NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG GIỚI HẠN TỔNG QUÁT
TÍNH ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG SẮT

TS. LƯƠNG XUÂN BÍNH
Trường Đại học Giao thông Vận tải
ThS. CHU THỊ THU THUỶ
Viện chuyên ngành Đường bộ và Sân bay
Viện KH và CN GTVT
ThS. VIKHONE SAYNHAVONG
Trường Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Trong bài báo này, các tác giả nghiên cứu ứng dụng phương pháp cân bằng
giới hạn tổng quát (Generalized Limit Equilibrium Method – GLEM) để tính toán ổn định nền
đường sắt dưới tác dụng của tải trọng tĩnh. Trong phương pháp cân bằng giới hạn tổng quát,
lăngthể trượt được coi như một hệ thống các khối trượt con, ở đó mặt đáy và mặt bên của các
khối trượt con chính là các mặt trượt. Trong khi đó, với các phương pháp cân bằng giới hạn
thông thường,lăng thể trượt được chia thành các mảnh, ở đó chỉ có mặt đáy các mảnh là mặt
trượt, còn mặt bên của các mảnh là các mặt thẳng đứng và điều kiện trượt không thoả mãn
trên đó. Trình tự các bước tính toán của GLEM, chương trình máy tính để tính toán ổn định
nền đường sắt, phân tích so sánh phương pháp GLEM với các phương pháp cân bằng giới hạn
khác sẽ được trình bày trong bài báo này.
Summary: This paper deals with the application of Generalized Limit Equilibrium
Method (GLEM) to analyze the stability of railway embankments under static loadings. In
GLEM, the sliding soil mass is considered as a block system, of which the bottom planes and
inter-block planes are just the slip planes, whereas in ordinary Limit Equilibrium Methods
(LEM), the sliding soil mass is considered as the pieces, of which only the bottom planes are
the slip planes, the inter-piece planes are vertical and on these planes the slip condition is not
satisfied. The calculation procedure of the GLEM, the computer program for stability analysis
of railway embankments, the comparison of GLEM with other LEMs are demonstrated.

được chia nhỏ thành các mảnh (khối) với mặt đáy của khối là mặt trượt, mặt giữa các mảnh là
thẳng đứng, điều kiện trượt chỉ thỏa mãn trên mặt đáy của mỗi mảnh (khối).
Tuy nhiên, theo lời giải của Sokolovsky [8] thì khi đạt đến trạng thái giới hạn, trong lăng
thể trượt xuất hiện hai họ đường trượt xiên góc với nhau. Nếu quan niệm như các phương pháp
cân bằng giới hạn thông thường thì ta mới chỉ xét được một họ đường trượt mà thôi. Để khắc
phục nhược điểm này, Enoki [9] và các tác giả đã đề đưa ra phương pháp cân bằng giới hạn
tổng quát (Generalized Limit Equilibrium Method - GLEM). Theo phương pháp này, lăng thể
trượt được rời rạc hóa thành các khối con, trong đó mặt đáy của các khối con là các mặt trượt,
đồng thời mặt giữa của các khối cũng là mặt trượt. Điều đó có nghĩa là điều kiện trượt thỏa mãn
trên cả mặt đáy và mặt giữa các khối, tức cả hai họ đường trượt đã được xét đến. Do mặt trượt
chính được hình thành từ mặt đáy của các khối con nên mặt trượt có thể có dạng cong tổng quát
chứ không nhất thiết phải là phẳng hay trụ tròn. Do đó, ít nhiều phương pháp GLEM cho thấy
những ưu điểm nhất định so với các phương pháp cân bằng giới hạn khác.
CT 1
II. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP GLEM
2.1. Giả thiết
1
H
i
V
i
T
i
N
i
V
i+1
H
i+1
n

n
h
n+1

Hình 1. Hệ thống khối trượt trong GLEM
Trong GLEM, đất
được xem như vật liệu
cứng dẻo lý tưởng, khi
biến dạng trượt xuất hiện
coi như các khối trượt
tịnh tiến tương đối với
nhau. Với mục đích đơn
giản hoá bài toán, không
xét tới nước ngầm và biến
đổi thể tích của đất.
2.2. Sơ đồ tính mái
dốc trong GLEM
Hình 1 biểu diễn sơ
đồ tính mái dốc theo GLEM, ở đó lăng thể trượt được chia thành nhiều khối nhỏ hình tam giác
hoặc tứ giác. Mặt đáy các khối, mặt phẳng giữa các khối là các mặt phẳng, đó cũng chính là các mặt trượt. Khi đạt đến trạng thái giới hạn, biến dạng trượt xảy ra dọc theo các mặt trượt. Như
vậy, điều kiện trượt không chỉ thoả mãn trên mặt đáy khối mà còn trên cả mặt phẳng giữa các
khối. Mặt trượt chính hình thành từ các mặt đáy các khối, đó là một đường gẫy khúc mô tả gần
đúng một mặt trượt cong bất kỳ, không nhất thiết phải giả thiết mặt trượt là mặt trụ tròn hay mặt
phẳng. Các phương trình cơ bản, ẩn số, phương pháp giải sẽ được trình bày trong phần sau.
2.3. Đặc điểm của GLEM
Từ mô hình tính trong hình 1, có thể thấy là một khối trượt trong GLEM có thể coi là tổ
hợp của nhiều phân tố nhỏ trong phương pháp đường trượt (Slip Line Method - SLM). Như vậy

trung bình của lớp đá ba lát hoặc lấy
bằng chiều rộng phân bố hoạt tải L
0
, ở đây tác giả chọn lấy bằng L
0
.
L =L +2h
45
h
0
L
p=p +p
45
0
tv
o
d
k
tv
P
o
P
o
P =p.L
o
L
o

Hình 2. Sơ đồ quy đổi tải trọng đoàn tàu và kết cấu tầng trên
Cường độ băng tải tải trọng kết cấu tầng trên bao gồm ray, tà vẹt và lớp đá balát:

+ p
k
(4)
Lực tổng hợp tác dụng trên đỉnh nền đường là:
P = pL
0
= (p
d
+ p
k
)L
0
(5)
Chú ý là tuỳ thuộc vào điểm bắt đầu mặt trượt tiềm tạng trên mặt nền đường mà ta có thể
lấy trị số của lực tập trung lớn nhất là P hoặc có thể nhỏ hơn.
3.2. Các phương trình cơ bản
Sơ đồ khối trượt, đánh số khối, nút, các ký hiệu hình học của các khối và sơ đồ lực tác
dụng trên khối thứ i được thể hiện trên hình 3.
Các phương trình cơ bản của khối thứ i:
<Phương trình cân bằng theo phương pháp tuyến với mặt phẳng đáy khối> H
i
cos(θ
i
- β
i
) – V
i

) – V
i
cos(θ
i
- β
i
) + H
i+1
sin(θ
i+1
- β
i
) + V
i+1
cos(θ
i+1
- β
i
) + M
i
gsinβ
i
– T
i
= 0 (7)
<Điều kiện trượt>
- Trên mặt phẳng đáy khối thứ i:
T
i
= (N

2
S
i
S
i+1
S
n
θ
θ
θ
i
i+1
n
θ
2
P
n+1
P
n
P
i+1
P
i
P
1
P
2
P
H
1

T
i
N
i
V
i+1
H
i+1
M g
i
β
i
θ
i+1
θ
i
P
i
P
i+1
θ
θ
i
i+1
R
i+1
R
i
S
i

- Theo phương N
i
- Theo phương T
i

n
n
Lực trên mặt phẳng đáy
- Lực pháp tuyến N
i
- Lực tiếp tuyến T
i

n
n
Điều kiện trượt
- Trên mặt phẳng đáy khối
- Trên mặt phẳng giữa khối

n
n-1
Lực trên mặt phẳng giữa khối
- Lực pháp tuyến H
i
- Lực tiếp tuyến V
i

n-1
n-1


i
, c gi nh. H s an ton xỏc nh trờn mt phng gia khi b gii hn
trong khong giỏ tr t Fs n , khi ú h s an ton chung ca h khi b gii hn trong
khong giỏ tr t Fsmed n Fsmin.
3.4. Ti u húa h s an ton xỏc nh mt trt nguy him
Ton b phn tớnh toỏn trờn l cho mt mt trt no ú. Mt trt nguy him nht l
mt trt tng ng vi h s an ton nh nht. Bi toỏn ti u hoỏ h s an ton xỏc nh mt
trt nguy him c thc hin bng phng phỏp Newton kt hp vi phng phỏp sai phõn
hu hn. Bi toỏn ti u hoỏ c gii quyt bng chng trỡnh trờn mỏy tớnh.
3.5. Tỡm mt trt nguy him nht
V th Fsmin X (hỡnh 5) s tỡm c giỏ tr nh nht trong s cỏc giỏ tr h s an ton
nh nht, minFsmin, im bt u mt trt nguy him nht cú to (X
c
,Y
c
).
TCT1
IV. V D TNH TON
4.1. So sỏnh kt qu ca GLEM vi cỏc phng phỏp cõn bng gii hn khỏc
Fsmin
Fsmin
m ặt tr ợt nguy hiểm nhất
minFsmin
tại điểm có
m ặt tr ợt cho Fsmin
tại điểm có tọa độ X
trên m ặt m ai d oc
X
n+1
X


Hỡnh 5. Quỏ trỡnh tỡm h s an ton nh nht v mt trt nguy him nht
Vic so sỏnh gia h s an ton thu c t GLEM v h s an ton thu c t phng
phỏp Fellenius, Bishop, Janbu, Morgenstern - Price c thc hin [3]. Hỡnh 5 cho thy mt
trt trũn hu nh nm gia mt trt tng ng vi Fsmed v mt trt tng ng vi
Fsmin. H s an ton thu c t GLEM v h s an ton thu c t cỏc phng phỏp cú trc
nờu trong bng 2. Kt qu ch ra rng phng phỏp Fellenius a ra h s an ton trong phm vi từ Fsmed và Fsmin, phương pháp Bishop đưa ra hệ số an toàn lớn hơn Fsmed một ít, các
phương pháp khác (Janbu và Morgenstern - Price) đưa ra hệ số an toàn lớn hơn Fsmed vì những
giả định không thích hợp về lực giữa khối và về điểm tác dụng lực.
Bảng 2. So sánh GLEM với các phương pháp LEM
Phương pháp Fs Trích dẫn từ
Fellenius
1.43
Mochizuki
Bishop đơn giản
1.54
Như trên
Janbu
1.63
Như trên
LEM cải tiến
1.63
Như trên
Morgenstern-Price
1.59-1.61
Whitman & Bailey
Fsmin

mÆt truot víi Fsmin
mÆt

Hình 6. Mẫu mái dốc để so sánh
4.2. Ví dụ tính ổn định nền đường sắt bằng GLEM
Số liệu tính toán:
Đất cát pha có
γ = 19 kN/m
3
,
ϕ = 35
0
,
c = 10 kN/m
2
Đường sắt khổ 1000 mm
Chiều dài tà vẹt 1,8 m
Chiều cao đá balat 0,3 m
S =1
P = 70kN
P
9
1
:
1
,
5
L =2.4
o
B = 5.4

ξ=0.92
ξ
ξ
X =3.5
6
L =2.4
o
X =3.7
6
X
Y
O
P = 171 kN
o
L =2.4
A=1.5 L =2.4
ξ=1
o
X =3.9
6
X
Y
O
P = 171 kN
o
A=1.5 L =2.4
X =4.5
6
X
Y

2.007
2.1211
2.310
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
BÒ réng tÝnh to¸n ®Ønh m¸i dèc (m)
HÖ sè an to¸n, Fsmedmin

Hình 9. Biểu đồ Fsmed-X
V. KẾT LUẬN
Phương pháp cân bằng giới hạn tổng quát đã được ứng dụng thành công vào tính toán ổn
định nền đường sắt đồng nhất. Thuật toán, chương trình máy tính đã được thiết lập để tự động
hoá quá trình tính toán. Kết quả tính toán đã được phân tích so sánh với những phương pháp
LEM khác. Thuật toán và chương trình này có thể ứng dụng vào công tác tính toán thiết kế cũng
như kiểm toán ổn định nền đường sắt.
TCT1

Tài liệu tham khảo
[1] Fellenius, W. (1936) – Calculation of the stability of earth dams – Proc., the 2
nd
Congress on Large Dams,
445-462.
[2] Bishop, A.W. (1955) – The use of slip circle in stability analysis of slop stability –Geotechnique.
[3] Spencer. E. (1967) – A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel inter-slice