ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THÙY LINH
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ
CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THÙY LINH
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ
CHUẨN TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC
Thái Nguyên - Năm 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mở đầu i
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1
1.1 Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Không gian phức hyperbolic đầy . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Giả metric vi phân Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUẨN
TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC 15
2.1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2 là nội dung chính của Luận văn, trình bày một số kết quả về
ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ chuẩn tắc vào các đa tạp phức compact, một số
tính chất cơ bản, mở rộng của ánh xạ chuẩn tắc và cuối cùng là dáng điệu
tiệm cận của các ánh xạ Bloch.
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái
Nguyên. Để hoàn thành được bản Luận văn này, trước hết tôi xin bày tỏ
lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Việt Đức, người thầy
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thành
Luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán
học Việt Nam, Trường Đại học sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy và
giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập và làm Luận văn tốt nghiệp.
Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, rất
mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012
Học viên
Nguyễn Thị Thùy Linh
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Giả khoảng cách Kobayashi
Trên đĩa đơn vị ∆ = {z ∈ C; |z| < 1} cho metric Bergman - Poincaré
ρ
∆

, f
i
(a
i
) = p
i
, ∀i = 1, , k.
Tập hợp α = {p
0
, , p
k
, a
1
, , a
k
, f
1
, , f
k
} thỏa mãn các điều kiện trên
được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Ta định nghĩa
d
X
(x, y) = inf
α

k

i=1

Thật vậy, lấy x ∈ X và gọi Z là tập gồm tất cả các điểm trong X mà
có thể nối với x bởi một dây chuyền chỉnh hình. Ta sẽ chứng minh Z vừa
là tập mở vừa là tập đóng.
Nếu X là đa tạp phức thì hiển nhiên Z = X.
Nếu X là không gian phức. Lấy z ∈ Z. Theo định lý Hironaka về giải
kỳ dị, tồn tại lân cận U của z và một ánh xạ chỉnh hình toàn ánh, riêng
π : M → U,
với M là đa tạp phức có hữu hạn thành phần liên thông và π là đẳng cấu
chỉnh hình bên ngoài tập các điểm kỳ dị của X trong U. Vì X là đa tạp
phức, và vì π là toàn ánh nên Z là mở.
Để chứng minh Z đóng ta lấy một dãy {y
n
} trong Z và
y
n
→ z ∈ X.
Ta lại lấy một lân cận U của z và giải kỳ dị
π : M → U.
Với n đủ lớn ta có y
n
∈ U. Vì π là toàn ánh, ta có thể nâng {y
n
} thành
{u
n
} ⊂ M. Do {y
n
, z} là tập compact và π là ánh xạ riêng nên
{π
−1

Hơn nữa, d
X
là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ
chỉnh hình f : ∆ → X là giảm khoảng cách.
b) + d
∆
≡ ρ
∆
.
+ d
C
m
≡ 0.
c) Đối với bất kì các không gian phức X, Y, ta có
d
X×Y
((x, y), (x

, y

)) = max{d
X
(x, x

), d
Y
(y, y

)}
với mọi x, x

n
, x, y ∈ X. Do đó để chứng minh tính liên tục của d
X
ta chỉ
cần chứng minh d
X
(y
n
, y) → 0 khi y
n
→ y.
a) Trường hợp X là đa tạp phức.
Gọi U là một lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆
n
,
n = dimX. Ta có
d
∆
n
((x
1
, , x
n
), (y
1
, , y
n
)) = max{d
∆
(x

X và ánh xạ chỉnh hình riêng, toàn ánh π : M → U, với U là đa tạp
phức. Vì y
n
→ y nên tồn tại lân cận compact tương đối V của y sao cho
V ⊂ V ⊂ U và y
n
∈ V . Do π là toàn ánh riêng nên π
−1
(V ) là compact
tương đối trong M. Vì vậy, tồn tại dãy {z
n
} ⊂ M sao cho π(z
n
) = y
n
và
z
n
→ z ∈ M. Rõ ràng π(z) = y.
Theo a), vì M là đa tạp phức, ta có
d
M
(z
n
, z) → 0 khi n → ∞.
Từ đó, theo tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi
ta có
d
X
(y

hyperbolic thì d
X
sinh ra tô pô tự nhiên của X.
Chứng minh.
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Ta có không gian phức X là compact địa phương với tô pô đếm được,
do đó nó metric hóa được bởi định lý metric hóa Urưxơn. Vì vậy có hàm
khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên của X. Ta phải chứng minh d
X
và
ρ là so sánh được, tức là với {x
n
} ⊂ X ta có
ρ(x
n
, x) → 0 ⇔ d
X
(x
n
, x) → 0 khi n → ∞.
Do d
X
liên tục nên từ ρ(x
n
, x) → 0 suy ra d
X
(x
n
, x) → 0 khi n → ∞.

X
(y
n
, x) ≤ d
X
(x
n
, x) → 0 khi n → ∞.
Do tính compact địa phương, dãy {y
n
} có dãy con {y
n
k
} hội tụ tới y
thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s.
Khi đó,
d
X
(y, x) = lim
n→∞
d
X
(y
n
k
, x) = 0,
mà y = x. Điều này mâu thuẫn tới giả thiết X là không gian hyperbolic.

d) ( Bổ đề Eastwood) Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các
không gian phức. Giả sử Y là hyperbolic và với mỗi điểm y ∈ Y có lân

của X.
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh U[U(a, r), r

] ⊂ U(a, r + r

).
Lấy x ∈ U[U(a, r), r

], theo định nghĩa tập U, có điểm y ∈ U(a, r) sao
cho
d
X
(x, a) ≤ d
X
(x, y) + d
X
(y, a) < r

+ r.
Do đó, x ∈ U(a, r + r

).
Ngược lại, với bất kỳ x ∈ U(a, r + r

), lấy ε > 0 sao cho
d
X
(a, x) < r + r


j
sao cho
L{γ
1
, , γ
j−1
, γ

j
} = r − ε.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Khi đó, d
X
(a, x
j
) < r, tức là x
j
∈ U(a, r). Xét đường nối
{γ
1
, , γ

j
, γ

j
, , γ
m
},

)
với mọi a ∈ X và với mọi r, r

> 0. Khi đó với a ∈ X và r > 0, nếu tồn
tại s > 0 sao cho
U(x, s) là compact với mỗi x ∈ U(a, r) thì U(a, r) là
compact.
Chứng minh.
Vì X là compact địa phương nên có t > 0 sao cho t < r và U(a, t) là
compact. Ta chỉ cần chứng minh U(a, t + (s/2)) là compact. Lấy {x
n
} là
một dãy trong U(a, t). Ta chứng minh {x
n
} có dãy con hội tụ. Theo giả
thiết, với mỗi n tồn tại điểm y
n
∈ U(a, t) sao cho
d(x
n
, y
n
) <
3
4
s.
Vì U(a, t) là compact, bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết
{y
n
} hội tụ tới y ∈ U(a, t). Khi đó U(y, s) chứa x

thiết U(x, r) là compact, nên tồn tại dãy con
{x
n
k
} ⊂ {x
n
}, {x
n
k
} → y ∈ U(x, r).
Mà {x
n
} là dãy cơ bản nên {x
n
} → y ∈ X. Vậy X là đầy.
Ngược lại, giả sử X là đầy. Theo Bổ đề 2, ta chỉ cần chứng minh tồn tại
số s > 0 sao cho với mọi x ∈ X hình cầu đóng U(x, s) là compact. Giả sử
ngược lại, khi đó tồn tại x
1
∈ X sao cho U(x
1
,
1
2
) không là compact. Theo
Bổ đề 2, tồn tại
x
2
∈ U(x
1

phương, tồn tại hình cầu đóng U(x, t) với t > 0 nào đó thỏa mãn U(x
n
,
1
2
n
)
nằm trong U(x, t) với n đủ lớn, và do đó U(x
n
,
1
2
n
) là compact. Điều này
mâu thuẫn với (*). 
Tính chất a) được suy ra từ các Bổ đề 1 và 3.
b) Các đĩa và đa đĩa là hyperbolic đầy.
c) Tích hữu hạn các không gian hyperbolic đầy là hyperbolic đầy.
d) Một không gian con đóng của không gian hyperbolic đầy là hyperbolic
đầy.
e) Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức.
Giả sử Y là hyperbolic đầy và với mỗi y ∈ Y , tồn tại một lân cận U sao
cho π
−1
(U) là hyperbolic đầy. Khi đó X là hyperbolic đầy.
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
f) Giả sử π : X

→ X là ánh xạ phủ chỉnh hình. Khi đó X là hyperbolic

2
của đĩa đơn vị ∆ và infimum lấy với mọi f ∈ Hol(∆, X) và u ∈ T ∆
sao cho f
∗
(u) = v.
Nếu x là điểm chính quy, thì với mỗi v ∈ T
x
X luôn tồn tại vectơ u ∈ T∆
sao cho f
∗
(u) = v, do đó k
X
(v) < ∞.
Nếu x là điểm kỳ dị và nếu không tồn tại u như trên thì ta đặt k
X
(v) =
∞.
Ta gọi k
X
là metric vi phân Kobayashi trên không gian phức X.
+ Ngoài ra k
X
có thể được định nghĩa một cách tương đương như sau:
Giả sử ∆
R
= {z ∈ C; |z| < R} với metric Poincaré
ds
2
R
=

.
Nếu kí hiệu e là vectơ tiếp xúc (
∂
∂z
) của ∆
R
tại gốc O thì vectơ f
∗
(e) ∈
T
f(0)
X và được kí hiệu là f

(0).
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Vì độ dài của e được đo bởi metric Poincaré ds
2
R
là e =
2
R
nên k
X
có
thể được định nghĩa như sau:
k
X
(v) = inf
2

.
+k
C
m
= 0.
c) Trong không gian phức X ta có
k
X
(f ∗ u) ≤ u, ∀f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T∆.
Hơn nữa, nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên

T X thỏa mãn
E(f ∗ u) ≤ u
với f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆, thì
E(v) ≤ k
X
(v), ∀v ∈

T X.
d) Giả sử X, Y là các không gian phức, ta có
k
X×Y
(u, v) = max{k
X
(u), k
Y
(v)}
với u ∈

T X, v ∈

trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc γ :
[0, 1] → X nối x với y và ˙γ(t) = γ
∗
((∂/∂t)
t
).
Chứng minh.
Đặt
d

X
(x, y) = inf
γ
{

1
0
k
X
( ˙γ(t))dt}.
Trước hết ta chứng minh tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ
chỉnh hình của d

X
. Thật vậy, giả sử f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa
các đa tạp phức. Ta chứng minh
d

Y
(f(x), f(y)) ≤ d


X
(x, y) với mọi x, y ∈ X.
Để chứng minh chiều ngược lại, ta lấy ε > 0 tùy ý. Khi đó có đường
cong C
∞
từng khúc γ : [0, 1] → X từ x tới y sao cho

1
0
k
X
( ˙γ(t))dt < d

X
(x, y) + ε.
Lại có k
X
( ˙γ(t)) là nửa liên tục trên tại t trong đó ˙γ(t) là liên tục. Từ
đó có hàm h : [0, 1] → R
+
thỏa mãn với phép chia
0 = t
0
< t
1
< < t
l
= 1, (1.3)
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Do tích phân

1
0
h(t)dt là tích phân Riemann nên tồn tại δ > 0 sao cho
với mỗi phép chia 0 = s
0
≤ s
1
≤ ≤ s
k
= 1 mà
max{s
j
− s
j−1
; 1 ≤ j ≤ k} < δ
và với mỗi p
j
∈ [0, 1]; 1 ≤ j ≤ k mà |p
j
− s
j
| < δ thì ta có
k

j=1
h(p
j
)(s


(0) + f

(0) = ˙γ(p);
k
X
( ˙γ(p)) = 2k
X
(f

(0));
k
X
(f

(0)) <
1
r
<
1
2
h(p).
Lấy r đủ nhỏ, ta có ánh xạ chỉnh hình F : ∆
r
× ∆
m−1
→ X là song chỉnh
hình địa phương quanh O thỏa mãn
1
r

I
p
.
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Với s ∈ I
p
, α(s) = O(|s − p|
2
) hoặc
α(s) = (s − p, 0, , 0) + O(|s − p|
2
).
Từ (1.2) ta có khoảng mở I

(p) trong I
p
sao cho p ∈ I

p
, độ dài của
p ∈ I

p
nhỏ hơn δ và
d

∆
r
×∆

d
X
(γ(s), γ(s

)) = d
X
(F (α(s)), F (α(s

)))
≤ d
∆
r
×∆
m−1
(α(s), α(s

)) ≤ d

∆
r
×∆
m−1
α(s), α(s

)
≤ (1 + ε)|s − s

|h(p). (1.6)
Vì [t
j−1

− s
j−1
< η với mọi j. Lấy p
j
∈ [0, 1] sao cho
s
j−1
, s
j
∈ I

p
j
. Khi đó từ (1.4) và (1.6) ta có
d
X
(x, y) = d
X
(γ(0), γ(1)) ≤
k

j=1
d
X
(γ(s
j−1
), γ(s
j
))
≤

x
) với mọi ξ
x
∈ T
x
X với x ∈ U.
Chứng minh.
Trước hết ta nhắc lại định nghĩa: Giả sử X là không gian phức với hàm
khoảng cách d. Một cặp (X, d) được gọi là tight nếu họ Hol(M, N) là đồng
liên tục đối với d, và với mọi đa tạp phức M.
Giả sử D là một đa đĩa quanh điểm p. Vì X là hyperbolic, (X, d
X
) là
tight [3] và do đó họ Hol(∆, X) là họ liên tục đồng đều. Từ đó có đĩa ∆
δ
quanh 0 và một lân cận U của p sao cho nếu Φ(0) = x ∈ U thì Φ(∆
δ
) ⊂ D.
Vì vậy với x ∈ U, ta có δk
D
(ξ
x
) ≤ k
X
(ξ
x
).
Ta có thể giả sử U là tập con compact của D. Khi đó với x ∈ U, ξ
x
∈

19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Chương 2
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA
CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC
NHIỀU BIẾN PHỨC
2.1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu
Giả sử M và N là các đa tạp Hermit liên thông có số chiều là m và n
với metric Hermit tương ứng là h
M
và h
N
. Kí hiệu C(M, N) là không gian
các ánh xạ liên tục giữa M và N.
2.1.1 Định nghĩa
Dãy {f
n
} trong C(M, N) được gọi là dãy phân kỳ compact nếu với mỗi
tập compact K trong M và tập compact K

trong N, tồn tại n
0
> 0 sao
cho f
n
(K) ∩ K

= ∅ với mọi n ≥ n
0
. Đặc biệt, dãy {p

sinh bởi h
N
.
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
2.1.2 Định nghĩa
Họ F ⊂ C(M, N) được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy của F đều
chứa dãy con hoặc là compact tương đối trong C(M, N) hoặc là phân kỳ
compact.
Họ F được gọi là họ đồng liên tục nếu với mỗi ε > 0 và p ∈ M, tồn tại
δ > 0 sao cho d
M
(p, q) < δ kéo theo d
N
(f(p), f(q)) < ε với mọi f ∈ F.
Nhận xét: Tính chuẩn tắc của F không kéo theo tính đồng liên tục trong
khi tính đồng liên tục của F cùng với tính đầy đủ của N kéo theo tính
chuẩn tắc. Nếu N là compact thì F là chuẩn tắc khi và chỉ khi F đồng
liên tục [10].
2.1.3 Định nghĩa
Giả sử M là thuần nhất, tức là nhóm Aut(M) các tự đẳng cấu của M
là bắc cầu. Ánh xạ f ∈ Hol(M, N) được gọi là ánh xạ chuẩn tắc nếu họ
{f ◦ ϕ; ϕ ∈ Aut(M)} là họ chuẩn tắc.
Kí hiệu N (M, N) là tập tất cả các ánh xạ chuẩn tắc f : M → N.
2.1.4 Định nghĩa
Giả sử M là đa tạp phức hyperbolic. Ánh xạ f ∈ Hol(M, N) được gọi
là ánh xạ Bloch nếu
Q
f
≡ sup{Q

21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
theo nghĩa: với bất kỳ ϕ ∈ Aut(M) ta có
Q
f◦ϕ
(p) = Q
f
(ϕ(p)), p ∈ M.
b) Giả sử M là đa tạp phức hyperbolic đầy. Khi đó M có vét cạn compact
M =
∞

n=1
M
n
M
n
= {p ∈ M : k
M
(p
0
, p) ≤ n}, n = 1, 2,
trong đó p
0
là điểm cố định của M.
Giả sử M, N là các đa tạp phức. Với mỗi p ∈ M, ξ ∈ C
m
và f ∈
Hol(M, N), ta định nghĩa
R


λ
f
(p) = inf
|ξ|=1
h
N

f(p), df(p)ξ

.
2.1.5 Định lý
Ta có
|ξ|
R
M
(p)
≤ K
M
(p, ξ) ≤
|ξ|
r
M
(p)
(2.1)
và
λ
f
(p)r
M

n
} trong M. Ngược lại, nếu
lim
n→∞
R
M
(p
n
) = 0
với bất kỳ dãy phân kỳ compact {p
n
} trong M, thì M là đầy đủ đối với
k
M
.
(c) Nếu M là taut, tức Hol(∆, M) là chuẩn tắc thì Q
f
là hàm liên tục
trong M. Đặc biệt, Q
f
là liên tục trên đa tạp hyperbolic đầy đủ M.
Chứng minh.
Bất đẳng thức (2.1) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa giả metric vi
phân Kobayashi
K
M
(p, ξ) = inf{a > 0 : ∃ϕ ∈ Hol(∆, M), ϕ(0) = p, ϕ

(0)a = ξ}
= |ξ|/R

với mọi p ∈ E.
Chứng minh.
Giả sử (2.4) đúng. Khi đó F là đồng liên tục và từ đó F là chuẩn tắc
do tính compact của N.
Ngược lại, giả sử F là chuẩn tắc nhưng (2.4) không đúng. Khi đó phải
có một tập con compact E của M, một dãy {p
n
} các điểm trong E với
p
n
→ p ∈ E, một dãy các vectơ đơn vị {ξ
n
} trong C
m
thỏa mãn ξ
n
→
ξ
0
, |ξ
0
| = 1, và một dãy {f
n
} các hàm trong F sao cho
h
N

f
n
(p

} hội tụ đều tới f ∈ Hol(M, N)
trên các tập con compact của M và thỏa mãn (2.5).
Vì N là compact nên vế trái của (2.5) dần tới một số hữu hạn
h
N

f
0
(p
0
), df
0
(p
0
)ξ
0

.
Trong khi đó, vế phải của (2.5), do (2.3), có thể dần tới một số lớn tùy
ý khi ν → ∞. Điều này là mâu thuẫn.
Vậy định lý được chứng minh. 
2.2 Một số trường hợp đặc biệt
Cho M là hình cầu đơn vị mở
B = {z ∈ C
m
: |z| < 1}
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
trong đó
|z|

, (z, a) = za
∗
,
a
∗
là liên hợp phức của a và 1 là toán tử đồng nhất trên C
m
.
Metric vi phân Kobayashi trùng với metric Poincaré - Bergman và được
xác định bởi
K
B
(z, ξ) =

(1 − |z|
2
)|ξ|
2
+ |(z, ξ)|
2

1
2
(1 − |z|
2
)
;

z ∈ B, ξ ∈ C
m

−1
|a|,
và với hai điểm a và b bất kì trong B,
k
B
(a, b) = k
B

0, ϕ
a
(b)

= tan h
−1
|ϕ
a
(b)|,
trong đó
|ϕ
a
(b)| =
[|(a, b)|
2
− |a|
2
|b|
2
+ |a − b|
2
]