w
w
w
w
w
w
w
w
w
.
.
.
l
l
l
a
a
a
i
i
i
s
s
s
a
a
a
c
c
c
.
I
I
L
L
L
A
A
A
À
À
À
M
M
M
T
T
T
H
H
H
Ư
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ơ
Ø
Ø
Ø
N
G
G
G
G
G
I
I
I
A
A
A
Û
Û
Û
I
I
I
T
T
T
O
O
O
A
A
A
Ù
Ù
Ù
N
00
],[
cxfbax
baxcxf
cxfMin
ba
Ví dụ 1: Tìm Max, Min của xCosxSiny
20062006
+ =
ù Sai lầm thường gặp:
Ta có:
2211
00
20062006
20062006
= Þ = + £ + =
= Þ ³ + =
Max
Min
yxCosxSiny
yxCosxSiny
Ø Nguyên nhân sai lầm:
·
Min
Sinx 0
y 0
Cosx 0
=
ì
= Û
x + Cos
2
x= 1
ù Giải đúng:
1003210032
)()( xCosxSiny + =
10)1(
)()1(
210031003
1003210032
£ = £ + - = Û
+ - = Û
xCosttty
xCosxCosy
Với ,
· 01003)1(1003'
10021002
= + - - = tty
2
1
1
1
)1(
10021002
= Û
ê
ë
é
- = -
= -
2
+ +
+
=
CosxSinx
Cosx
y
ù Sai lầm thường gặp:
4
1
211
1
2
1)1 (
= Þ
+ +
³
+ +
+ +
=
Min
y
CosSinx
Cosx
y
Ø Nguyên nhân sai lầm:
ï
ỵ
ï
í
)22()1( - ³ - + yyy
2
33
2
33
0362
2
+
£ £
-
Û
£ + - Û
y
yy
2
33
;
2
33 +
=
-
= ®
MaxMin
yy
ù Chú ý:
nghiệm có,CBCosxASinx = +
222
CBA ³ + Û
II. Sai lầm trong các bài toán dùng tính đơn điệu:
Ví dụ 1: (ĐH khối A, 2003)
ttf
t
tf
với tăng
yxyfxf = Û = Û )()()1(
Ø Nguyên nhân sai lầm:
Vì hàm )(tf gián đoạn tại t = 0, nên không thể dùng tính đơn điệu.
ù Giải đúng:
Hệ
ỵ
í
ì
+ =
- = Ú ¹ =
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
+ =
=
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
+ =
¹ =
Û
12
1
12
0
3
3
xy
xy
xy
yx
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
- -
= =
+ -
= =
= =
Û
ê
ê
ì
= + -
¹ =
Û
2
51
2
51
1
0
2
3
2
1
2
1
1
012
0
22
2
3
yx
yx
yx
VN
xx
xy
xx
yx
-
= Û x
mx
m
y
0
1
0
),1(,
02
£ Û
ỵ
í
ì
£
£
Û
ỵ
í
ì
+¥ Ỵ " ¹
³ -
Û m
m
m
xmx
m
ù Chú ý:
ỵ
í
ỵ
ï
í
ì
- £ Ú ³
£ Ú ³
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
³ - -
³ -
Û
2
1
3
2
1
2
03
0232
03
2
2
x
x
xx
xx
í
ì
³ -
> - -
= - -
Û
03 2
023 2
023 2
2
2
2
xx
xx
xx
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
- £
³
=
Û
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
³
>
=
Û ³
0
0
0
0
2
A
B
B
BA
n
v Cách 2: Có thể xét dấu:
Vậy nghiệm là:
ê
ê
ê
ê
ê
ë
5
9
5
14
2log
2
5
1
³
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+ - - xxx
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình:
0
42
1
2
³
-
-
-x
x
ù Sai lầm thường gặp:
3
3
x
x
Ø Nguyên nhân sai lầm:
ỵ
í
ì
>
³
Û ³
0
0
0
B
A
B
A
, Sai lầm bởi vì nếu A = 0, thì Bpt đúng với mọi B, mà không
cần
0 >B
ù Giải đúng:
ê
ë
é
>
=
Û
ê
ê
ê
ë
01
01
0
42
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ù Chú ý:
ê
ê
ê
ë
é
ỵ
í
ì
>
>
=
Û ³
- £ Ú ³
- £ Ú ³
Û
ï
ỵ
ï
í
ì
³ - +
³ - +
³ - +
5
1
51
31
21
054
032
02
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
đúng
1 = Þx
nhận
TH 2: x > 1
513121)1( + - £ + - + + - Û xxxxxx
1322
532252
532
> - £ + + Û
+ £ + + + + Û
+ £ + + + Û
xxxx
xxxx
xxx
vì nghiệm Vô
TH 3:
5 - £x
532)1( - - £ - - + - - Û xxx
5322
532252
- £ £ - - - - Û
- - £ - - - - + - - Û
xxxx
xxxx
vì nghiệm Vô
Vậy nghiệm của Bpt là x = 1.
ù Chú ý:
ê
ê
ê
nếu
nếu
ù Bài tập: Áp dụng giải các Bpt sau:
1) 181841521 58
222
+ - £ - + + + - xxxxxx
2) 4523423
222
+ - ³ + - + + - xxxxxx
ĐS:
ê
ë
é
³
=
4
1
x
x
IV. Sai lầm trong việc dùng phương trình hệ quả:
Ví dụ:
Giải phương trình:
)1(,1322
33
= - + - xx
ù Sai lầm thường gặp:
Lũy thừa 2 vế của (1), ta có:
1)322.(32.2332 2
3333
= - + - - - + - + - xxxxxx
x
x
Ø Nguyên nhân sai lầm:
Pt (2) là pt hệ quả của pt (1), do đó khi giải ra nghiệm ta phải thử lại.
ù Giải đúng:
Thử lại, bằng cách thế x = 2, x = 1 lần lượt vào (1), ta chỉ nhận một nghiệm x = 2.
ù Bài tập: Áp dụng giải các phương trình sau:
1)
5
6
,3,0,9222
333
- = - + + : ĐSxxx
2) 61,30,1334
33
- = - - + : ĐSxx
V. Sai lầm trong các bài toán Lagarit:
Ví dụ 1:
Giải phương trình:
3log
2
1
log
2
1
)65(
3
3
22
9
> -
>
-
> + -
x
x
x
x
x
xx
Pt 3log
2
1
log)65(
33
2
3
- +
-
= + - Û x
x
xxLog
nghiệm vô Pt
Vì
,3
2
1
2
3,3
2
)(log))((
00
0
0
2
xf
n
k
xfLog
AA
A
A
a
k
a
n
n
=
¹ Û >
¹ Û
>
ù Giải đúng:
Điều kiện:
ï
ỵ
ï
í
ì
>
¹
2
1
0)65(
2
22
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
Pt 3
2
1
log65
3
2
3
-
-
= + - Û x
x
xxLog
ê
ê
ë
é
2
2
1
2
3
2
1
323
2
1
65
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
x
xx
Vậy nghiệm của phương trình là:
3
5
=x
Ví dụ 2:
46
2
0)6(
0)4(
0)2(
3
3
2
x
x
x
x
x
Pt
3
4
1
3
4
1
3
4
1
)6(log)4(log3)2(lo g + + - = - + Û xxx
2 x : nghiệm Vậy =
ê
ë
é
=
- =
2
3333
33
4
1
3
3
4
1
x
x
xx
xxx
xxx
xxx
Ø Nguyên nhân sai lầm:
Công thức
m
aa
xxm loglog = , chỉ đúng khi m nguyên, bài trên giải sai, bởi vì
2
3
=m không phải là số nguyên.
ù Giải đúng:
Điều kiện:
ỵ
í
ì
< < -
¹
Û
+ - = + Û
+ - = +
Û
+ + - = - +
Û
331331
82
03 22
01 66
)6)(4()2(4
)6)(4()2(4
)6)(4(4.2
)6)(4(log4.2log
)6(log )4(log12log
2
2
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
xx
xx
xx
1 0
0
( 1) 3( 1)( 1) 0
x
a
m
m m m
1
1
1
1
2( 1)( 2) 0
2
m
m
m
m
m m
m
0
0
0
a b
c
a
. Lời giải xét thiếu trường hợp
0
a
.
Lời giải đúng là:
Biểu thức có nghĩa với mọi x
0
1
0
a
m
Tóm lại kết quả là
1
m
.
Thí dụ 2: Tìm m sao cho:
2
2
2 3 2
1 x R
2 2
x mx m
x mx
(*).
(*)
vô nghiệm
2
0 16 0 4 4
m m
.
Khi đó
2
2 2 0
x mx x R
nên:
(*)
2 2 2
4 4 4 4
4 4
0
2 3 2 2 2 3 0
x m
m
x mx m x mx x R x mx m x R
Thí dụ 3: Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ:
2 2 2
6
x y m
x y m
.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
6( )
F xy x y
.
Ta có
2
2 2 2 2
6 2 6
x y m x y xy m
2 2 2
2 6 3.
m xy m xy m
2 2
3 0
t mt m
(*).
Ta thấy x, y tồn tại khi và chỉ khi (*) có nghiệm
2
1
0 3 12 0 2 2
m m
.
Khi đó
2
3 6
F m m
với
2;2
m
.
Lập bảng biến thiên của F với
2;2
m
:
Cách 1
: Phương trình có nghiệm duy nhất
0
. Khi đó phương trình có nghiệm
1 2
.
2
S
x x
Do đó phương trình chỉ có một nghiệm thoả mãn
3
x
2 2
1
4 1 0
(2 1) 4 0
4
5
2 1
5
3
2
2
2
3
5
3
2
2
m
x x
S
m
, không có m thoả mãn T.H này.
- Trường hợp 2:
2
1 2
(3) 0
6 6 0
3 3 3 3
.
Tóm lại
5
;3 3
2
m
?
!
13
-11
?
!
Cách 1 tỏ ra người giải chưa hiểu cụm từ "chỉ có một nghiệm" nên đã "phiên dịch" từng đoạn
theo yêu cầu, thành ra khác với nghĩa của bài toán. Nhớ cho: phương trình chỉ có một nghiệm x > 3
không có nghĩa là phương trình không được có 2 nghiệm ! Cách 2 là lời giải của người hiểu đúng bài
toán nhưng cố gắng làm gọn 2 trường hợp x
1
< 3< x
thoả
mãn bài toán, nhưng m = 2 không có trong kết luận của cách giải thứ 2.
Lời giải đúng là:
Xét 3 trường hợp:
- Trường hợp 1:
1 2
1
0
4
3
5
3
2
2
m
x x
S
m
.
- Trường hợp 3:
2
1 2
3 (3) 0 6 6 0 3 3 3 3
x x af m m m
.
Tóm lại:
3 3;3 3 .
m
0
( 1) ( 1) 0
0
(4 3) 0
( 1) 0
3
3
1
0 4
(1) 0
4
0
1
1 1
1 1
1
2
1 1
x
m
m m m
m
m m
af
m
m
m
af
m
m
Có thể thấy với m = 0 thì phương trình trở thành
1
2 1 0 1;1
2
x x
nên m = 0 thoả
mãn. Ngoài ra lời giải còn thiếu cả trường hợp phương trình vô nghiệm.
Như vậy để có lời giải đúng phải bổ sung thêm trường hợp a = 0 (thử trực tiếp) và trường hợp
'
0
0
x
a
sinx t
suy ra dx=costdt
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos2 1
1 sin .cos . cos .
2 8 4
t
I t t dt t dt dt
Lêi gi¶i ®óng:
ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt
0 0
sin
4 4
x t
x t arc
Gi¶i:
Lêi gi¶i sai:
®Æt t = 2x + 1
1 3
0 1
x t
x t
3
4
5 4
1
3
1 1 20
1
1
4 4 3 81
dt t
I
t
3. Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức
VD1: Tính
2
0
.
x
I x e dx
Giải:
* lời giải sai:
đặt
' 1
'
x x
u x u
v e v e
2
2
0
; CMR
2
0
sin sin 0I x nx dx
* Lời giải sai:
xét f(x)=sin(sinx+nx) trên
0;2
ta có:
f(x) là hàm liên tục trên
0;2
và
f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x)
vậy f(x) là hàm lẻ
I=0
*Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý. Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên
[-a;a] thì
a
a
f x dx
là hàm liên tục va
g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y)
g(y) là hàm lẻ.
Vậy thì I=0
Ví dụ 2: cho hàm số f liên tục trên
0,
. Hãy so sánh
0
sinI xf x dx
và
0
sinJ f x dx
*Lời giải sai:
Tích phân từng phần:
sin cos
u x du dx
dv f x dx v f x
0
sin
2
J f x dx
(2)
Từ (1) và (2) ta có
I J
* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không hiểu về hàm liên tục, tích phân và vi phân.
* Lời giải đúng:
Đặt
x t
ta có:
0
0
sin sinI xf x dx t f t dt
Do f liên tục trên [a,b]
f(x)-f(c)/ [a,c] bằng f(x)-f(c) trên [b,c] vậy ta có:
c c b
a b c
f x f c dx f x f c dx f c f x dx
* Nguyên nhân sai lầm:
Không hiểu về hàm liên tục lên tính tích phân sai.
* Lời giải đúng:
áp dụng định lí về giá trị trung bình của tích phân
ít nhất một điểm
,C a b
sao cho:
b b
a a
f x dx f c b a f c dx
0
b c b
a a c
f x f c dx f x f c dx f x f c dx
VD1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
9
0; 1; 4
y x
y x x
Lời giải sai:
Diện tích hình phẳng là:
4
2 3
1
4
1
(9 ) 9 7
1
3
S x dx x x
Sai lầm: áp dụng sai công thứctính diện tích y
Lời giải đúng:
Diện tích hình phẳng là: 9
y y
y x x
Lời giải sai:
2
1 1y x y x
0 1
1 2
y x
y x
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
2
3
2
1
2
2 2
1 1
1
3 3
S x dx x
Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đờng giới hạn
3. Xác định sai hình cần tính giới hạn.
VD: Tìm diện tích hình giới hạn bởi:2
1
2
2
2 1
6 9
3 5
;
2 2
y x x C
y x x C
x x
y
Lời giải sai:
Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)
2
y=(x-3)
2
Lời giải đúng:
1 2
2;1C C
Diện tích hình giới hạn là:
1 2
S S S
1 3 x
2
2 2
1
3
2
2
2
3
2
3 1
2
2
S x x dx
x dx x x
Vậy S =
1 1
1
2 2
Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.
I, công thức:
1
2
Cho hình phẳng giới hạn bởi
2
0
0
0
2
b
b
y f x
1
2
2 2
1 2
. 0
d
c
x f y x
x g y x
Voy x x dx
c y d
f y g y
II, Một số sai lầm thờng gặp:
1. Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:
ví dụ 1: Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn
Vậy thể tích của hình xuyến là: x
2 2
2 2 2 2
a
a
Vox b a x b a x dx
2
2 a b
* Sai lầm: mặc dù kết quả đúng nhng sai công thức thể tích:
2 2
1 2
b
a
Vox y y dx
2
1
2
y x
x
x
* Lời giải sai:
2
5
4
1
2
31
1
5 5
x
Voy x dx
* Sai lầm: Đã sử dụng công thức
c sinh khi m
ớ
i h
ọ
c v
ề
toán t
ổ
h
ợ
p thì ít nhi
ề
u c
ũ
ng g
ặ
p nh
ữ
ng khó kh
ă
n
nh
ấ
t
đị
nh. Khó kh
ă
n
đầ
u tiên g
c gi
ả
i quy
ế
t n
ế
u
ta
để
ý b
ả
n ch
ấ
t c
ủ
a t
ổ
h
ợ
p là s
ắ
p x
ế
p tu
ỳ
ý ko có th
ứ
t
ự
, còn ch
ợ
p.
1. Sai l
ầ
m 1: Nh
ầ
m l
ẫ
n gi
ữ
a ch
ỉ
nh h
ợ
p và t
ổ
h
ợ
p.
Bài số 1: Mộ
t tổ có 12 học sinh nữ và 10 h
ọc sinh nam. Cần chọn ra 6 họ
c sinh ( 3 nam, 3
n
ữ
)
để
ghép thành 3
(cách)
-
Vậy số
cách chọn 3
đôi nam nữ là:
3
12
A
3
10
A
(cách)
L
ờ
i gi
ả
i 2
: - S
ố
cách ch
ọ
n 3 n
ữ
trong 12 n
ữ
là
(cách)
3
12
C
trong 12 n
ữ
là
(cách)
3
12
C
- Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là (cách)
3
10
C
-
Do
đ
ó s
ố
cách ch
ọ
n 6 h
ọ
c sinh ( 3 nam, 3 n
ữ
) là:
(cách)
3
12
C
3
10
S
ố
cách ch
ọ
n 3 nam trong 10 nam là
(cách)
3
10
C
- Do đó số cách chọn 6 học sinh ( 3 nam, 3 nữ) là: (cách)
3
12
C
3
10
C
- Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! (cách) ghép giữa các đôi này với nhau(là hoán
vị của 3 học sinh nam hoặc của 3 học sinh nữ)
- Vậy số cách chọn thoả mãn là: 3! (cách)
3
12
C
3
10
C
Đâu là lời giải đúng?
Phân tích: - Lời giải 1: Rõ ràng là sai vì bài toán ko yêu cầu thứ tự
- Lời giải 2: Thiếu số cách chọn để ghép thành các đôi
C
1
4
C
1
3
C
-
Lời giải 3: - Đầu tiên chọn 1 bạn thì có (cách)
1
5
C
- Tiếp theo chọn 2 bạn còn lại trong 4 bạn có (cách)
2
4
C
- Vậy có (cách)
1
5
C
2
4
C
Lời giải 4: - Đầu tiên chọn 2 bạn thì có (cách)
2
5
C
- Tiếp theo chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn có (cách)
1
Bài số 3: Một lớp có 30 HS nam, 15 HS nữ. Chọn ra một nhóm gồm 6 HS sao cho có ít nhất 2
nữ thì có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải 1 ( trực tiếp): Chia cụ thể các trường hợp:
- TH1: 2 nữ, 4 nam: (cách)
2
15
C
4
30
C
- TH2: 3 nữ, 3 nam: (cách)
3
15
C
3
30
C
- TH3: 4 nữ, 2 nam: (cách)
4
15
C
2
30
C
- TH4: 5 nữ, 1 nam: (cách)
5
15
30
C
1
15
C
6
30
C
Lời giải 3 ( Có vẻ “hay” vì… rất ngắn và… “độc đáo”)
- Bước 1: Chọn ra 2 nữ ( vì có ít nhất là 2 nữ) có: (cách)
2
15
C
- Bước 2: Chọn 4 bạn còn lại trong 43 bạn có: (cách)
4
43
C
( Khi đó 6 bạn được chọnh luôn thoả mãn có ít nhất 2 nữ)
- Vậy có (cách)
2
15
C
4
43
C
Đâu là lời giải đúng?
Phân tích: ( Xin dành cho độc giả, OK?)
3. Sai lầm 3:
Bài số 5 : Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta
chọn ra 7 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó.
Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra ?
Chú ý rằ
ng so với bài số 4 thì bài số 5 ch
ỉ thay đổi một chút là thay vì chọn ra 10 câu thì
ch
ọ
n ra 7 câu. Nghe qua thì có v
ẻ
cách làm ch
ẳ
ng có gì khác, tuy nhiên s
ự
thay
đổ
i
đ
ó có th
ể
gây sai l
ầ
m. Hãy xem các l
ờ
i gi
ả
i sau :
ườ
ng h
ợ
p 3: ch
ọ
n 7 câu d
ễ
và
trung bình trong 16 câu có
cách.
7
16
C
- Trường hợp 4: chọn 7 câu d
ễ và khó trong 13 câu có cách.
7
13
C
- Trường hợ
p 5: chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách.
7
11
C
Vậy có
(
)
7 7777
20 9161311
C 1 C C C C 63997−+ + + + =
ng h
ợ
p 3: ch
ọ
n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có
cách.
7
11
C
V
ậ
y có
đề
ki
ể
m tra.
()
7 777
20 16 13 11
C C C C 64034
−++=
Lời giải 3 :
+ Lo
ạ
i 1: ch
ọ
n 7 câu tùy ý trong 20 câu có
cách.
7
7
7
7
)
- Tr
ườ
ng h
ợ
p 2: 7 câu ch
ọ
n ra có
đủ
hai lo
ạ
i :
* D
ễ
và trung bình :
( trong 16 câu d
ề
và TB thì khi ch
ọ
n ra 7 câu
77
16 7 9
C(CC
−+
thì 7 câu đó hoặc thuộc cả 2 loại hoặc chỉ thuộc một loại)
* Dễ và khó :
77
Copyright: Tài liệu đại học ©