KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM
GIẢI TÍCH 12
PHẦN I. HÀM SỐ
DẠNG 1. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1, Sơ đồ khảo sát hàm số bậc 3, trùng phương:
* TXĐ: D = R hoặc
x R∀ ∈
* Tính y’ . Cho y’ = 0, tìm các nghiệm của y’.
* Lập bảng biến thiên:
x -
∞
các nghiệm y’ từ nhỏ đến lớn
+
∞
y’ Xét dấu y’
y
Vẽ chiều biến thiên, điền CĐ; CT; giới hạn
Kết luận:
+ Khoảng đồng biến, nghịch biến;
+ x
CĐ
; y
CĐ
; x
CT
;y
CT
+
lim
=
±∞→

; dựa vào tử số của y’ ta biết được y’>0 hay y’<0 trên D.
* Lập bảng biến thiên:
x -
∞
-D/C
+
∞
y’ dấu y’ || dấu y’
y
chiều mũi tên
giới hạn
Kết luận:
+ Hàm số luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên TXĐ
+
lim
=
±∞→
y
x
;
lim
=
±
−→
y
C
D
x
Suy ra TCĐ: x = -D/C; TCN: y = A/C
* Chọn các điểm đặc biệt, rồi vẽ đồ thị.

; y
o
.
* Lưu ý: + Tiếp tuyến song song với y = ax + b ta có hệ số góc k = a;
+ Tiếp tuyến vuông góc với y = ax + b ta có hệ số góc k =
a
1
−
DẠNG 3. TÌM GTLN, GTNN TRÊN [a;b]:
* TXĐ: D = [a;b]
/opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM
* Tính y’ = 0, tìm các nghiệm của y’ trên (a;b)
* Tính y(a); y(b); y(các nghiệm trên (a;b))
=> Dựa vào các kết quả ta so sánh để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số đã cho.
DẠNG 4. DÙNG ĐỒ THỊ (C) BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
Giả sử, đồ thị (C) có hàm số y = f(x)
• Đưa phương trình đã cho về dạng: f(x) = g(m)
• Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của hai đồ thị y = f(x) và y
= g(m). Dựa vào đồ thị ta suy ra số nghiệm của phương trình đã cho.
PHẦN II. HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT
1, Công thức cần nhớ:
( ) ( )
( )
.
.
( 0)
. .
x y x y

log log
1
log
log
b
a a a
a a a
b
a a
a
a
a
b
x y x y
x
x y
y
x b x
x x
b
b
a
+ =
 
− =
 
 
=
=
=

( ) ( ) ( )
' ' '
2 3 2 4 3
2 ; 3 ; 4x x xx x x= = =

( )
'
1
.
a a
x a x
−
=
( )
'
1
. . '
a a
u a u u
−
=
( )
'
2
ax d-bc
x
b a
cx d
c d
+

( )
'
1
ln x
x
=
( )
'
'
ln
u
u
u
=
(sinx)’=cosx
(cosx)’ = - sinx
(sinu)’ = cosu. u’
(cosu)’ = - sinu. u’
(tanx)’ =
2
1
cos x
(cotx)’ =
2
1
sin x
−
1.dx x C= +
∫
;

= + ≠−
+
∫
∫
+−=
C
x
dx
x
11
2
2
1 1
dt C
t t
=− +
∫
∫
+=
Cxdx
x
||ln
1
1
ln | |dt t C
t
= +
∫
∫
+=

∫
∫
+−=
Cxdx
x
cot.
sin
1
2
2
1
. cot
sin
dt t C
t
= − +
∫
* Chú ý: Nếu trong công thức x thay bởi biểu thức (ax + b) thì ta áp dụng tương tự và nhân
thêm kết quả nguyên hàm biểu thức
1
a
.
Ví dụ:
( )
( )
3 2 3 2
1 1
. ; sin 2 . 2
3 2
x x

b, Phương pháp đổi biến số: I =
( ). '. x
b
a
f u u d
∫
 Đặt t = u(x)  dt = u’.dx
 Đổi cận: x = b  t = b’
o x = a  t = a’
 Thay vào đưa bài toán tích phân về theo biến số t.
c, Phương pháp tích phân từng phần:
I =
. | .
b b
b
a
a a
u dv uv v du= −
∫ ∫
• Nhận dạng: Nếu có ln ta đặt u = ln; dv = còn lại
• Đặc biệt:
(1):
( ).ln .x x
b
a
P x d
∫
Đặt u = lnx  du =
1
xd

3, ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN:
• DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
| ( ) ( ) | x
b
a
S f x g x d= −
∫
• THỂ TÍCH VẬT THỂ:
[ ]
2
( ) x
b
a
V f x d
π
=
∫
* Chú ý: Nếu đề bài chưa cho cận a, b ta giải phương trình f(x) – g(x) = 0 để tìm nghiệm.
* Để giải tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện như sau:
+ Tìm nghiệm f(x) – g(x) = 0.
+ Nếu tồn tại nghiệm x = c (a < c < b) thì ta tách tích phân thành
( ) ( )
| ( ) ( ) | | ( ) ( )| | ( ) ( ) |
( ) ( ) ( ) ( )
x x x
x x
b c b
a a c
c b
a c

z z
b b
=

= ⇔

=

•
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i+ = + + +
•
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i− = − + −
•
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
. . . .z z a b i a b i a a b b a b a b i= + + = − + +
•
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
1 1 2
2
2 2 2 2 2 2 2
.
( 0)
.

=



− − ∆
=


 Nếu
0∆ =
thì phương trình có 1 nghiệm thực
2A
B
x
−
=
 Nếu
0∆<
thì phương trình có 2 nghiệm phức:
1
2
2
2
A
A
B i
x
B i
x


V R h
π
=
 Thể tích lăng trụ: V = S
đáy
.h
 Thể tích khối trụ: V =
2
R h
π
 Thể tích khối cầu:
3
4
3
V R
π
=
 Diện tích xung quanh mặt
cầu: V =
2
4 R
π
 Diện tích xung quanh hình
nón: V = 2
π
Rl
 Diện tích xung quanh hình
trụ: V = 2
π
R.h

* AH là chiều cao tam giác ABC vuông tại A:
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
b, Định lí cosin: a
2
= b
2
+ c
2
– 2bccosA
4, Một số dạng toán:
 Xác định góc giữa đthẳng và MP: là góc giữa đt và hình chiếu của nó lên mặt
phẳng.
 Xác định góc giữa hai MP: là góc giữa hai đthẳng lần lượt vuông góc với giao
tuyến.
 Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diên:
- Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Dựng đường thẳng d qua O và vuông góc đáy
- Trong mp chứa cạnh bên và d, dựng đường trung trực của cạnh bên cắt d tại I,
khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp đa diện.
(có thể dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bên)
/opt/scribd/conversion/tmp/scratch6228/52100740.doc 8
KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 GV: PHAN MINH TÂM
PHẦN II. HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1, Tọa độ điểm, véctơ trong không gian:
a, TỌA ĐỘ VÉCTƠ: Cho véctơ
. . .a x i y j z k= + +
r

A x y z B x y z C x y z
. Khi đó:
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
AB =
( ) ( )
2 2
2
( )
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
uuur
Trung điểm đoạn thẳng AB:
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I
+ + +
 
=
 
 
Trọng tâm tam giác ABC:
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C


• Nếu (P) có cặp véc tơ có giá song song hoặc nằm trên (P) là
1 2
;u u
r r
thì vtpt của mp (P)
là
1 2
n u u= ∧
r r r
(tích có hướng cặp vt
1 2
;u u
r r
)
• Hai mp song song nhận vtpt mp này làm vtpt của mp kia.
b, Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:
Cho hai mp (P): Ax + By + Cz + D = 0; (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0;
• (P) // (Q) khi
' ' ' '
A B C D
A B C D
= = ≠
• (P)
≡
(Q) Khi
' ' ' '
A B C D
A B C D
= = =

a, Dạng phương trình: Đường thẳng d đi qua điểm M(x
o
;y
o
;z
o
) và có véctơ chỉ
phương là
( )
; ;u a b c=
r
có phương trình:
* Phương trình tham số:
( )
0
0
0
x x at
y y bt t R
z z ct
= +


= + ∈


= +

* Phương trình chính tắc:
0 0 0

1
không thuộc d
2
thì d
1
; d
2
song song nhau.
+ điểm M
1
thuộc d
1
và thuộc luôn d
2
thì d
1
; d
2
trùng nhau.
* Nếu hai vectơ chỉ phương của d
1
; d
2
không cùng phương và hpt
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
x a t x a t
y b t y b t
z c t z c t