TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TẬP 4 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

· z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
· Hai số phức bằng nhau:
'
’’(,,',')
'
aa
abiabiababR
bb
ì
=
+=+ÛỴ
í
=
ỵ

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
)
R
Ỵ
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay
bởi
(;)
uab
=
r
trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:

r
biểu diễn z' thì
'
uu
+
rr
biểu diễn z + z’ và
'
uu
-
rr
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
·
(
)
(
)
(
)
(
)
'' ’–’’ ’
abiabiaabbabbai
++=++
·
()()
kabikakbikR
+=+Ỵ


·
22
zabzzOM
=+==
uuuur

·
0,,00
zzCzz
³"Ỵ=Û=

·
.'.'
zzzz
= ·
'
'
zz
z
z
= ·
'''
zzzzzz
-£±£+

7. Chia hai số phức:
·
1
2
1

Trần Só Tùng Số phức
Trang 103
8. Căn bậc hai của số phức:

·

zxyi
=+
là căn bậc hai của số phức
wabi
=+
Û
2
zw
=
Û
22
2
xya
xyb
ì
-=
í
=
ỵ

· w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
· w
0
¹

-±d
= , (
d
là 1 căn bậc hai của D)
·
0
D=
: (*) có 1 nghiệm kép:
12
2
B
zz
A
==-
Chú ý: Nếu z
0

Ỵ
C là một nghiệm của (*) thì
0
z
cũng là một nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức:
·
(cossin)
zri
=j+j
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z
¹
0)

1cossin()
zziR
=Û=+Ỵ
jjj

11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho
(cossin),''(cos'sin')
zrizri
=j+j=j+j
:
·
[
]
.''.cos(')sin(')
zzrri
=j+j+j+j
·
[ ]
cos(')sin(')
''
zr
i
zr
=j-j+j-j

12. Công thức Moa–vrơ:
·
[ ]
(cossin)(cossin)

ỉư
jj
+
ç÷
èø
éù
ỉưỉưỉư
jjjj
-+=+p++p
ç÷ç÷ç÷
êú
èøèøèø
ëû

· Mở rộng: Số phức
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) có n căn bậc n là:

22
cossin,0,1, ,1
n
kk
rikn
nn
ỉư
++
+=-

ç÷
èø
c)
( )
25
23
34
ii
ỉư

ç÷
èø

d)
131
32
322
iii
ỉưỉư
-+-+-
ç÷ç÷
èøèø
e)
3153
4545
ii
ỉưỉư
+ +
ç÷ç÷
èøèø

1
1

k)
mi
m
l)
aia
aia
-
+
m)
)1)(21(
3
ii
i
+-
+

o)
1
2
i
i
+
-
p)
ai
bia +
q)

i
ỉư
-
ç÷
èø
e)
22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+-+
+
f)
( )
6
2
i
-

g)
33
(1)(2)
ii
-+- h)
100
(1)
i
- i)

23
a
+
c)
42
49
ab
+
d)
22
35
ab
+

e)
4
16
a
+
f)
3
27
a
-
g)
3
8
a
+
h)

i
-
g)
4042
i
-+
h)
1143.
i
+

i)
12
42
i
+ k)
512
i
-+
l)
86
i
+
m)
3356
i
-

g) 1
4
=
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
-
+
iz
iz
h)
i
i
z
i
i
+
+
-
=
-
+
2
31
1
2


z
+
=-
p)
(
)
(
)
2
3250
zizz
+-+=

q)
(
)
(
)
22
910
zzz
+-+=
r)
32
235330
zzzi
-++-=

Bài 2. Giải các phương trình sau (ẩn x):
a) 01.3

x
-=
h)
4
2160
x
+=

i)
5
(2)10
x
++=
k)
2
7 0
x
+=

l)
(
)
2
21420
xixi
++++=
m)
(
)
2

i
=+
a
b)
73
i
a=-
c)
25
i
=-
a

d)
23
i
a=
e)
32
i
a=-
f)
i
=-
a

g)
(2)(3)
ii
=+-

233
12
350,:18
zmziđkzz
-+=+=

c)
222
12
30,:8
xmxiđkzz
++=+=

Bài 6. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình
(
)
(
)
2
123210
izizi
+-++-=
. Tính giá
trò của các biểu thức sau:
a)
22

21
b)
ỵ
í
ì
+-=+
=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
c)
35
12
24
12
0
.()1
zz
zz
ì
+=
ï
í
=

z
ì
-
=
ï
-
ï
í
-
ï
=
ï
-
ỵ
f)
1
1
3
1
z
zi
zi
zi
ì
-
=
ï
-
ï
í

-=
ï
í
-=-
ï
ỵ
i)
22
1212
12
40
2
zzzz
zzi
ì
ï
++=
í
+=
ï
ỵ

Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
212
3
xyi
xyi
ì
+=-

i
xy
xyi
ì
+=-
ï
í
ï
+=-
ỵ
e)
22
6
112
5
xy
xy
ì
+=-
ï
í
+=
ï
ỵ
f)
32
11171
2626
xyi
i

ỵ
VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm
hệ thức giữa x và y.

Bài 1. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:
a)
34
zz
++=
b)
12
zzi
-+-=
c) 22
zzizi
-+=-

d)
2.123
-=+
izz e)
2221
izz
-=-
f)

zi
<-<

Bài 2. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:
a)
2
zi
+
là số thực b)
2
zi
-+
là số thuần ảo c)
.9
zz
=
VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức
Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.

Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a) i.322 +- b) 4 – 4i c)
13.
i
-

d)

èøèø

c)
(
)
(
)
3cos120sin120cos45sin45
++
oooo
ii d) 5cossin3cossin
6644
ỉưỉư
++
ç÷
ç÷
èø
èø
pppp
ii
Trần Só Tùng Số phức
Trang 107
e)
(
)
(
)
2cos18sin18cos72sin72
++
oooo

)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
pp
pp
i
i
+
+
k)
22
2cossin
33
2cossin
22
ỉư
+
ç÷
èø
ỉư
+

+
h)
22
i
+

i)
13
i
+ k)
3
i
-
l)
30
i
+
m)
5
tan
8
i
p
+

Bài 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau:
a)
cos45sin45
oo
i+ b) 2cossin

21
i
i
+
+
h)
( )
60
13
i-+ i)
40
7
13
(22).
1
i
i
i
ỉư
+
-
ç÷
-
èø

k)
133
cossin
44
2

Bài 5. Tính:
a)
( )
5
cos12 sin12
oo
i+ b)
( )
16
1
i
+ c)
6
)3( i-
d)
( )
7
00
2cos30sin30i
éù
+
ëû
e)
5
(cos15sin15)
oo
i+ f)
20082008
(1)(1)ii++-
g)

2008
1
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+
i
i

k)
57
(cossin).(13)
33
iii
pp
-+ l)
2008
2008
11
,1
zbiếtz
z
z
++=

Bài 6. Chứng minh:
a)
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(2)(32)(54)
iii
+-
b)
66
1317
22
ii
ỉưỉư
-+-
+
ç÷ç÷
èøèø

c)
168
11
11
ii
ii
ỉưỉư
+-
+
ç÷ç÷
-+
èøèø

i)
232000
iiii
k)
571310094
()()()
iiiii

-+-++-
Bài 2. Cho các số phức
123
12,23,1
zizizi
=+=-+=-
. Tính:
a)
123
zzz
++
b)
122331
zzzzzz
++ c)
123
zzz

d)
222
123
zzz


Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho:
a)
(12)(12)1
ixyii
-++=+
b)
33
33
xy
i
ii

+=
+-

c)
2222
1
(43)(32)4(32)
2
ixixyyxxyyi
-++=-+-
Bài 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a)
86
i
+
b)
34

ç÷
ç÷
-
èø
g)
12
22
i
- h) i, –i
i)
3
13
i
i
-
+
k)
11
22
i
+
l)
(
)
213
i-+ m)
11
11
ii
+

-+

Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
3
1250
z
-=
b)
4
160
z
+=
c)
3
640
zi
+=
d)
3
270
zi
-=

e)
743
220
ziziz
=
f)

uu
+
12
vv
++
?
II. ÔN TẬP SỐ PHỨCTrần Só Tùng Số phức
Trang 109
Bài 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
5 0
z
+=
b)
2
2 2 0
zz
++=
c)
2
4 10 0
zz
++=

d)
2

2323
zzi
+=+
l)
( ) ( )
2
2+2230
zizi
++-=
m)
3
zz
=

n)
2
2
488
zz
+=
o)
2
(12)10
iziz
+++=
p)
2
(1)2110
izi
+++=

zzzz
+-+-=
d)
( ) ( )
32
1330
zizizi
-+++-=

e)
( )
(
)
2
2 2 0
zizz
+-+=
f)
2
2210
zizi
-+-=

g)
(
)
(
)
2
51421250

b)
(
)
2
120
xixi
++ =
c)
2
320
xx
++=

d)
2
10
xx
++=
e)
3
10
x
-=

Bài 13. Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a)
32
220
ziziz
=

-+
là số thực.
Bài 17. Giải các phương trình trùng phương:
a)
(
)
42
8163160
zizi
+-=
b)
(
)
42
2413081440
zizi
+-=

c)
42
6(1)560
zizi
++++=

Bài 18. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình:
(

ç÷ç÷
ç÷ç÷
èøèø
e)
33
2112
zzzz
+ f)
12
21
zz
zz
+

Bài 19. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình:
2
10
xx
-+=
. Tính giá trò của các biểu
thức sau:
a)
20002000
12
xx+ b)
19991999

231
1
n
Szzzz
-
=++++
biết rằng
22
cossinzi
nn
pp
=+ .
Bài 22. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a)
432
1
iiii
++++
b)
(1)(2)
ii
-+
c)
2
1
i
i
+
-


( )
( )
8
6
68
232(1)
(1)
232
ii
i
i
++
+
-
-
b)
( ) ( )
4
104
(1)1
3232
i
ii
-+
+
-+
c)
( ) ( )
1313
nn

+-
aap
a
aa
i)
43
i
-

Bài 24. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:
a)
( )
( )
8
6
68
232(1)
(1)
232
ii
i
i
++
+
-
-
b)
( ) ( )
4
104

c)
66
1313
22
ii
ỉưỉư
-+
+
ç÷ç÷
èøèø
d)
55
1313
22
ii
ỉưỉư
-+
+
ç÷ç÷
èøèø

e)
66
33
22
ii
ỉưỉư
+-
+
ç÷ç÷

b)
32
(1)(1)0
zizizi
+++ =

c)
32
(45)(820)400
zizizi
+-+ =

Bài 29. Cho đa thức
32
()(36)(1018)30
Pzzizizi
=+-+-+.
Trần Só Tùng Số phức
Trang 111
a) Tính
(3)
Pi
-
b) Giải phương trình
()0
Pz
=
.
Bài 30. Giải phương trình
2

(
)
(
)
(
)
432
12221210
zzzz
-+++-++=
d)
432
464150
zzzz
-+ =

e)
65432
13141310
zzzzzz
+ ++=

Bài 32. Giải các phương trình sau:
a)
2222
(36)2(36)30
zzzzzz
+++++-=
b)
3

£
thì
2
1
2
zi
iz
-
£
+
.
Bài 34. Cho các số phức
123
,,
zzz
. Chứng minh:
a)
2222222
122331123123
zzzzzzzzzzzz
+++++=+++++
b)
(
)
(
)
2222
121212
111zzzzzz++-=++
c)

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.