Các quy ớc viết tắt
1-ĐPCM : điều phải chứng minh
2-BĐT : Bất đẳng thức
3-CMR : Chứng minh rằng
4-GTNN : Giá trị nhỏ nhất
5-GTLN : Giá trị lớn nhất
6-THCS : Trung học cơ sở
ĐặT Vấn đề
I)lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thờng gặp dạng toán Chứng
minh bất đẳng thức có điều kiện .Tôi thấy học sinh thờng e ngại hoặc làm bài
không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng minh đợc các bài toán đó vì
không tìm đợc cách chứng minh .Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã
nghiên cứu và mạnh dạn trình bày Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức
có điều kiện . Đây là một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và
qua thử nghiệm tôi thấy phơng pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy
học sinh .
II) Điều tra thực trang tr ớc khi nghiên cứu :
Để đánh giá đợc khả năng giải toán về chứng minh bất đắng thức , tôi đã tiến hành
kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trờng ra đề cho học sinh làm bài trong 30 phút nh
sau:
Bài1: (6đ) a) Ch o a + b = 2 Chứng minh rằng a
2
+ b
2
2
b) Cho a > 2 , b > 2 .Chứng minh rằng ab - 2a - 2b + 4 > 0
Bài 2 : ( 4 đ ) Cho a + b > 1
CMR : a
4
+ b

( Còn có những bài cha áp dụng đợc phơng pháp này ).
- Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn còn nhiều vấn
đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài.
Giải quyết vấn đề
5
A ) Các công thức cơ bản:
I)Các hằng đẳng thức:
(a b)
2
=a
2
2ab +b
2
( a b)
2
= a
2
3a
2
b +3ab
2
b
2
(a+b)(a-b) = a
2
- b
2
( a+ b )( a
2
- ab + b

2
0 với a ,b
a
2
0 với a .
B)Các ví dụ minh hoạ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a
4
+ b
4
162
Giải
Do a + b = 6 nên có thể đặt




=
+=
mb
ma
3
3
với m tuỳ ý
Ta có : a
4
+ b
4
= (3 + m)

2
2
với m tuỳ ý
6
Ta có : a
4
+ b
4
= (2 + m )
4
+ (2- m)
4
= 32 + 48m
2
+2m
4
32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM.
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tơng ứng nh trên với








=
+=
m

1
Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
x
2
+ y
2
+ z
2
+xy +yz +zx = (1 + a)
2
+ (1 + b )
2
+ (1 - a - b)
2
+
+ (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a
2
+ ab + b
26
4
3
2
6
2
2
+

k
x
3
3
3
Hoặc









+=
+=
+=
c
k
z
b
k
y
a
k
x
3
3
3



++






+






+++
























=
+=
+=
++=
zy
k
d
zy
k
c
zx
k
b
zx
k
a
4
4
4
4

4
4
4
4
với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
a
2
+ d
2
+ cd 3ab
a
2
+ b
2
+ ab 3cd
Giải
Phần a , b tơng tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt




=
+=
xbd
xac
Với x tuỳ ý
Ta có
( ) ( ) ( )( )

Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
1
Vì a + b + c + d = 2 nên đặt
td;yb
zc;xa
+=+=
+=+=
2
1
2
1
2
1
2
1

Với : x + y + z + t = 0
Ta có:
=+++
2222
dcba
2222
4





+= tzyx
ttzzyyxx +++++++++++
2222
4
1
4
1
4
1
4
1
( )
( )
tzyxtzyx ++++++++






+++=
2222
4
1
4
1

+++++
Ta nên đặt
,x
n
k
a
11
+=
,x
n
k
a
22
+=
,x
n
k
a
33
+=

,x
n
k
a
nn
+=
9
II. Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất
đẳng thức .

=2 (1 - t)
4
+ ( 2 + t)
4
=18 +24t + 36 t
2
+ 3t
4
18 vì t 0
Dấu = xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM
Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y l (hay x n) thì nên đặt
y = 1 + m với m 0 ( hay x = n - m với m 0)
Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m)
suy ra:



+=
=
mly
mlkx
Hay



=
=
mnky
mnx
Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh.

+2y
2
+8y = 5 (2 - t )
2
+ 2(3 + k + t )
2
+8 (3 + k + t) =
= 62 + 2 (k + t )
2
+5t
2
+20 k > 62 k , t Suy ra ĐPCM .
10
Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng:
27a
2
+10 b
3
> 945

Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt



+=+
+=
kba
tb
8
3




+
vx
uyx
Ta nên đặt



=
+=+
mvx
nuyx
Với m,n > 0 từ đó



=
++=
mvx
nuvmy
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Nếu điếu kiện cho là:




+
lb

Giải:
Do a + b + c 3 nên ta đặt :
11






+=
+=
+=
zc
yb
xa
1
1
1
Thoả mãn x + y + z 0
Xét hiệu :
=++
333444
cbacba

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=++++++++=
333444
111111 zyxzyx
( )
0







++++
+
zyxz
z
y
y
x
xzyx
Vậy:
333444
cbacba ++++
Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Nhận xét 7
Đây là đề thi học viện bu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học
sinh vẫn có thể chứng minh đợc đối với học sinh THCS
III)các bài toán có điều kiện phức tạp:
Bài11: cho : a
3
+ b
3
< 2 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng.
Giả sử
2

0+ yx
Suy ra
2
33
+ ba
Trái giả thiết.Vậy a + b < 2
Bài 12 Cho a
4
+ b
4
< a
3
+ b
3
Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phơng pháp phản chứng:
Giả sử
2
+
ba
.Đặt



+=
+=
yb
xa
1
1

3
+ b
3
Trái với giả thiết . Vậy a
+ b < 2
Bài toán 13
Cho a,b,c là 3 số dơng Chứng minh :
2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
Giải:
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó:
2
zyx
cba
++
=++2

















++






++







x
z
y
x
x
y
z
y
z
x
y
z
y
x
x
z
x
y
z
zyx
y
zyx
x
zyx
ba
c
ac
b
cb
a

và
v
vb
1
+=
Ta có a > 0, b > 0
13
Và
2
2






+ ba
<
2
22
ba +
(1)
Vì
( )
44
222
22
2
222222
2

2
2
22
22
22
=






+











+
=









++






+=
+
uv
vu
vu
v
v
u
u
v
v
u
u
ba
vì uv
2
1
2
2




++
a
b
b
a
a
b
b
a

Giải : Đặt x =
a
b
b
a
+
ta có :
2
2
2
2
2
2
++=
a
b
b

abba 2
22
+
Chia cả hai vế cho ab ta đợc
2
22

+
ab
ba
Vậy x
2
Trong cả hai trờng hợp thì
( )( )
021 xx
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
14
c) Kết quả thực hiện
1)Kết quả chung
Sau khi học sinh đợc thực hành '' Sáng kiến đổi biến để chứng minh bất đẳng thức có
điều kiện ''đa số các học sinh khá giỏi không những học sinh nắm vững cách đặt ẩn phụ
mà còn biết vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt qua đó giải đợc các dạng
toán nh :
-Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một biểu thức biết điều kiện tham số.
-Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ,đẳng thức có điều kiện .
-Sáng tao ra bất đảng thức mới.
Qua kết quả của các bài toán trên đã giúp cho học sinh cũng nh giáo viên có phơng
pháp giải mới cho các bất đẳng thức có điều kiện ,đó chính là một dạng toán khó và từ
trớc tới nay cha có cách giải tổng quát
2)Kết quả cụ thể:

Đề 3
Cho x + y = 3 và x 1.chứng minh rằng:
a)2x
2
+ y
2
6
b) xy 2
c) x
3
+ y
3
- 6x
2
- 3y
2
+ 9 0
Kết quả thực hiện nh sau :
Điểm Dới5
56
7
810 510
Đề SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

a) Cho a
2
+ b
2
2 chứng minh rằng a + b 2
b) Cho a + b 2 Chứng minh rằng
3344
baba ++
Kết quả cụ thể nh sau
Điểm
Dới 5 5 - 6 đ 7đ 8-10 5-10
Đề SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1 9 45 7 35 3 20 0 0 11 55
2 5 25 10 50 4 20 1 5 15 75
3 0 0 5 25 7 35 8 40 20 100
Nhận xét: Kết quả trên tôi thu đ
Nhận xét: Kết quả trên tôi thu đ
ợc từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện
ợc từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện
- Dạy cho học sinh nắm chắc các đẳng thức , các bất đẳng thức cơ bản .
- Đặt ẩn phụ hợp trên cơ sở điều kiện đề toán có lời giải chứng minh ngắn gọn nhất
cho bài toán .
- Mở rộng phơng pháp cho các dạng toán khác nh các bất đẳng thức khó , các bài giải
phơng trình , các bài giải hệ phơng trình có đều kiện kèm theo .
- Từ kết quả đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi xin kiến nghị .
- Đối với hội đồng khoa học cấp trờng , cấp huyện cần xem xét phơng pháp mà tôi
trình bầy trong đề tài này để có những nhận xét , đánh giá những u nhợc điểm của đề
tài , và hớng chỉ đạo trong thời gian tới . Tôi hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần
trong công tác nghiên cứu khoa học và áp dụng vào giảng dạy ở nhà trờng .
Các tài liệu tham khảo
1) Tạp trí toán học tuổi trẻ tháng 1/2002
(Hội toán học Việt Nam)
17
2) Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9
(Tác giả Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản Giáo dục 2002)
3) 500 bài toán bất đẳng thức
(TG. Phan Huy Khải - NXB Giáo dục 1996)
4) Tuyển tập các đề thi đại học cao đẳng
(TG. Lê Thống Nhất - NXB Giáo dục 2001)
5) Phơng pháp giảng dạy Toán
( TG. Hoàng Chúng - NXB Giáo dục)
18