1
DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
1. Acgumen của số phức
0
z
Cho số phức
0
z
. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số
z
. Số đo (radian) của mỗi
góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
Ký hiệu:
Argz
.
Nhận xét. Nếu
là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng
.2
k
.
0
r
, được gọi là dạng lượng giác của số phức
0
z
. Còn
dạng
, ,z a bi a b
được gọi là dạng đại số của số phức z.
Nhận xét.
cos .sin
z r i
thì
cos( ) .sin( )
z r i
.
Phương pháp viết số phức
, ,z a bi a b
dưới dạng lượng giác
. ' ' cos ' .sin '
cos ' .sin ' , ' 0
' '
z z rr i
z r
i r
z r
.
Ghi nhớ. Nhân: Tích mođun và tổng acgumen; Chia: Thương mođun và hiệu acgumen.
2 2 cos .sin
1 2
4 4
cos .sin
2 4 6 4 6
3
2 cos .sin
6 6
4. Công thức Moivre và ứng dụng
Cho số phức:
cos .sin
z r i
.
Khi đó
cosn .sinn
n n
z r i
.
Ví dụ.
5
5
5
5 5
1 2 cos .sin ( 2) cos .sin 4 1
4 4 4 4
i i i i
.
Bài toán thường gặp. Tìm số phức z khi biết acgumen hoặc một số phức khác xuất phát từ z
biết trước acgumen.
+ Nếu z có một acgumen bằng
cos .sin
z r i
với
0
r
.
+ Nếu
( )f z
có một acgumen bằng
( ) cos .sin
f z r i
với
0
r
.
2. Tính
a)
2 2
3 3
i i
.
3
b)
2 2
3 3
i i
.
c)
3 3
3 3
i i
.
d)
2
2
3
2 2014
1 1 3 1 3 1 3S i i i
.
Bài giải
Ta có S là cấp số nhân công bội
1 3 2 cos .sin
3 3
q i i
.
Suy ra:
2015
2015
2 2014
2015
1 2 cos .sin
3 3
1
1
1
1 2 cos .sin
.
5. Cho số phức
7 3
1 2 3
i
z
i
. Tính tổng
2 2014
1
S z z z
.
Bài giải
i
z
S
z
i
.
6. Cho số phức
z
có acgumen bằng
3
. Tìm một acgumen của số phức
1 3
z
Một acgumen của
1 3
z i
là
.
3
+ Nếu
2
z
Một acgumen của
1 3
z i
là
4
.
3
+ Nếu
2 1 3 0
z z i
.
Vậy số phức cần tìm là
1 3z i
.
8. Tìm số phức z thỏa mãn
2 2
( ) 4 3z z i
và có một acgumen bằng
3
.
Bài giải
Theo giả thiết ta có
3 3
cos .sin
3 3 2 2 2 2
r r r r
z r i i z i
.
Vậy
và
1z
có một acgumen bằng
6
.
Bài giải
Giả sử
z x yi
theo giả thiết ta có:
3
1 3 3 1
z i
z i z i x y i x y i
z i
.
2 2
2 2
3 1
x y x y
.
5
.
Từ đó suy ra:
3
1 2
2 2
i
x i r
.
3
1
4
2
2 3 1 2
2 3 1
2
2
x r
r
z i
r x
.
Khi đó
3
1 3
3
2 2
1 1
3
1
2 2
r ri
i
z i
z i
r ri
i
.
2
2
2
2
r r r r
.
2 2
3 1 4 2 3 1 2
2 2
r r
r z i
.
10. Tìm số phức z thỏa mãn
3
1 .i z
có một acgumen bằng
12
và
. 2 5 2 3
1 . 2 2 cos .sin . cos( ) .sin( )
4 4
3 3
2 2 cos .sin
4 4
i z i r i
r i
.
Theo giả thiết ta có:
3 2 2 2 3
cos .sin
4 12 3 3 3 2 2
r r
z r i i
.
Ta có phương trình:
1 3
5 2 3 5 2 3 1
2 2
r r z i
.
Vậy số phức cần tìm là
1 3
2 2
z i
.
11. Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z
biết số phức
2
2
z
2
4 4
2 2
x yi x yi
x yi
z
z x yi
x y
x y y
i
x y x y
7
Số phức này có acgumen bằng
3
, suy ra
2 2
3
2
2 4
4
3
4
3 3
sin
4
3
2
x y
rc
y
x y
x y
y
y
r
x y
x y
thực.
12. Tìm số phức z thỏa mãn
3 .i z
có một acgrumen bằng
3
và
2 2 3
z i
.
Bài giải
Đặt
cos sin , 0.
z r i r
Suy ra
cos( ) sin( ) .
z r i
Khi đó
3 2 cos sin .
2 2 3
2 2
r r
i
.
2
2
2
3
2 12 2 8 0 2,
4 2
r r
r r r
vì
0.
r
Vậy
3 .z i
Ta có
1 2 os isin
4 4
1
os isin
1 4 4
3 2
i c
z
c
i
Từ đó suy ra
z
có một
acgumen bằng
4
.
Bài giải
Nhận xét. Trước hết ta tìm
z x yi
từ điều kiện đầu tiên trước sau đó sử dụng giả thiết:
3
cos .sin , 0
3 4 4
z
r i r
z
. So sánh hệ số hai vế để tìm ra x và y.
Giả sử số phức z có dạng:
, ,z x yi x y
3 3 3 2
3 3 3 2
3 4
3 3 4 2 3 3
5 9 12
3 4 3 4
x xi x xi
z x yi x xi
z x yi x xi
x x
x x x xi x x
x xi
x x x x
.
Theo giả thiết ta có:
2
2
2
3 5 9 12
cos .sin , 0 cos .sin
3 4
5 9
12
1
12
2
3 4
x r
x x
x x
x
x r
x
x x
3
1 3
.
1
i
z
i
Tìm modun của số phức
.z iz
3. Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
1 3
.
1
i
i
4. Tìm số nguyên n thuộc đoạn
1;10
biết
2 2
os isinz c
n n
.
8. Tìm số phức z thỏa mãn
3 .i z
có một acgrumen bằng
3
và
2z i
nhỏ nhất.
Bài giải
Đặt
cos sin , 0.
z r i r
Suy ra
cos( ) sin( )
z r i
Suy ra
2
2
2
2
3 3
2 2 2 2 4 1 3 3
2 2 4 2
r r r r
z i i r r r
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3 1
1
2 2
r z i
.
10
Vậy
3 1
2 2
z i
16
3 1
.
2 2
1
. cos .sin cos .sin cos .sin
2 2 6 6
1
cos .sin
2 6 6
i z i i
i
z
z
i
i i i
i
.
10. Tìm số phức z thỏa mãn
2
3 4 5
4
i
z
và
4
1 3
i
z
có một acgumen bằng
5
3
.
Bài giải
Ta có
2 2
2 2
2
1 3 2 cos .sin 2 cos .sin
3 3 3 3
i i i
.
Suy ra
4
4
4 4
2 cos .sin
1 3
3 3
4 4
8 cos .sin
2 cos .sin 3 3
i
i
i
.
Vậy số phức cần tìm là
1 3z i
.
11. Tìm số phức z thỏa mãn
3
1 3
2
i
z
nhỏ nhất và
5
1 3 .i z
có một acgumen bằng
4
3
.
11
.
Suy ra:
5
5
5
5 5
1 3 . 2 cos .sin . cos( ) sin( )
3 3
5 5
2 cos .sin
3 3
i z i r i
r i
.
Ta có:
3 3
1 3 1 3
2 2
i i
z z
.
Mặt khác:
2
2
2 2
2
2
1 3 3 1 3 1 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
1 3 1
1 3
4 4
z i
.
D. SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CÁC NĂM
1. (TSĐH Khối A,A1/2013) Cho số phức
1 3z i
. Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần
thực và phần ảo của số phức
5
w 1
i z
.
2. (TSĐH Khối D/2013) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
1 2 2i z i z i
. Tính môđun
của số phức
2
2 1z z
w
z
.
3. (TSĐH Khối A,A1/2012) Cho số phức z thỏa mãn
Copyright: Tài liệu đại học ©