy)
⇔ xy – 1 ≥ 0
1.17
Cho x ≥ y ≥ z > 0. Chứng minh rằng :
⎛⎞ ⎛⎞
++ +≤+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
11 1 11
31210
44
yy
xxy y z z
⎛⎞⎛⎞
−+ + −++ −+≤
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⇔
22
2
31(1)0
22
yy
xz
⎛⎞⎛⎞
−+−+−≤
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
Tìm được : x = 1 , y = 2 , z = 1 6
D. PHƯƠNG PHÁP TỔNG HP
Dựa vào các tính chất của bất đẳng thức và các hằng bất đẳng thức bằng
suy diễn để tìm ra bất đẳng thức phải chứng minh.
Ta thường dùng các bổ đề sau :
A
Chứng minh bất đẳng thức :
x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
≥ (x + y)(z + t)
1.20
Chứng minh rằng :
1. Nếu a + b > 2 thì a
2
+ b
2
> 2
2. Nếu a
2
+ b
2
≤ 2 thì a + b ≤ 2
1.21
Chứng minh bất đẳng thức :
x
4
+ y
4
= 1 ta có :
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) ≥ 0
hay
1 + 2(ab + bc + ca)
≥ 0
ab + bc + ca
≥ -
1
2
(1) 7
Mặt khác :
⎫
+≥
⎪
+≥
⎬
⎪
+≥
⎭
(x + y)
2
(y + z)
2
= (xy + y
2
+ zx + yz)
2
= [(x + y + z)y + zx]
2
≥ 4(x + y + z)y.zx = 4xyz(x + y + z)
1.27
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x + y + z = 1
Chứng minh rằng : y + z ≥ 16xyz
Hướng dẫn :
1
2
= [x + (y + z)]
2
≥ 4x(y + z) mà y + z > 0
1(y + z)
≥ 4x(y + z)
2
mà (y + z)
2
≥ 4yz
y + z
≥ 4x.4yz = 16xyz
1.28
2
+ t
2
+ x(y + z) + y(z + t) + z(t + x) + t(x + y) ≥ 12
Gợi ý :
x, y, z, t > 0 và xyzt = 1 cho zt = >
1
0
xy
; xy + zt = xy +
1
xy
≥ 2
1.30
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện :
+
=
112
xyz
Chứng minh bất đẳng thức :
+
+
+
−
−
xz zy
2x z 2y z
≥ 4
Hướng dẫn :
xy x y
xy 4
2. Suy ra :
+
+
++≤
+++
111xyz
11 1111
2
xyyzzx
Gợi ý :
2. ==
+
+
+
11xy
11 xy
xy
xy xy
≤
+
xy
4
9
Hướng dẫn :
Do bất đẳng thức giữa độ dài ba cạnh một tam giác, ta có :
a + b – c > 0 b + c – a > 0 c + a – b > 0
Nên :
+
+− +−
11
abcbca
≥
=
+−++−
42
abcbca b
(1)
Tương tự :
+
≥
+− +−
112
bca cab c
(2)
+≥
+− +−
112
cab abc a
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.
1.34
Cho hai số dương x,y thỏa điều kiện x+y =1. Chứng minh bất đẳng thức :
… 10
1.35
Cho ba số x, y, z thỏa hai điều kiện :
x + y + z = 2 và xy + yz + zx = 1
Chứng minh rằng mỗi số x, y, z đều thuộc đoạn
4
0;
3
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
Hướng dẫn :
x + y + z = 2 ⇔ 2 – x = y + z
(2 – x)
2
= (y + z)
2
≥ 4yz
4yz = 4[1 – x(y + z)] = 4[1 – x(2 – x)]
(2 – x)
2
≥ 4(x – 1)
⎝⎠
⎝⎠
2
2
1125
xy
xy2
Hướng dẫn :
Vận dụng bất đẳng thức :
++
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
2
22
ab ab
2222
2
11 1111
xy xy
2x y4xy
⎡⎤
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎛⎞
+++ ≥ +++
1
4
xy
(do xy > 0)
Nên :
()
⎛⎞
⎛⎞
+++≥+=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
2
2
2
111 25
xy 14
xy2 2
11
1.38
1. Chứng minh bất đẳng thức :
++ ++
⎛⎞
≥
⎜⎟
⎝⎠
xyz xyz
xyz3xyz
=
()
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞
++ ++ ++
+++++=+++
⎢⎥
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦
2
2
1 1 11 1 xyzxyz xyz
xyz 1
3xyz3xyz
=
()
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
+++++++++ ≥ ++++ + +
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
A =
+1999 2001 B = 2 2000
1.40
Cho hai số nguyên m và n với m > n. Chứng minh rằng :
1. Nếu 0 < x < 1 thì x
m
< x
n
2. Nếu x > 1 thì x
m
> x
n
Hướng dẫn :
Đặt k = m – n > 0
1. Nếu 0 < x < 1 thì : 0 < x
k
< 1
k
và 0 < x
n
Nên : x
n
.x
k
< x
n
x
m
> x
n
12
1.41
1. Chứng minh bất đẳng thức : a
12
– a
9
+ a
4
– a + 1 > 0
2. Chứng minh rằng nếu có bất đẳng thức : y ≥ x
3
+ x
2
+ |x| + 1
thì có bất đẳng thức : x
2
+ y
2
≥ 1
1.42
Cho –1 ≤ x ≤ 1 và số nguyên dương n, chứng minh rằng :
<
⎜⎟
⎝⎠
n
1x 1x
22
…
1.43
Cho ba số không âm thỏa điều kiện : x + y + z = 1
Chứng minh bất đẳng thức : 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) ≤ x + 2y + z
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn :
Do x + y + z = 1, ta có : 1 – x = y + z
Do 0
≤ y ≤ 1 , ta có : 0 ≤ 1 – y
2
≤ 1
Từ hằng bất đẳng thức : (a + b)
2
≥ 4ab
4(1 – x)(1 – y)(1 – z) = 4[(y + z)(1 – z)].(1 – y)
≤
≤ (y + z + 1 – z)
2
.(1 – y) = (1 + y)
2
(1 – y) = (1 – y
2
)(1 + y) ≤
≤ 1 + y = x + y + z + y = x + 2y + z
2
+ z
2
= 1 biến đổi vế trái thành :
A = (xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1) + (xy + yz + zx + x + y + z + 1)
Mà : 13
xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1 = (x + 1)(y + 1)(z + 1) (1)
Và
xy + yz + zx + x + y + z + 1 = x
2
+ y
2
+ z
2
+ xy + yz + zx + x + y + z
=
2
(x y z 1)
2
+++
(2)
Mà |x|
≤ 1 , |y| ≤ 1 , |z| ≤ 1 suy ra điều phải chứng minh.
1.45
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác thì :
ab + bc + ca ≤ a
2
= (c + a – b)(b + c – a) (3)
1.47
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác với a ≤ b ≤ c.
Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c)
2
≤ 9bc
Hướng dẫn :
Do a ≤ b nên : (a + b + c)
2
≤ (2b + c)
2
Ta chứng minh bất đẳng thức : (2b + c)
2
≤ 9bc
Xét hiệu hai vế : (2b + c)
2
– 9bc = (b – c)(4b – c)
Mà b
≤ c nên b – c ≤ 0, do đó ta còn phải chứng minh : 4b – c ≥ 0
Do a
≤ b nên :
4b – c = 2b + (b + b – c)
≥ 2b + (a + b - c)
Mà a + b – c > 0 nên :
4b – c
≥ 2b + (a + b – c) > 0
Bất đẳng thức được chứng minh.
22
++ − + + + +
=−
Ta có : -1 + 2 -
222
abc
abc 0
2
++
−
>
hay 2 – (a
2
+ b
2
+ c
2
) – 2abc > 0
⇔ a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2
2
+
≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2. Hệ quả :
• Nếu a ≥ 0, b ≥ 0 và tổng a + b = k (hằng) thì tích ab lớn
nhất khi và chỉ khi a = b :
max(ab) =
2
k
4
⇔ a = b
Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng nhau thì hình vuông có
diện tích lớn nhất.
• Nếu a ≥ b, b ≥ 0 và tích ab = k (hằng) thì tổng a + b nhỏ
nhất khi và chỉ khi a = b
min(a + b) = 2
k ⇔ a = b
Trong các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau thì hình vuông có
chu vi nhỏ nhất.
3. Tổng quát :
• Với a
1
, a
2
số không âm :
4
abcd
abcd
4
+++
≥
3
abc
abc
3
+
+
≥
16
2.2
1. Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức :
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
2. Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1, chứng minh bất đẳng thức :
a
4
+ b
4
+ c
4
−
+−
≤ ab
Gợi ý :
1.
2
2
22
a5 4
a1
a1 a1
+
=++
++
2. a1 (a1).1−= −
2.5
1. Cho a, b, c ≥ -
1
4
và a + b + c = 1. Chứng minh bất đẳng thức :
4a 1 4b 1 4c 1 5
+
++++<
2. Cho a, b, c > 0, Chứng minh bất đẳng thức :
222
111abc
abcbcacab 2abc
+
+
++≤
Bình phương hai vế được :
z(x – z) + z(y – z) + 2
z(x z).z(y z)
−
− ≤ xy
⇔ 2z (x z)(y z)−− ≤ 2z
2
+ xy – yz – zx
⇔ 2z
(x z)(y z)−−
≤ z
2
+ (x – z)(y – z)
Đây là bất đẳng thức đúng theo bất đẳng thức Cauchy với hai số dương z
2
và (x – z)(y – z)
2.7
Gọi a, b, c là ba cạnh một tam giác và p là nửa chu vi
abc
p
2
++
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
.
Chứng minh bất đẳng thức :
(p – a)(p – b)(p – c) ≤
Nên :
R + r =
2
a bc a(a b c) 2bc a ab ca 2bc
2 a b c 2(a b c) 2(a b c)
++ + + + +
+= =
++ ++ ++
Mà theo đònh lí Pitago thì : a
2
= b
2
+ c
2
nên
R + r =
22 2
b c ab ac 2bc (b c) a(b c)
2(a b c) 2(a b c)
++++ + + +
=
++ ++
=
(b c)(a b c) b c
2(a b c) 2
+
++ +
xyz3
yz zx xy 2
+
+≥
++ +
với x, y, z là ba số dương.
Gợi ý :
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số dương :
3
3
abc3abc
111 111
3
abc abc
⎫
++≥
⎪
⎬
++≥
⎪
⎭
⇒
()
111
abc
abc
⎛⎞
+
+++
+3y
3
+ 4y
3
≥
333
3
3x .3y .4y =
22
3
3xy 3 .4 >3xy
2
3
3
3 = 9xy
2
2. a
3
+ b
3
+ c
3
≥ 3abc ⇔ 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) ≥ a
3
+ c
3
≥ a
2
22
bc b ca c ab++ 19
2.11
Chứng minh các bất đẳng thức sau đây :
1. 4(x
2
+ y
2
)
3
≥ 27x
2
y
4
2.
69
xy
4
+
≥ 3x
≥ 3x
2
y
2
– 16 ⇔ x
6
+ y
9
+ 64 ≥ 12x
2
y
3
x
6
+ y
9
+ 64 = (x
2
)
3
+ (y
3
)
3
+ 4
3
≥ 3
693
3
xx x
+++
≥ n
2. Cho ba số không âm z, y, z thoả điều kiện x + y + z = 1.
Chứng minh rằng : xy
2
z
3
≤
1
432
Gợi ý :
2. x + y + z = x +
yyzzz
22333
+
+++ (=1)
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho sáu số không âm. 20
2.14
1. Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1.
Chứng minh rằng : 16xyz ≤ y + z
2. Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện :
1111
3
1x 1y 1z 1t
1y1z1t
++
+
++
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
1yzt
1x 1y 1z1t
≥++
++++
≥ 3
3
yzt
(1 y)(1 z)(1 t)
+
++
Tương tự, rồi nhân theo vế bốn bất đẳng thức tìm được :
1
(1 x)(1 y)(1 z)(1 t)++++
≥ 81
xyzt
(1 x)(1 y)(1 z)(1 t)
+
+++
xyzt
≤
1
81
, a
2
, … , a
n
) và (x
1
, x
2
, … , x
n
) là hai bộ n số thì :
(a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ … + a
n
x
n
)
2
≤ (a
1
2
+ a
2
)
22 222 2
12 n12 n
a a a x x x+++ +++
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
12 n
12 n
xx x
aa a
===
(với qui ước trên)
2.15
Chứng minh các bất đẳng thức :
1. (ax + by)
2
≤ (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
)
2. (ax + by + cz)
2
≤ (a
2
1. Cho a
2
+ b
2
= 1 và x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Chứng minh bất đẳng thức :
|ax + by + z| ≤
2
2. Cho xy + yz + zx = 4. Chứng minh bất đẳng thức :
x
4
+ y
4
+ z
4
≥
16
3
22
2.18
Cho
1 =
222
2222
11 11
1.x .2y 3z 1 x (2y) (3z)
23 23
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎡
⎤
++ ≤++ ++
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎣
⎦
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
2.21
Cho hai số x, y thỏa điều kiện : (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 5
Chứng minh rằng : x + 2y ≤ 10
Hướng dẫn :
[1(x – 1)
2
+ 2(y – 2)
2
+ 1
Hướng dẫn :
x
0
2
+ px
0
+ q = 0 ⇔ x
0
2
= - (px
0
+ q)
x
0
4
= (px
0
+ q)
2
≤ (p
2
+ q
2
)(x
0
2
+ 1)
x1 x1
+−
−
=
=−
++
x
0
2
< p
2
+ q
2
+ 1
2.23
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác , đặt p =
abc
2
+
+
.
Chứng minh rằng :
ppapbpx<−+−+−
≤
3p
Hướng dẫn :
- Dùng biến đổi tương đương để có : ppapbpc
<
++
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
≤
≤
()()()
2
22
222
xyz
zxy
zxy
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
⎡
⎤
⎢⎥
++ ++
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
+ ax + b)
2
= (x.x + ax + b.1)
2
≤ (x
2
+ a
2
+ b
2
)(x
2
+ x
2
+ 1) (1)
(x
2
+ cx + d)
2
= (x.x + cx + d.1)
2
≤ (x
2
+ c
2
+ d
2
)(x
2
+ x
+ 2ab + b
2
= a
2
+ 2|ab| + b
2
⇔ ab ≤ |ab| (bất đẳng thức đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ab
≥ 0
2. Chứng minh tương tự, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : ab
≤ 0
2.27
Cho |x| < 1 và |y | < 1. Chứng minh mỗi bất đẳng thức sau đây :
1. |x + y| < |1 + xy| 2.
xy
1
1xy
−
<
−
2.28
Chứng minh mỗi bất đẳng thức sau đây :
1.
2
|x| 1
1x 2
≤
+
u
n
= a
n
– a
n – 1
Từ đó :
S = (a
1
– a
2
) + (a
2
– a
3
) + … + (a
n
– a
n + 1
) = a
1
– a
n + 1
• Để tính tích hữu hạn ta biến đổi số hạng tổng quát về dạng thương
hai số hạng liên tiếp :
u
n
=
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1) 2
+++ <
−+
Hướng dẫn :
1.
111
n(n 1) n n 1
=−
++
2.
1111
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
⎛⎞
=−
⎜⎟
−+ − +
⎝⎠
Copyright: Tài liệu đại học ©