đại học tháI nguyên
Tr-ờng đại học khoa học PHạM QUANG NGọC

ứNG DụNG ĐịNH THứC Và MA TRậN
VàO VIệC GIảI QUYếT LớP
CáC BàI TOáN CHứNG MINH
ĐẳNG THứC Và BấT ĐẳNG THứC Luận văn thạc sĩ toán học

2.1.1. Đẳng thức Bine - Cauchy dưới dạng định thức . . . . . . . . . . 15
2.1.2. Chứng minh đẳng thức bằng cách tính định thức . . . . . . . . 18
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.1.3. Áp dụng đẳng thức |A.B| = |A| . |B| . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4. Áp dụng phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.5. Áp dụng vào đẳng thức tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1. Áp dụng định lý 6(định lý Bine-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. Áp dụng định lý Sylvestrer (định lý 2) . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3. Áp dụng định lý 3 và định lý 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4. Áp dụng định lý Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.5. Áp dụng bất đẳng thức độ lõm |A| . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.6. Áp dụng bất đẳng thức Adamar . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3. Bài tập đề nghị và hướng dẫn giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Tài liệu tham khảo 41
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Lý thuyết Đại số tuyến tính nói chung và lý thuyết định thức và ma trận nói riêng
là kiến thức cơ bản của toán học. Nó là cơ sở để nghiên cứu các lý thuyết khác của
toán học như hình học cao cấp, giải tích, toán kinh tế v.v Ngoài ra nó còn có ứng
dụng trong việc nghiên cứu một số nghành khoa học như vật lý, cơ lý thuyết, hóa học
và một số nghành kỹ thuật khác .
Hiện nay các bài toán về đẳng thức và bất đẳng thức ta thường gặp trong rất nhiều
các giáo trình, trong các kỳ thi học sinh giỏi và có rất nhiều phương pháp giải hay và
độc đáo. Trong phạm vi đề tài này chúng tôi mạnh dạn trình bày một phương pháp
tiếp cận khác đó là phương pháp giải dựa trên lý thuyết của ma trận và định thức .
Bố cục của luận văn như sau luận văn ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu
tham khảo luận văn gồm có hai chương:

Ma trận A cấp m × n là một bảng m hàng ( hay dòng ), n cột được viết cố định
như sau:
A = (a
i j
)
m×n
=








a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
m1

)
m×n
bằng cách chuyển dòng thành
cột, cột thành dòng gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A .
Ma trận vuông A được gọi là ma trận đối xứng nếu a
ij
= a
ji
, ∀i, j = 1, n.
Ma trận vuông A gọi là ma trận phản đối xứng nếu a
ij
= −a
ji
, ∀i, j = 1, n.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ma trận vuông A được gọi là ma trận đơn vị nếu mọi phần tử nằm trên đường chéo
chính đều bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và ta kí hiệu I
n
.
1.1.2. Tính chất và các phép toán
i) Phép nhân ma trận với một số
Tích của ma trận A với một số k là một ma trận B = k.A được xác định như sau:
B = (b
i j
)
m×n
=






ii) Phép cộng ma trận
Tổng của hai ma trận A = (a
ij
)
m×n
và B = (b
ij
)
m×n
là một ma trận C = (c
ij
)
m×n
với
c
ij
= a
ij
+ b
ij
, ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.









b
11
. . . b
1n
b
21
. . . b
2n
. . . . . . . . .
b
m1
. . . b
mn








=












Hiển nhiên ta cũng thấy phép cộng hai ma trận cũng có tính giao hoán và kết hợp
Tính giao hoán: A + B = B + A.
Tính kết hợp : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C.
iii) Phép nhân các ma trận
Tích của hai ma trận A = (a
ik
)
m×n
và B = (b
kj
)
n×p
là một ma trận C = (c
ij
)
m×p
được
định nghĩa như sau:
C = A.B =

n

k=1
a
ik

tử đơn vị là ma trận đơn vị I
n
. Hơn nữa nếu thêm vào phép nhân vô hướng, nó tạo
thành một đại số trên trường K. Kí hiệu tập các ma trận vuông cấp n là Mat(n, K),
ở đây K là trường R hoặc C.
1.2. Định thức của ma trận vuông
1.2.1. Các định nghĩa và tính chất
Định thức của ma trận vuông A = (a
ij
)
n
là một số kí hiệu là det(A) hoặc |A| được
xác định như sau:
det (A) =












a
11
a
12

n
sgn (σ)a
σ(1)1
a
σ(n)n.
Từ định nghĩa ta có một số tính chất và kết quả sau:
a) Nếu một cột(một hàng) của định thức có nhân tử chung thì ta đưa được nhân tử
chung ra ngoài.
Ví dụ:
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên












a
11
. . . pa
1i
+ qb
1i
. . . a

= p












a
11
. . . a
1i
. . . a
1n
a
21
. . . a
2i
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
. . . a
mi

1i
. . . a
1n
a
21
. . . b
2i
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
. . . b
mi
. . . a
mn












b) Đổi chỗ hai cột của định thức thì định thức không đổi dấu.
c) Định thức có một cột bằng 0, định thức có hai cột bằng nhau, định thức có một cột

i
1
i
q
(A) là định thức của ma trận cấp q tạo bởi các phần tử ở giao các
dòng i
1
, , i
q
, với các cột j
1
, , j
q
.Còn

∆
j
1
j
q
i
1
i
q
(A) là định thức của ma trận còn lại từ
A sau khi xóa đi các dòng i
1
, , i
q
, và các cột j

1
i
q
(A) là phần bù đại số của
∆
j
1
j
q
i
1
i
q
(A)). Giả sử đã chọn ra q dòng ( tương ứng, q cột ) trong một định thức cấp
n(1  q < n). Khi đó, định thức đã cho bằng tổng tất cả các định thức con cấp q lấy
ra từ q dòng ( tương ứng, q cột ) đã chọn với phần bù đại số của chúng. Nói cách khác
ta có :
(i) Công thức khai triển định thức của ma trận A theo q dòng i
1
, , i
q
:
det A =

1j
1
< <j
q
n
(−1)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(ii) Công thức khai triển định thức của ma trận A theo q cột j
1
, , j
q
:
det A =

1i
1
< <i
q
n
(−1)
i
1
+ +i
q
+j
1
+ +j
q
∆
j
1
j
q
i
1
i

1.2.3. Đa thức đặc trưng, giá trị riêng và véc tơ riêng
Định nghĩa 2. Đa thức P
λ
(A) = det (A − λI
n
) được gọi là đa thức đặc trưng của ma
trận A. Hiển nhiên P
λ
(A) là đa thức biến λ bậc n và ta có:
P
λ
(A) = (−1)
n
λ
n
+ (−1)
n−1
b
1
λ
n−1
+ + b
n−1
(−λ) + b
n
.
trong đó b
k
là tổng của định thức con chính cấp k của ma trận A,∀k = 1, n.
Định nghĩa 3. Nghiệm của phương trình P

x
1
x
2
.
.
.
x
n

















.
1.3. Ma trận đối xứng và dạng toàn phương
1.3.1. Ma trận đối xứng và các tính chất
Tính chất 1. Mọi nghiệm của phương trình đặc trưng của ma trận đối xứng A trên

2

= 0.
Đẳng thức này cho ta b = 0, vì |u|
2
+ |v|
2
= 0.
Vì |A − λI| = 0 là một phương trình đại số bậc n với hệ số thực nên một ma trận đối
xứng cấp n có đúng n giá trị riêng kể cả số lần bội. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Tính chất 2. Mọi ma trận đối xứng A đều chéo hóa được, tức là tồn tại ma trận trực
giao T sao cho T
∗
AT = T
−1
AT là ma trận chéo.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo cấp của A.
Với n = 1 kết quả là hiển nhiên.
Giả sử mọi ma trận đối xứng cấp n − 1, n  2 định lý đúng. Xét ma trận A = (a
ij
)
n
đối xứng cấp n. Theo tính chất 1, A có một giá trị riêng λ
1
. Chọn véc tơ riêng e
1
ứng
với giá trị riêng λ
1
thỏa mãn |e

B = S
∗
AS.
Với S là ma trận có các véc tơ cột là e
1
, e
2
, , e
n
. Bởi vì ma trận S trực giao nên
B
∗
= (S
∗
AS)
∗
= S
∗
A
∗
S
∗∗
= S
∗
AS = B.
Nghĩa là B đối xứng. Do Ae
1
= λ
1
e





, với C =





λ
22
. . . λ
2n
. . . . . . . . .
λ
n2
. . . λ
nn





là ma trận đối xứng cấp n − 1. Theo giả thuyết quy nạp , tồn tại ma trận trực giao
cấp n − 1
T
0
=


. . . . . . . . .
0 . . . λ
n





là một ma trận chéo. Đặt
T
1
=








1 0 . . . 0
0 λ
22
. . . λ
2n
. . . . . . . . . . . .
0 λ
n2
. . . λ
nn

0 . . . 0
0 λ
2
. . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λ
n








11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Vì B = S
∗
AS nên
T
∗
1
S
∗
AST
1
= D
λ
.

i
e
i
. với i = 1, , n. Vậy các véc tơ
thuộc E là các véc tơ riêng của A. Mặt khác vì ma trận A đối xứng nên A chéo hóa
được, do đó mọi giá trị riêng bội m của A có đúng m véc tơ riêng độc lập tuyến tính.
Giả sử λ
0
là một giá trị riêng bội m. Chọn m véc tơ riêng độc lập ứng với λ
0
và sau đó
trực chuẩn hóa hệ m véc tơ này ta được một hệ trực chuẩn gồm m véc tơ. Hiển nhiên
m véc tơ này cũng là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ
0
. Tiến hành như vậy đối với
tất cả các giá trị riêng ta được hệ n véc tơ E = {e
1
, e
2
, , e
n
}. Hệ này là một cơ sở
trực chuẩn của R
n
. Gọi T là ma trận có các véc tơ của E là các cột thì T trực giao và
T
∗
AT
1
=

1.3.2. Dạng toàn phương
Định nghĩa 5. Dạng Q(x) = Q(x
1
, x
2
, , x
n
) =
n

i,j=1
a
ij
x
i
x
j
được gọi là dạng toàn
phương nếu A = (a
ij
)
n
là ma trận đối xứng. Trong trường hợp này ma trận A được gọi
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
là ma trận của dạng toàn phương.
khi sử dụng tích vô hướng của dạng toàn phương Q(x) sẽ được biểu diễn như sau:
Q(x) = (x, Ax).
Q(x) được gọi là xác định nếu Q(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0
Q(x) được gọi là xác định dương nếu Q(x) > 0,∀x = 0.

+ +
∆
n−1
∆
n
x
2
n
.
Do đó nếu ∆
m
> 0 thì Q(x) sẽ xác định dương, nếu ∆
1
< 0, ∆
2
> 0, , (−1)
n
∆
n
> 0
thì Q(x) sẽ xác định âm.
Ngược lại nếu Q(x) xác định dương ( hoặc âm ), xét định thức con chính cấp m
∆
m
=














Gọi X
m
là các véc tơ con của X sinh bởi các véc tơ cơ sở e
1
, e
2
, , e
m
. Khi đó
Q
m
(x) = Q(x), x ∈ X
m
cũng là một dạng toàn phương xác định dương (hoặc âm ).Xét
cơ sở mới trong X
m
để Q(x) có dạng chính tắc, ma trận của Q(x) trong cơ sở này có
dạng





b
1
b
2
b
m
= ∆
m
|T |
2
.
Do đó nếu Q(x) xác định dương thì mọi b
j
> 0, nên ∆
m
> 0. Nếu Q(x) xác định
âm thì mọi b
j
< 0, nên ∆
m
> 0 nếu m chẵn, ∆
m
< 0 nếu m lẻ.
Định nghĩa 6. Giả sử Q(x) xác định dương, A là ma trận của Q(x), khi đó A được
gọi là ma trận xác định dương.
Định lý 3. Nếu A là ma trận xác định dương thì mọi giá trị riêng của A đều dương.
Chứng minh. Ta có đa thức đặc trưng của A là :
P
λ
(A) = det

n−1
µ + b
n
. (1)
Do A xác định dương nên các b
i
> 0, ∀i =
1, n và µ = −λ  0.
suy ra: µ
n
+ b
1
µ
n−1
+ + b
n−1
µ + b
n
> 0 mâu thuẫn với (1), ta có điều phải chứng
minh.
Chúng ta công nhận mà không chứng minh hai định lí sau:
Định lý 4. Mọi dạng toàn phương Q(x) xác định trên R ta đưa về dạng chính tắc sau:
Q(x) = (x,Ax) =
n

i=1
λ
i
y
2

)
m
trong đó c
ij
=
n

k=1
a
ik
b

kj
=
n

k=1
a
ik
b
jk
. Ký hiệu A
(i
1
i
2
i
m
)
và B

m
B
i
1
i
2
i
m
, ( 1 ).
với m > n thì |D| = 0.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Ta có :
D =











n

k
1
=1


k
1
=1
a
2k
1
b
2k
1
n

k
2
=1
a
2k
2
b
2k
2
. . .
n

k
m
=1
a
2k
m

m
=1
a
mk
m
b
mk
m











Trong ma trận D ở cột thứ j

j =
1, m

mỗi phần tử là tổng của n phần tử theo
chỉ số k
j
= 1, n.
Phân tích định thức |D| cột thứ nhất thành tổng của n định thứ cấp m,sau đó lại phân
tích định thức cấp m vừa thu được thành tổng của n định thức theo cột thứ hai, ,

k
1
k
2
k
m
(∗), trong đó n
m
hạng tử của tổng trên, chỉ số
lấy tổng thay đổi từ 1 đến n và không phụ thuộc lẫn nhau.
Khi có hai chỉ số trùng nhau thì định thức A
k
1
k
2
k
m
(∗) có ít nhất hai cột như nhau nên
nó bằng không.Vì vậy , khi m > n ta có mọi hạng tử đều bị triệt tiêu suy ra |D| = 0.
Xét trường hợp m  n, đối với mỗi bộ chỉ số :1  i
1
< i
2
< < i
m
 n, trong tổng
(*) xét tất cả các hạnh tử có các chỉ số k
1
, k
2

1
i
2
i
m
B
i
1
i
2
i
m
.
( S
m
là tập tất cả các phép thế bậc m của m phần tử ).
Vậy |D| =

1i
1
<i
2
< <i
m
m
A
i
1
i
2

a
i
c
i

n

i=1
b
i
d
i

−

n

i=1
a
i
d
i

n

i=1
b
i
c
i

b
1
b
2
. . . b
n


, B =


c
1
c
2
. . . c
n
d
1
d
2
. . . d
n


Khi đó
AB

=





Suy ra


AB



=

n

i=1
a
i
c
i

n

i=1
b
i
d
i

−


2
B
i
1
i
2
=

1i<kn
(a
i
b
k
− a
k
b
i
) (c
i
d
k
− c
k
d
i
).
Từ đó suy ra đẳng thức Cosi cần chứng minh.
Ví dụ 2.(Đẳng thức lagrange)
Cho a
i

i

2
=

1i<kn
(a
i
b
k
− a
k
b
i
)
2
.
Chứng minh.
Phép chứng minh được suy ra từ đẳng thức cosi bằng cách đặt c
i
= a
i
, d
i
= b
i
.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.1.2. Chứng minh đẳng thức bằng cách tính định thức

2
1 3 3 . . . . 0 x
3
1 4 6 . . . . 0 x
4
. . . . . . . . .
1 . . . . . . . .
1. . . . . . . C
p−1
p
x
p
1 C
1
p+1
C
2
p+1
. . . . C
p−1
p+1
x
p+1









k=1
k
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
n

k=1
k
3
=
n
2
(n + 1)
2
4
Giải:
a)Ta có
φ
p
(x + 1) − φ
p
(x) =






p−1
p+1
(1 + x)
p+1
− x
p+1















Cột cuối của định thức trên được phân tích thành :
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên







=











1
1
.
.
1











+x













0
0
3
.
C
2
p+1











+ +x



+x
p











0
.
.
.
C
p
p+1









1 3 3 0 . . . 0
. . . . . . 0 0
. . . . . . C
p−1
p
0
1 C
1
p+1
C
2
p+1
. . . C
p−1
p+1
C
p
p+1
x
p











p
(1) = (p + 1)!1
p
φ
p
(1) = 0.
Cộng n + 1 đẳng thức trên ta được kết quả như sau :
φ
p
(n + 1) = (p + 1)!
n

k=1
k
p
n

k=1
k
p
=
φ
p
(n + 1)
(p + 1)!
Áp dụng trực tiếp kết quả trên với p = 1, p = 2, p = 3 ta có :
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Với p = 1 khi đó :
n


k=1
k
2
=
1
3!
φ
2
(n + 1) =
1
2









1 0 (n + 1)
1 2 (n + 1)
2
1 3 (n + 1)
3









1 0 0 (n + 1)
1 2 0 (n + 1)
2
1 3 3 (n + 1)
3
1 4 3 (n + 1)
4












=
n
2
(n + 1)
2
4
Ví dụ 4. Chứng minh rằng :

sin(a + b) sin(c + a)
cos(a − b) cos(c − a)






20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
+ cos(c + a)






sin(a + b) sin(b + c)
cos(a − b) cos(b − c)






=





1
2
sin 2C
= sin (A + B) cos (A − B) + cos C sin C
= sin C [cos (A + B) − cos (A − B)]
= −2 sin A sin B sin C
= −2 sin (a − b) sin (b − c) sin (c − a) .
Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
Trên đây là hai ví dụ điển hình cho phương pháp chứng minh đẳng thức bằng cách
tính định thức. Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp này đòi hỏi chúng ta phải thuần
thục trong việc tính định thức, đặc biệt theo chiều ngược lại, tức là : Đưa một vế của
đẳng thức về theo một định thức nào đó mà định thức khi tính kết quả là vế còn lại.
2.1.3. Áp dụng đẳng thức |A.B| = |A| . |B|
Trước hết ta chứng minh đẳng thức |A.B| = |A| . |B| .
Thật vậy, giả sử A = (a
ij
)
n
, B = (b
ij
)
n
, với i, j = 1, , n là hai ma trận vuông cấp n .
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ta lập ma trận :
C =



2n
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
0 0 . . . 0
−1 0 . . . 0 b
11
b
12
. . . b
1n
0 −1 . . . 0 b
21
b
22
. . . b
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . −1 b
n1
b
n2
. . . b
nn






















a
11
a
12
. . . a
1n
d
11
d
12

0 0 . . . −1 0 0 . . . 0




















.
ở đó d
ij
=
n

k=1
a
ik

y
2
+ x
2
y
1
+ x
3
y
3
)
3
+ (x
1
y
3
+ x
2
y
2
+ x
3
y
1
)
3
− 3 (x
1
y
1

y
1
)
=

x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
− 3x
1
x
2
x
3

y
3
1
+ y
3
2
+ y
3
3






x y z
z x y
y z x









=









x + y + z y z
x + y + z x y
x + y + z z x


= (x + y + z)









1 y z
0 x − y y − z
0 z − y x − z









= (x + y + z) [(x − y) (x − z) − (z − y) (y − z)]
= (x + y + z)

x
2
− xy − zx + yz + z
2

x
2
x
3
x
3
x
1
x
2
x
2
x
3
x
1





, C =





y
1
y

1
x
2
x
3
x
3
x
1
x
2
x
2
x
3
x
1










y
1
y

1
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
3
y
3
x
1
y
3
+ x
2
y
2
+ x

3
+ x
1
y
2
+ x
2
y
1
x
2
y
1
+ x
3
y
3
+ x
1
y
2
x
2
y
2
+ x
3
y
1
+ x

+ x
3
y
2
)
3
+ (x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
3
y
3
)
3
+ (x
1
y
3
+ x
2
y
2
+ x
3

y
3
+ x
2
y
2
+ x
3
y
1
) .
|B| |C| = (x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
− 3x
1
x
2
x
3
) (y
3
1
+ y

+ d
2

x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2

.
Giải:
Xét ma trận
X =








x
1
x
2
x
3





24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên