Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU
I. 1.LÝ DO
I.1.1. Cơ sở lí luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông
tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời
kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời
cơ, thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo
luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng
cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới
giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ
thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến
thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học
đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập
do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát
hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán hình học có vẽ thêm
yếu tố phụ là một dạng toán rất quan trong chương trình hình học ở bậc THCS,
đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh có tầm nhìn cao hơn
trong việc phát hiện và tìm ra lời giải của bài toán. Tuy nhiên, vì lý do sư phạm
và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến dạng
toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ thông qua những bài tập mà yếu tố đường
phụ vẽ thêm là đơn giản.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán dạng toán hình học có
vẽ thêm yếu tố phụ, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này,
đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận
xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán,
tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ

“Các phương pháp giải toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ”
I.3.3.2. Giới hạn địa bàn
Trường THCS Lao Bảo – Hướng Hóa – Quảng Trị
I.3.3.3. Giới hạn khách thể:
Học sinh lớp 9
I.4. Phương pháp nghiên cứu
I.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài
liệu có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm.
- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về vẽ đường phụ trong giải
toán hình học ở bậc THCS. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh
phổ thông cơ sở như:
+ Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9
+ Sách giáo viên 7, 8, 9
+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên
và học sinh
I.4.2. Phương pháp chuyên gia
Xin ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng,
hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm.
I.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh
nghiệm
I.5. Đóng góp mới về mặt lí luận và thực tiễn
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
- Về mặt lý luận: Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ đường
phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trì
cho học sinh. Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy

Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c
Giải
Cách dựng:
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========

- Dựng tia Ax
- Dựng đường tròn ( A;b). Gọi C là giao điểm của đường tròn (A;b) với tia Ax
- Dựng đường trong ( A;c) và đường tròn (C;a), gọi B là giao điểm của chúng.
Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a
- Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A;c) và (C;a) không cắt nhau thì không dựng
được tam giác ABC
Bài toán 2: Dựng một góc bằng một góc cho trước
Cách dựng:
- Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O,r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta
được tam giác OAB.
- Dựng ∆O’A’B’ = ∆OAB ( c- c- c)như bài toán 1, ta được
O
ˆ
'O
ˆ
=
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước
Cách dựng:
- Dựng đường tròn ( A,r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
- Dựng các đường tròn ( B,r) và (C,r) chúng cắt nhau ở D. Tia AD là tia phân
giác của xAy. Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ⇒
21

x
y
z
A
B
C
D
r
r
r
r
1
2
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Cách dựng:
- Dưng hai đường tròn (A;AB) và (B;BA) chúng cắt nhau ở C, D. Giao điểm của
CD và AB là trung điểm của AB
* Chú ý: đay cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường
thẳng a cho trước.
Cách dựng:
- Dựng đường tròn (O;r) cắt a tại A,B
- Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần
nhắc lại cách dựng. Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh thì cũng phải
căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm một
cách tùy tiện

cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H∈BC) thì DH = 4cm. Chứng minh rằng
tam giác ABC cân tại A
1) Phân tích bài toán:Bài cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D là
trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H∈BC) thì DH = 4cm.
Yêu cầu Chứng minh tam giác ABC cân tại A
2) Hướng suy nghĩ: ∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC. Ta nghĩ ngay đến điểm phụ
K là trung điểm của BC. Vậy yêu tố phụ phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh
GT
∆ABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm;
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
A
A
B
C
H
K
D
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
AB
2
1
DBDA ==
; DH ⊥ BC
DH = 4 cm
KL
∆ ABC cân tại A.

Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
⇒ DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh
thứ 3).
Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒ AK ⊥ BC.
Xét ∆ ABK và ∆ACK có:
• BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
• AKB = AKC = 90
0
• AK là cạnh chung
⇒ ∆ ABK = ∆ACK (c – g – c)
⇒ AB = AC ⇒ ∆ ABC cân tại A.
4) Nhận xét:
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai
tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK,
việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác ,
đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với
cạnh thử ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu
trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng
minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử
dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào
việc vẽ thêm yếu tố phụ.
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có
C
ˆ
B
ˆ

ˆ
21
==
. (1) Mà
C
ˆ
B
ˆ
=
( gt)
⇒
21
I
ˆ
I
ˆ
=
(2)
Xét ∆ ABI và ∆ ACI ta có:
•
21
I
ˆ
I
ˆ
=
( theo (2))
• Cạnh AI chung
•
21

2
1
2
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng
huyền, yêu cầu chứng minh:
BCAM2BC
2
1
AM
=⇒=
2) Hướng suy nghĩ:
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn
thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M
là trung điểm của AD.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;
0
90A
ˆ
=
;
AM là trung tuyến
KL
BC
2
1
AM

Xét ∆ ABC và ∆ CDA có:
• AB = CD ( Theo (1))
•
0
90C
ˆ
A
ˆ
==
( Theo (2))
• AC là cạnh chung
⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c)
⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà
AD
2
1
AM
=
⇒
BC
2
1
AM
=
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
B
A
C
M

Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam
giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có
AB < AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD =
MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
3) Lời giải:
GT
∆ABC; AB < AC
M là trung điểm BC
KL
So sánh BAM và MAC?
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét ∆ MAB và ∆ MDC ta có:
• MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
• M
1
= M
2
( vì đối đỉnh)
• MB = MC ( Theo gt)
⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c)
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
B
A
C
Đ
M
2
1
1

( theo (2))
12
A
ˆ
A
ˆ
<
hay BAM < MAC.
4) NhËn xÐt:
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng
một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối
diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc A
1
và A
2
về cùng một tam giác bằng
cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó A
1
= D, ta chỉ còn phải so sánh D
và A
2
ở trong cùng một tam giác ADC.
CÁCH 3: NỐI HAI ĐIỂM CÓ SẴN TRONG HÌNH HOẶC VẼ THÊM GIAO ĐIỂM CỦA HAI
ĐƯỜNG THẲNG.
Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC =
BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng
song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.

Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A
thành ba góc bằng nhau.
Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc
bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam
giác đều.
2)Hướng suy nghĩ:
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
B
A
C
D
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng
vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy
suy ra AB ⊥ AC và suy ra A = 90
0
.
3) Chứng minh:
GT
∆ ABC; AH ⊥BC;
trung tuyến AM;
321
A
ˆ
A
ˆ

ˆ
H
ˆ
==
( gt)
• AH là cạnh chung ⇒ ∆ ABHI = ∆ AMH ( g – c - g)
•
21
A
ˆ
A
ˆ
=
( gt) ⇒ BH = MH( 2 cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: H ∈ BM , Từ (1) và (2) ⇒
CM
2
1
MICM
2
1
BM
2
1
MHBH
=⇒===
Xét ∆ vuông MIC có:
CM
2
1

BC
2
1
MB
=
( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong
tam giác vuông)
∆ ABM cân và có 1 góc bằng 60
0
nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét:
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
I
A
B
C
H
M
1
2
3
2
1
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó
giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ⊥ AC) thì bài toán lại trở lên
rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải
toán hình học.

Mặt khác ∆ ADE có AH ⊥ DE và AH cũng là tia phân giác của DAE ( gt)
Do đó: ∆ ADE cân tại A ⇒ BDF = AED
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
D
A
B
C
H
M
F
E
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
Mà BF // CE ( theo cách vẽ) ⇒ BFD = AED
Do đó: BDF = BFD
⇒ ∆ BDF cân tại B
⇒ BF=BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE
4) Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng
hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong
nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải
này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình
THCS.
5) cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là
phương pháp “ Tam giác bằng nhau ”, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một
phương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán.
CÁCH 6: PHƯƠNG PHÁP “ TAM GIÁC ĐỀU”
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào

– 20
0
= 60
0
là số đo mỗi góc của
tam giác đều ⇒ Vẽ tam giác đều BMC
3) Chứng minh:
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
A
B
C
D
M
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
GT
∆ABC; AB = AC; A = 20
0
AD = BC (D ∈AB)
KL DCA =
A
ˆ
2
1
.
Ta có: ∆ABC; AB = AC; A = 20
0
( gt)
Suy ra:

⇒ ∆CAD = ∆ACM ( c – g – c )
⇒ DCA = MAC = 10
0
, do đó: DCA =
2
1
BAC.
4) Nhận xét:
1- Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20
0
, suy ra góc ở đáy là 80
0
. Ta
thấy 80
0
– 20
0
= 60
0
là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi
ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC
thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các
cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
- Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).
Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA
dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của
mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học.

- 15
0
= 60
0
là số đo của mỗi góc trong tam giác
đều ⇒ sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán.
3) Chứng minh:
GT
∆ABC;
A
ˆ
= 90
0
;
C
ˆ
= 15
0
O ∈ tia BA: BO = 2AC
KL
∆ OBC cân tại O.
Ta có: ∆ABC;
A
ˆ
= 90
0
;
C
ˆ
= 15

∆MOB = ∆MOC ( c – g – c) ⇒ OB = OC, vậy ∆ OBC cân tại O.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán
vì phát hiện thấy
C
ˆ
= 15
0
suy ra
A
ˆ
= 75
0
- 15
0
= 60
0
là số đo của mỗi góc trong
tam giác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên. Nhờ có các
cạnh của tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 60
0
, ta chứng
minh được ∆ HMB = ∆ ABC ( c – g – c); ∆MOB = ∆MOC ( c – g – c) dẫn tới ∆
OBC cân tại O, đó chính là tác dụng của “phương pháp tam giác đều”.
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
O
B
H
A

chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào
thực tiễn giảng dạy.
- Đối với phòng giáo dục: Tổ chức các chuyên đề về vấn đề nghiên cứu
(Vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học ) để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao
đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay.
Lao Bảo, ngày 10 tháng 05 năm 2010
Người viết
Nguyễn Văn Hải
=========================================================
Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo
Các yếu tố phụ trong giải toán hính học THCS
============================================== ==========
Phần IV: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
IV. Tài liệu tham khảo:
1 - Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán – Bộ
GD&ĐT 2008
2 - Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà
xuất bản GD
3 - Nâng cao và phát triển Toán 7 , 8, 9 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản
GD
4 - Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – Nhà
xuất bản GD
5 – Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 –
2000 và chu kỳ 2004 – 2007 môn Toán.
6 – Phương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà
xuất bản ĐHSP
7 – Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức –
Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP
8 – Vẽ thêm một số yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7, 8, 9 –
Nguyễn Đức Tấn – NXB GD