Nguyễn Đình Thông
CHƯƠNG IV:
MÔ HÌNH HỒI QUI BỘI
Nguyễn Đình Thơng
I. MƠ HÌNH HỒI QUI 3 BIẾN
Trong đó: Y là biến phụ thuộc, X
2
và X
3
là các biến
giải thích (hay biến độc lập), U là số hạng nhiễu ngẫu
nhiên, và i là quan sát thứ i.
Hay: Y
i
=
β
1
+
β
2
X
2i
+
β
3
X
3i
+ U
i

E(Y/ X

không đổi.


β
2
đo lường sự thay đổi trong giá trò trung bình Y, E(Y

X
2
, X
3
) khi X
2
thay đổi một đơn vò, giữ X
3
không đổi.

β
1
là số hạng tung độ gốc. Nó cho biết ảnh hưởng trung
bình của tất cả các biến bò loại ra khỏi mô hình đối với Y,
mặc dù giải thích nó một cách máy móc là giá trò trung bình
của Y khi X
2
và X
3
đồng thời bằng zero.

Ý nghóa của các hệ số hồi qui:
Nguyễn Đình Thơng

i
bằng 0
E(U
i
 X
2i
, X
3i
)

= 0 , i
:
2
σ
(5) Ui có phân phối chuẩn: Ui N(0, )
:
Nguyễn Đình Thơng
I. MƠ HÌNH HỒI QUI 3 BIẾN
3.Ước lượng các tham số – PP bình phương nhỏ nhất
Để tìm các hàm ước lượng OLS, đầu tiên viết hàm
hồi qui mẫu (SRF) tương ứng với PRF ba biến như sau:
trong đó e
i
là số hạng phần dư, tương ứng với quan sát
thứ i.
Y
i
=
β
Â

ˆ ˆ ˆ
min
i i i i
e Y X X
β β β
= − − − →
∑ ∑
Phương pháp đơn giản nhất để thu được các hàm ước lượng
có khả năng sẽ tối thiểu hóa hàm trên là đạo hàm nó theo các
đại lượng chưa biết, cho biểu thức thu được bằng không, và
giải các biểu thức này cùng một lúc. Phương pháp này cho ta
những phương trình chuẩn sau:
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
, va
β β β
Nguyễn Đình Thơng
I. MƠ HÌNH HỒI QUI 3 BIẾN
3.Ước lượng các tham số – PP bình phương nhỏ nhất
1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆ
X X
β β β
Υ = + +
2
2 1 2 2 2 3 2 3
ˆ ˆ ˆ
i i i i i i
Y X X X X X
β β β

( ) ( )
( )
2
2 3 3 2 3
2
2
2 2
2 3 2 3
ˆ
i i i i i i i
i i i i
y x x y x x x
x x x x
β
−
=
−
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
3 2 2 2 3
3
2
2 2
2 3 2 3
ˆ

i i
i i
i i
i i i i
i i i i
i i i i
x X n X
x X n X
y Y n Y
x x X X nX X
y x Y X nYX
y x Y X nYX
= −
= −
= −
= −
= −
= −
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
Nguyễn Đình Thông
I. MÔ HÌNH HỒI QUI 3 BIẾN
Ví dụ: Ước lượng các tham số
Nguyễn Đình Thông

Bảng dưới đây cho các số liệu về doanh số bán (Y), chi

Yi (triệu đ)
CP chào hàng
X
2i
(triệu đ)
CP quảng cáo
X
3i
(triệu đ)
127 10 18
149 10 25
106 60 19
163 16 24
102 70 15
180 17 26
161 14 25
128 12 16
139 12 17
144 12 23
159 14 22
138 15 15
Nguyễn Đình Thông
I. MÔ HÌNH HỒI QUI 3 BIẾN
Từ bảng số liệu trên ta tính tổng:
2 3
2 2 2
2 3
2 3 2 3
16.956; 1.452; 2.448
24.549.576; 188.192; 518.504

2.1
i i
i i
i i
i i i i
i i i i
x X n X
x X n X
y Y n Y
x x X X nX X
y x Y X nYX
= − = − =
= − = − =
= − = − =
= − = − =
= − =
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
3 3 3
28.740 12*121*1.413 77.064
3.542.236 12*204*1.413 83.336
i i i i
y x Y X nYX
− =
= − = − =
∑ ∑
I. MÔ HÌNH HỒI QUI 3 BIẾN

( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
3 2 2 2 3
3
2
2
2 2
2 3 2 3
83.336*12.500 77.064*7.400
ˆ
2,560152
12.500*19112 (7.400)
i i i i i i i
i i i i
y x x y x x x
x x x x
β
−
−
= = =
−
−
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆ
(1.413 4,64951*121 2,560152*204) 328,1383Y X X

Nguyễn Đình Thơng
Sau khi đã có được các hàm ước lượng OLS
của các hệ số hồi qui, chúng ta có thể tính được
các phương sai và sai số chuẩn của các hàm ước
lượng này.
Tương tự như trong trường hợp hai biến,
chúng ta cần tính những sai số chuẩn để thiết lập
khoảng tin cậy và kiểm đònh các giả thiết thống
kê.
I. MƠ HÌNH HỒI QUI 3 BIẾN
4. Phương sai và sai số chuẩn của các hệ số hồi qui:
Nguyễn Đình Thông
( )
( )
2 2 2 2
2 3 3 2 2 3 2 3
2
1
2
2 2
2 3 2 3
2
1
ˆ
var
i i i i
i i i i
X x X x X X x x
n
x x x x

2 3 2 3
ˆ
var
i
i i i i
x
x x x x
β σ
=
−
∑
∑ ∑ ∑
( ) ( )
2 2
ˆ ˆ
varse
β β
=
Nguyễn Đình Thông
I. MÔ HÌNH HỒI QUI 3 BIẾN
4. Phương sai và sai số chuẩn của các hệ số hồi qui:
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
3
2
2 2

∑
2 2
( )
i
TSS Y n Y
= −
∑
I. MƠ HÌNH HỒI QUI 3 BIẾN
4. Phương sai và sai số chuẩn của các hệ số hồi qui:
Trong đó σ
2
là phương sai của Ui nhưng chưa biết. Trong
thực hành người ta thường dùng
Trong đó σ
2
là phương sai của Ui nhưng chưa biết. Trong
thực hành người ta thường dùng để
ước lượng cho σ
2
.
RSS = TSS – ESS
2 2 3 3
ˆ ˆ
i i i i
ESS y x y x
β β
= +
∑ ∑
Nguyễn Đình Thơng
Tiếp tục số liệu ví dụ trước, ta có:

( ) ( )
( )
( )
2
3
2
2
2
2
2 2
2 3 2 3
2
2
2
2
3
2
2
2 2
2 3 2 3
3
19.112
ˆ
var *2.120,592 0,220097
12.500*19.112 (7.400)
ˆ
0,220097 0,46915
12.500
ˆ
var *2.120,592 0,143952

Nguyễn Đình Thơng
I. MƠ HÌNH HỒI QUI 3 BIẾN
5. Hệ số xác đònh mô hình:
2 2 2
2 2 3 3
2
( )
ˆ ˆ
i i
i i i i
TSS Y Y Y nY
ESS y x y x
RSS TSS ESS
ESS
R
TSS
β β
= − = −
= +
= −
=
∑ ∑
∑ ∑
Nếu tăng số biến giải thích (độc lập) của mô hình thì R
2

cũng tăng. Vì vậy, khi so sánh 2 mô hình hồi qui có cùng
biến phụ thuộc nhưng số biến độc lập khác nhau, ta cần cẩn
thận trong việc lựa chọn mô hình với R
2

hiệu chỉnh có thể âm, trong trường hợp R
2
điều chỉnh âm ta coi
giá trò của nó bằng 0.
2 2
1R R≤ ≤
2
R
2
R