Phơng pháp Gauss - Seidel v công thức
nhiệt trở phân tố giải các bi toán
nhiệt kết cấu công trình PGS. TS. Trịnh văn quang

KS. Trơng Minh thắng
Bộ môn Kỹ Thuật Nhiệt
Khoa Cơ khí - Trờng Đại học GTVT

Tóm tắt: Bi báo trình by một phơng pháp giải các bi toán nhiệt phức tạp khi phơng
pháp ma trận nghịch đảo trở nên bất lực, đó l phơng pháp Gauss - Seidel v công thức nhiệt
trở phân tố.

Summary: The paper presents the method of Gauss - Seidel Iteration to solve the
complicated thermal problems instead of the inverse matrix method becoming powerless.
i. đặt vấn đề
Một trong các phơng pháp có hiệu lực
để giải các bài toán nhiệt của các vật thể có
hình dáng và điều kiện biên phức tạp là
phơng pháp số dùng ma trận nghịch đảo. Khi
đó các nhiệt độ phải tìm nằm trong một hệ
phơng trình tuyến tính, và đợc giải bằng
thuật toán ma trận [3]. Tuy nhiên khi số
phơng trình quá lớn thì phơng pháp ma trận
nghịch đảo cũng hết sức phức tạp. Đặc biệt
trờng hợp điều kiện biên không tuyến tính,
nh vật thể có trao đổi bức xạ với nguồn có
nhiệt độ xác định, thì hệ phơng trình các

mỗi phân tố tại điểm nút i:
q
i
= 0 (1)

Hình 2. Các nhiệt trở thnh phần tại nút i
dẫn tới:
+


+


1.y)tt(
x
1.y)tt(
x
i3i101.x)tt(
y
1.x)tt(
y
iJi2
=


+




+



(3)
Viết ở dạng tổng quát:


=

j
iJ
iJ
0
R
tt
(4)
Nhiệt trở thành phần trong bài toán ba
chiều trong toạ độ xyz sẽ có J = 1 ữ 6 (hình 3):
Trong đó t
J
là nhiệt độ các điểm xung
quanh, t
i
là nhiệt độ phải tìm tại nút i; R
iJ
đợc
gọi là công thức nhiệt trở phân tố.

0
R
tt
q
J
iJ
iJ
i
i
=

+

(7)

Hình 3. Mạng 3 chiều Hình 4. Các nhiệt trở
thnh tại nút i tại biên

trong đó:
-

i
i
q
là tổng các dòng nhiệt bức xạ
hoặc đối lu tới phân tố.
-


J

R
TT yz;
R
i1
R
i2
R
i3
R
i4
R
i5
R
i6
Nhiệt trở bức xạ là:
R
i
= 1/ [ .
0
.
(
)
2
i
2
R
TT +
(
)
iR

.z.x
y



.y.x
z


.y.x
z
(
5
)

bức xạ và của nút i;
- độ đen của vật;
-
0
= 5,669.10
- 8
Nhiệt độ tại nút i sẽ là:











=

+
j
p
i
1p
i
i
iJ
p
i
p
j
tt
.C
R
tt
(9)
trong đó:
- p là số chỉ thứ tự bớc thời gian
-


j
iJ
p
i

1
C
1
CR
t
t









+









=

+
(10)
Công thức (9) tính nhiệt độ ở dạng hàm

(7) và (9) sẽ có phơng trình năng lợng tại
phân tố thuộc nút i:




=

+
+
j
p
i
1p
i
i
iJ
p
i
p
j
i
i
tt
.C
R
tt
q
(12)
Từ đó rút ra đợc nhiệt độ tại nút i ở thời

+









+=

+
(13)
Điều kiện ổn định cũng nh công thức
(11) trên.
Nh vậy có thể thấy trong mọi trờng hợp
để tính nhiệt độ luôn cần tới công thức nhiệt
trở phân tố, và khi đó việc tính toán sẽ trở nên
thuận tiện và gọn gàng hơn.
B. Phơng pháp Gauss - Seidel
Nội dung cơ bản của phơng pháp này là
cách tính lặp. Từ các phơng trình tính nhiệt
độ trong các trờng hợp trên, thấy rằng nhiệt
độ tại mỗi nút ở dạng hàm tờng cuả nhiệt độ
của các nút còn lại đối với bài toán ổn định, và
là hàm tờng của nhiệt độ của các nút còn lại
ở thời điểm trớc đối với bài toán không ổn đinh.
Nghĩa là có n phơng trình để tính n nhiệt độ phải
tìm. Bởi vậy phơng pháp Gaus- Seidel bao gồm

nào chênh lệch nhiệt độ tại mọi điểm ở hai lần
tính sát nhau nhỏ tới mức đủ chấp nhận.
Với sự trợ giúp của các phần mềm tính
toán hiện nay, việc tính theo phơng pháp
Gauss - Seidel rất thuận tiện.
C. Thí dụ minh hoạ
+ Thí dụ 1:
Giải bài toán ổn định hai chiều
điều kiện biên
loại 1:
Một dầm
bêtông, tiết diện
ngang có hình
dạng nh hình
bên có x = y.
Biết nhiệt độ tại các cạnh và góc của tiết diện
nh trên hình vẽ. Xác định nhiệt độ tại các
điểm bên trong 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Giải:
Do x = y, theo (4) các nhiệt trở thành
phần của mọi phân tố đều bằng nhau là
R

ij
= 1/, nên từ (5) sẽ có:
t
ij
=
()
4i3i2i1i

t
4
= (t
3
+ 100 + 80 +70 ) / 4 (d)
t
5
= (t
2
+ t
6
+ 50 + 40 ) / 4 (e)
t
6
= (t
3
+ t
5
+ 70 + 40 ) / 4 (g)
Bớc 2: Cho t
2
= 0; t
3
= 0; t
4
= 0; t
5
= 0;
t
6

Bớc 5: Kết quả tính lặp sau 8 lần viết
theo ma trận hàng t = [t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
] nh sau:
(1) 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 32.0313 44.1406
(2) 62.0313 57.1484 68.1055 79.5264 47.8223 56.4819
Hình 5. Chia mạng tiết diện
ngang dầm bêtông

(3) 66.7871 70.6787 76.6718 81.6679 54.2902 60.2405
(4) 70.1697 75.2829 79.2978 82.3245 56.3808 61.4197
(5) 71.3207 76.7498 80.1235 82.5309 57.0424 61.7915
(6) 71.6875 77.2133 80.3839 82.5960 57.2512 61.9088
(7) 71.8033 77.3596 80.4661 82.6165 57.3171 61.9458
(8) 71.8399 77.4058 80.4920 82.6230 57.3379 61.9575
Bớc 6: Sai số tuyệt đối 2 lần cuối tơng
ứng là:
0.0366 0.0462 0.0259 0.0065
0.0208 0.0117
là quá nhỏ nên có thể dừng

độ. Bỗng căn phòng
đột ngột bị cháy, nhiệt độ ngọn lửa trong
phòng lên tới 1000
0
C. Để đánh giá trạng thái
phá huỷ của tờng phòng, cần phải xác định
diễn biến phân bố nhiệt độ của tờng. Đây
cũng là bài toán cháy cơ bản trong công trình
xây dựng.

Hình 6. Chia lớp tờng phòng
Giải:
Do chiều cao tờng rất lớn so với
bề dày nên dòng nhiệt truyền theo hớng bề
dày x là chính. Khi đó bài toán là một chiều
không ổn định t = f(x,). Chia bề dày tờng
thành 6 lớp, mỗi lớp có x = 0,05m. Bên trái là
trong phòng có nhiệt độ cao, tờng nhận bức
xạ q
R
là chính, bỏ qua đối lu. Bên phải là
ngoài trời nhiệt độ thấp nên chỉ kể đến đối lu
q
K
mà không tính bức xạ.
áp dụng điều kiện ổn định (10), tính
tại các điểm 1 ữ 7 nh sau:
Tính C
i
:

1j
) = .
0
.
(
)
2
1
2
R
TT +
(
)
1R
TT +
+ /x
= 0,65ì5,67ì10
-8
ì(12732+3002)ì
ì (1273 + 300)+2,5/0,05
= 149,1643;
vậy
1
3600/149,1643 = 241,3446s;
Điểm 2, , 6:
(1/R
2j
) = /x + /x
= 2ì(2,5/0,05) = 100;
Vậy

+ p
2
4P
1
101P
1
T.16666,0)T.(10.2285,1T
(14)
6181,322T.8334,0
P
1
++
Điểm 2, 3, ,6 (i = 2 6):
p
1i
P
i
p
1i
1P
i
T.08333,0T.8333,0T.08333,0T
+
+
++=

(15)
Điểm 7:
6564,25T.75001,0T.16666,0T
P