CHƯƠNG:
1.KHÁI NIỆM :
LÝ THUYẾT LƯNG
Xét một tổng thể,trong đó ta quan tâm tới biến lượng X đo lường một dấu hiệu nào đó
của tổng thể.Giả sử X là ĐLNN có quy luật phân phối
),(
θ
xF
, tham số
θ
chưa biết, cần
xác đònh
θ
, việc tìm giá trò thực sự của
θ
khó khăn, nên người ta chỉ ước lượng
θ
dựa
trên các kết quả của mẫu. Vấn đề đặt ra là từ tổng thể, tìm một mẫu ngẫu nhiên
(
n
XXX , ,
21
), trong đó
n
XXX ,
21
là các ĐLNN độc lập có cùng phân phối với ĐLNN
X. Chúng ta dựa vào đó xây dựng thống kê
), ,(

tương ứng.Một hàm
), ,(
21
^
n
XXX
θ
của n giá trò
n
XXX , ,
21
được gọi là một hàm ước
lượng của
θ
.Giá trò
), ,(
21
^
n
xxx
θ
là một ước lượng điểm của
θ
.
VD
Sử dụng trung bình mẫu để ước lương thu nhập trung bình của công nhân công ty A.
: Một công ty A có hàng ngàn công nhân.Thăm dò thu nhập của 100 công nhân của
công ty nhận thấy thu nhập trung bình là 1,5 triệu đồng/tháng.
Ta nói thu nhập trung bình của công nhân công ty được ước lượng là 1,5 triệu
đồng/tháng,

•
2
^
2
)(
σ
=SE
:phương sai hiệu chỉnh của mẫu là một ước lượng không chệch của
phương sai tổng thể.
•
^
S
độ lệch chuẩn của mẫu là một ước lượng chệch của độ lệch chuẫn của tổng
thể
σ

•
pfE =)(
:tỷ lệ của mẫu là một ước lượng không chệch của tỷ lệ tổng thể.
2.2 ƯỚC LƯNG VỮNG
ĐỊNH NGHĨA :
Ước lượng
^
θ
được gọi là ước lượng vững của tham số
θ

nếu
θθ
→

ĐỊNH NGHĨA :
Cho
2
^
1
^
;
θθ
là hai ước lượng không chệch của tham số
θ
, được xây dựng trên cùng
một mẫu quan sát. Thì
1
^
θ
được gọi là hiệu quả hơn
2
^
θ
nếu

)()(
2
^
1
^
θθ
VarVar <

ĐỊNH NGHĨA:

), ,(
21
^
2 n
xxx
θ
(phụ thuộc mẫu cụ
thể
), ,(
21 n
xxx
) mà tham số
θ
thuộc vào khoảng đó được gọi là khoảng ước lượng.
ĐỊNH NGHĨA:
Giả sử
θ
là một tham số chưa biết của tổng thể. Dựa vào mẫu ngẫu nhiên chọn ra từ
tổng thể, ta tìm hai đại lượng ngẫu nhiên A , B sao cho

αθ
−=<< 1)( BAP
;
10 ≤≤
α

Nếu dựa vào một mẫu cụ thể A và B được biểu thò là a và b , thì khoảng (a,b) được gọi
là khoảng tin cậy của
θ
;

),(
εε
+− xx

Sao cho :
αεµ
−=<− 1)|(| xP

Thì :
• Khoảng
),(
εε
+− xx
được gọi là
khoảng tin cậy của trung bình tổng thể
µ

• (
α
−1
) là độ tin cậy
•
ε
được gọi là độ chính xác (hay sai số)
NHẬN XÉT:
Sự tương quan giửa độ tin cậy và độ chính xác
i) Độ tin cậy càng cao thì độ chính xác kém (sai số lớn)
ii) Độ chính xác tốt (sai số nhỏ) thì độ tin cậy thấp
3.2.1 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN VÀ KÍCH THƯỚC MẪU ≥ 30


x
n
z
x
σ
µ
σ
αα
22
+<<−

Chứng minh:

Ta có :
)1,0(~
)(
N
nX
Z
σ
µ
−
=

Thì :

α
α
σ
ε

z =
2

⇒

n
z
σ
ε
α
2
=

⇒
n
z
xx
2
α
εµ
±=±=Vậy khoảng tin cậy là

n
z
x
n
z

n
sz
x
^
2
α
µ
±=

Hay nói khác hơn với độ tin cậy là
)1(
α
−
,
thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là:

n
z
x
n
sz
x
2
^
2
αα
µ
+<<−

HÌNH VẼ


Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy
a/
từ độ tin cậy :
65,190,0)1(
2
=⇒=−
α
α
z

suy ra

033,0
100
2,0.65,1
2
===
n
z
σ
ε
α033,02±=±=⇒
εµ
x

vậy thu nhập trung bình của công nhân công ty trên là:

a/Từ

)
2
1()|(|1
22
α
α
αα
−=⇒<=− NORMSINVz
zZP

Suyra

65,1)95,0(90,01
2
==⇒=− NORMSINVz
α
α

b/ Từ
2
2,0
100.04,0
2
===
σ
ε
α
n

−
=

i)Trường hợp
2
σ
đã biết
Thì
)1,0(~
)(
N
nX
Z
σ
µ
−
=

Với độ tin cậy là
)1(
α
−
, thì khoảng tin cậy của trung bình tỗng thể là :

n
z
x
n
z
x
n
sz
x
n
sz
x
^
2
^
2
αα
µ
+<<−

Trong một hội chợ việc làm dành cho sinh viên sắp tốt nghiệp.
VD:
Chọn ngẫu nhiên 256 sinh viên dự tuyển vào một công ty liên doanh,đã được phỏng vấn
và được ban phỏng vấn đánh giá theo thang điểm
0-5. Kết quả điểm trung bình của các sinh viên trên là 3,92 với độ lệch chuẩn của mẫu
hiệu chỉnh là 1,57.
Hãy ước lượng điểm trung bình của sinh viên dự tuyển vào công ty trên với độ tin cậy là
99%.
GIẢI:
Gọi X là điểm của mỗi sinh viên
µ
điểm trung bình của sinh viên dự tuyển vào công ty trên (chưa biết).
x
điểm trung bình theo mẫu = 3,92

±=±=±=
n
sz
x
α
µ

Vậy diểm trung bình của sv dự tuyển là :
( 3,67 – 4,17 ) điểm
3.2.4 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN,KÍCH THƯỚC MẪU < 30
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể có phân phối
chuẩn với trung bình
µ
, phương sai
2
σ
.
Trung bình và phương sai hiệu chỉnh của mẫu cụ thể lần lượt là
^
2
;sx
.
i)Trường hợp
σ
đã biết
Thì
)1,0(~
)(
N
nX

s

Thì
)1(~
)(
^
−
−
= nT
s
nX
T
µ

Hay

)1(~
1)(
−
−−
= nT
s
nX
T
µ

(T có phân phối STUDENT với bậc do là k=n-1
Suy ra :
n
st


α
α
εµ
αεµ
α
−=<⇔
⇔−=<
−
⇔−=<−
1)|(|
1)
||
(1)|(|
2
^^
tTP
s
n
s
nX
PXP

Từ đó suy ra
2
α
t

(tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng EXCEL)


x
n
st
x
^
2
^
2
αα
µ
+<<−

• CHÚ Ý:
)1(~ −nTT
thì
2
)(
2
α
α
=> tTP

HÌNH VẼ
VD
Một hãng xe hơi thử nghiệm mức tiêu hao nhiên liệu của một loại xe đời mới ( số
km/lít).Chọn ngẫu nhiên 6 xe cho chạy thử được số liệu như sau:
:
7,83 8,17 7,75 8,08 8,63 8,76
Với độ tin cậy là 90% .Hãy tìm khoảng tin cậy của mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của
loại xe trên.

)()|(|)|(|1
222
α
αα
ααα
=>⇔=>⇔<=− tTPtTPtTP

Suy ra 34,020,8
6
41,0.015,2
20,8
^
2
±=±=±=
n
st
x
α
µ

Vậy khoảng tin cậy của mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của lại xe trên là :
( 7,86 - 8,54 ) km/ lít

3.3 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ TỔNG THỂ
Trường hợp kích thước mẫu n≥30
p
: tỷ lệ của tổng thể (chưa biết )

iii)
ε
là độ chính xác (sai số)
Giả sử
f
là tỷ lệ thành công trong một mẫu gồm n quan sát từ một tổng thể có tỷ lệ
thành công là
p
. Trường hợp n lớn (n≥ 30 ).
Với độ tin cậy
)1(
α
−
, thì khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể là :

n
ff
zfp
n
ff
zf
)1()1(
22
−
+<<
−
−
αα

CHÚ Ý:


là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng

pfE =)(

Và phương sai

n
pp
fVar
)1(
)(
−
=

Nhưng vì p chưa biết nên thay thế bởi f.
• Điều kiện




>−
>
10)1(
10
fn
nf

Thì


2
zZP
ff
n
ff
npf
PpfP

Tra bảng hàm hoặc dùng EXCELù suy ra

2
α
z

Với
n
ff
z
ff
n
z
)1(
)1(
22
−
=⇒
−
=
αα
ε

ii) Cho độ chính xác, kích thước mẫu.Tìm khoảng tin cậy.
iii) Cho độ tin cậy,độ chính xác.Tìm kích thước mẫu.
Tại một đòa phương thăm dò 400 người dân về mức độ hài lòng của người dân về các
dòch vụ công,có 160 người không hài lòng về thái độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt.
VD:
a/ Với độ tin cậy 95%.Hãy ước lượng tỷ lệ người dân đòa phương không hài lòng về thái
độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt.
b/ Nếu độ chính xác là 3% thì độ tin cậy là bao nhiêu?
c/ Nếu độ tin cậy là 90% và độ chính xác là 3% thì cần thăm dò bao nhiêu người ?
GIẢI:
a/
p
: tỷ lệ người dân đòa phương không hài lòng (chưa biết)
%40
400
160
==f
: tỷ lệ người dân không hài lòng theo mẫu
%951 =−
α
độ tin cậy
n=400
sử dụng f để ước lượng p.
Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy
Từ

)|(|95.0
)|(|1)|(|1
2
2

Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ người dân đòa phương không hài lòng là:
( 35,199% - 44,801%)
b/ Trường hợp độ chính xác
%3=
ε

từ
23,1
24,0
400
03,0
)1(
)1(
22
==
−
=⇒
−
=
ff
n
z
n
ff
z
εε
αα

suy ra độ tin cậy là


726
)03,0(
6,0.4,0.)65,1(
)1(
)1(
2
2
2
2
==⇒
−
=⇒
−
=
n
ffz
n
ff
n
z
ε
ε
α
α

Vậy: n= 726
Phương pháp 2
Ta có :
:


2
2
2
)1(
ε
α
ppz
n
−
≥vậy
25,756
)03,0(4
)65,1(
2
2
=≥n

Kết luận n=757

3.4 KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ
Trường hợp tổng thể có phân phối chuẩn

),(~
2
σµ
NX


2
2
2
2
^
2
)1()1(
αα
χ
σ
χ
−
−
<<
− snsn

Hay

2
2
1
2
2
2
2
2
αα
χ
σ
χ

2
)(
2
2
2
α
χχ
α
=>P

•
2
)(
2
2
1
2
α
χχ
α
=<
−
P

Tại một siêu thò ,thăm dò 30 khách hàng về số tiền dùng để mua hàng ,thì thấy số tiền
trung bình là 180 ngàn đồng,độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh là 14 ngàn đồng.Với độ
tin cậy là 95%, hãy tìm khoảng tin cậy của độ lệch chuẩn của số tiềân khách hàng sử
dụng .Cho biết số tiềân khách hàng sử dụng để mua hàng có phân phối chuẩn.
VD:
GIẢI:

2
2
1
===
−
CHIINV
χχ
α

(có thể tra bảng phân phối chi bình phương bậc tự do n=k-1=29

72,45025,0)(
2
025,0
2
025,0
2
=⇒=>
χχχ
P05,16975,0)(
2
975,0
2
975,0
2
=⇒=>
χχχ

σ
( ngàn đồng)

3.5 KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU HAI TRUNG BÌNH
3.5.1 TRƯỜNG HP MẪU GỒM CÁC CẶP SỐ
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên gồm n cặp quan sát
),), (,(),,(
2211 nn
yxyxyx

từ một tổng thể vớiù các trung bình lần lượt là
YX
µµ
;
.Gọi d và
d
s
lần lượt là trung bình và
độ lệch chuẩn của n giá trò
iii
yxd −=

ni ,1=
Nếu tổng thể của hiệâu hai trung bình có
phân phối chuẩn.
Thì với độ tin cậy
)1(
α
−

2
)(
2
α
α
=> ttP

Chọn một mẫu ngẫu nhiên 6 người bán hàng đã tham gia một khóa học về nghiệp vụ
kỹ thuật bán hàng.Theo dõi trong vòng 3 tháng trước và 3 tháng sau khi tam dự khóa
học,ta có bảng sau đây về số tiền bán được hàng cuả 6 người bán hàng trên (đơn vò
ngàn đôla) theo cùng một chu kỳ.
VD:
Cho biết tổng thể cóù phân phối chuẩn.
Với độ tin cậy 80% tìm khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình của tổng thể.

Thứ tự người
bán hàng
Trướckhi tham
dự khóa học
Sau khi tham dự
khóa học
1 212 237
2 282 291
3 203 191
4 327 341
5 165 192
6 198 180
GIẢI:

st
d
α
ε60,155,7 ±=±=−
εµµ
d
YX

Vậy khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình tổng thể là :

10
,2310,8 <−<−
YX
µµ
(ngàn đôla)

3.5.2 TRƯỜNG HP HAI MẪU ĐỘC LẬP,
22
YX
σσ
≠

Chúng ta xétù hai mẫu ngẫu nhiên độc lập, không cần thiết cùng kích thước mẫu .
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên cuả
X
n
quan sát từ tổng thể có phân phối

X
X
YX
Y
Y
X
X
nn
zyx
nn
zyx
22
2
22
2
((
σσ
µµ
σσ
αα
++−<−<+−−

Trường hợp này sử dụng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy

Nếu
CHÚ Ý:
22
;
YX
σσ

zyx
n
s
n
s
zyx
^
2
^
2
2
^
2
^
2
2
)()( ++−<−<+−−
αα
µµ

Một mẫu ngẫu nhiên gồm 60 công nhân nghiện thuốc lá, số giờ trung bình các công
nhân này vắng mặt trong công việc là 2,15 giờ / tháng, và độ lệch chuẩn của mẫu là
2,09 giờ / tháng.
VD:
Một mẫu ngẫu nhiên độc lập với mẫu trên gồm 206 công nhân không hút thuốc lá,số giờ
trung bình các công nhân này vắng mặt trong công việc là 1,69 giờ/tháng, và độ lệch
chuẩn của mẫu là 1,91 giờ/tháng.
Với độ tin cậy là 99%.
Tìm khoảng tin cậy của hiệu của hai trung bình tổng thể.
GIẢI:

2
=⇒=−
α
α
z

Suy ra khoảng tin cậy là :

Y
Y
X
X
YX
Y
Y
X
X
n
s
n
s
zyx
n
s
n
s
zyx
^
2
^

YX
µµ
;
,và có cùng phương sai là
2
σ
(tuy
nhiên chưa biết phương sai
)
Nếu các trung bình và phương sai hiệu chỉnh của hai mẫu cụ thể lần lượt là
^
2
^
2
;;;
YX
ssyx
.
Thì với độ tin cậy
)1(
α
−

khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình là :

YX
YX
YX
YX
YX

+
−+−
=
YX
YXX
nn
snsn
s
Y

Và từ

2
)1(
α
α
t⇒−

CHÚ Ý:
Trường hợp này sử dụng phân phối STUDENT để tìm khoảng tin cậy

•
)2(~ −+
YX
nnTT

( T có phân phối STUDENT với bậc tự do là
2−+=
YX
nnk


3,11
^
=
X
s

18=
Y
n

8,73=y

6,10
^
=
Y
s

phương sai chung của hai mẫu
98,1065,120
2
)1()1(
^
2
^
2
2
=⇒=
−+

nn
nn
styx
nn
nn
styx
+
+−<−<
+
−−
22
)()(
αα
µµ
45,585,8 <−<−⇔
YX
µµ
(điểm)

3.6 KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU HAI TỶ LỆ
Giả sử
X
f
là tỷ lệ thành công trong một mẫu ngẫu nhiên của
X
n
quan sát từ một tổng

XX
YX
YX
Y
YY
X
XX
YX
n
ff
n
ff
zff
pp
n
ff
n
ff
zff
)1()1(
)(
)1()1(
)(
2
2
−
+
−
+−<
<−<


%5
120
6
==
Y
f

Từ
65,190,0)1(
2
=⇒=−
α
α
z

Khoảng tin cậy của hiệu hai tỷ lệ là:

Y
YY
X
XX
XY
XY
Y
YY
X
XX
XY
n