Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho

1

ÔN TẬP PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
I. LÝ THUYẾT.

BÀI 1. CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
1) Toạ độ góc.
Toạ độ góc ký hiệu: ; đơn vị :  (rad)
 giúp xác định vị trí của vật rắn quay quanh một trục cố định.
 = s/r trong đó: s là độ dài cung tròn, r là bán kính.
2) Tốc độ góc.
a) Tốc độ góc trung bình:

ttt
tb









12
12

b) Tốc độ góc tức thời: 
tt

)
4) Các phương trình động học của chuyển động quay.
a) Chuyển động quay đều:  = const,  = 0; phương trình  = 
0
+ t
b) Chuyển động quay biến đổi đều:  = cosnt.
Các phương trình: +  = 
0
+ t
+  = 
0
+ 
0
t + 1/2t
2

+ 
2
- 
0
2
= 2( - 
0
) = 2
Phương trình các chuyển động với gia tốc dài và gia tốc góc không đổi
Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho

2

Công thức dài Biến số vắng mặt Công thức góc


2
- 
0
2
= 2( - 
0
)
x= 1/2(v
0
+ v)t a

 = 1/2(
0
+ )t

5) Vận tốc và gia tốc của các điểm vật trên vật rắn quay
a) Mối liên hệ giữa tốc độ dài và tốc độ góc: v = .r
b) Nếu quay đều: v = const; a
t
= dv/dt = 0; a
n
= v
2
/r = 
2
.r
c) Nếu vật quay không đều.
a
t

, m
2
, …m
n
ở cách trục quay những
khoảng cách r
1
, r
2
, … r
n
. Khi này mômen lực tổng cộng tác dụng lên vật rắn là:
M = M
1
+ M
2
+ …+ M
n
= m
1
r
1
2
 + m
2
r
2
2
 + … + m
n



n
i
ii
rm
1
2
)
Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho

3

3) Mômen quán tính. I =


n
i
ii
rm
1
2
Gọi là mômen quan tính;
Đơn vị: I (kg.m
2
)
I đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn quay quanh trục ấy
Một số mômen quán tính thường gặp:
- Cái vòng, hình trụ rỗng quanh trục giữa: I = mr
2

4) Phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định
M = I.  đây là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn.

BÀI 3. MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG, ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG
1) Mômen động lượng.
a) Dạng khác của phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục cố định.
M = I. = I.d/dt = d(I. )/dt = dL/dt; với L = I. 
Vậy M = dL/dt là dạng khác của phương trình động lực học của vật rắn quay
b) Mômen động lượng. L = I.  gọi là mômen động lượng; đơn vị L (kg.m
2
/s)
2) Định luật bảo toàn mômen động lượng.
Nếu M = dL/dt = 0 thì L = const; đây chính là nội dung của định luật bảo toàn động
lượng.
Do L = I.  = const nên I
1
. 
1
= I
2
. 
2
= = I
n
. 
nGi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho



2
Iω
2
1
W hay W
đ
= L
2
/2.I là biểu thức động năng của vật rắn quay quanh một
trục cố định
Định lí biến thiên động năng: 1/2.I. 
2
2
- 1/2.I. 
1
2
= A
A là tổng công của ngoại lực tác dụng vào vật.
SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA BIẾN SỐ DÀI VÀ BIẾN SỐ GÓC
Biến số dài Biến số góc
Biến số Tên gọi Biến số Tên gọi
x (m) Toạ độ
 (rad)
Toạ độ góc
v (m/s) Tốc độ
 (rad/s)
Tốc độ góc
a (m/s
2

2
+ …
+ m
n
và vị trí khối tâm được xác định bởi.






n
i
ii
nn
xm
MM
xmxmxm
x
1
2211
1Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho

5

Tổng quát: nếu xét ở không gian ba chiều ta có:


zm
M
z
1
1
;

II. BÀI TẬP VÍ DỤ
Bài tập 1: Toạ độ góc của một vật rắn quay cho bởi biểu thức:  = t
3
- 27t + 4; trong đó
 đo bằng radian, t đo bằng giây.
a) Tìm tốc độ góc và gia tốc góc.
b) Vào lúc nào thì tốc độ góc bằng không.
Bài giải:
a)  = ’ = 3t
2
- 27.  = ’ = 6t.
b) lúc  = 0 ta có: 0 = 3t
2
- 27  t =  3s. Nghĩa là tốc độ góc bằng không 3s trước và 3s
sau thời gian chọn làm mốc.
Bài tập 2: Một đĩa mài có gia tốc góc không đổi  = 0,35 rad/s
2
. Nó bắt đầu chuyển
động từ trạng thái nghỉ với 
0
= 0.
a) Tìm toạ độ góc lúc t = 18s
b) Tìm tốc độ góc lúc t = 18 s


6

a)  = ( - 
0
)/t = (225 - 320)/1,5 = - 63,3 vòng/(phút)
2

Dấu - chứng tỏ cánh quạt quay chậm dần.
b) t = ( - 
0
)/  = (0 - 320)/(-63,3) = 5,1 phút
c)  = (
2
- 
0
2
)/2 = (0
2
- 320
2
)/2.(-63,3) = 809 vòng.
Bài 4: Một vô lăng đồng chất hình đĩa tròn có khối lượng m = 500kg, bán kính r = 20cm
đang quay xung quanh trục của nó với tốc độ n = 480 vòng/phút. Tác dụng một mô men
hãm lên vô lăng. Tìm mômen hãm đó trong hai trường hợp:
a) Vô lăng dừng lại sau khi hãm 50 giây.
b) Vô lăng dừng lại sau khi đã quay thêm được 200 vòng.
Bài giải:
a) Ta có: M.t = L = I.
2

2
2
- 
1
2
) = 2 với 
2
= 0;
Ta có:  =
2
1
2


 mà M = I.  =
2 2
1
4
mr



Thay số ta được kết quả: M= -10N.m
Bài 5: Một trụ đặc đồng chất khối lượng m = 100kg quay xung quanh một trục nằm
ngang trùng với trục của trụ. Trên trụ có cuốn một sợi dây không giãn trọng lượng không
đáng kể. Đầu tự do của dây có treo một vật nặng M = 20kg. Để vật nặng tự nó chuyển
động. Tìm gia tốc của vật nặng và sức căng của sợi dây.
Bài giải
Ta có a = .R và T = T’ (1)
Áp dụng định luật II Niutơn cho riêng vật nặng

Chú ý: Cách giải bài toán dạng trên:
Bước 1: Phân tích vật nào chuyển động tịnh tiến, vật nào chuyển động quay.
Bước 2: Lập phương trình định luật II cho các vật chuyển động tịnh tiến: F = ma (1)
Bước 3: Lập phương trình động lực học đối với vật rắn quay quanh một trục cố định:
M = I. ; M = F.d (2)
Bước 4: Lập mối liên hệ giữa chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay: a = .R
(3)
Bước 5: Giải hệ ba phương trình (1), (2), (3) được kết quả cần tìm.

Bài 6: Một đĩa tròn đặc đồng chất, khối lượng m
1
= 5kg, đường kính d = 1m, quay quanh
trục của nó với tốc độ góc 10vg/ph. Một người khối lượng m
2
= 20kg nhảy lên đĩa theo
phương tiếp tuyến với đĩa tại mép đĩa, cùng với chiều quay của đĩa với tốc độ 5m/s. Coi
người là chất điểm. Tìm tốc độ góc của người và đĩa sau khi người này nhảy lên.
Bài giải:
Mômen quán tính của đĩa là: I
1
= 1/2m
1
R
2
= 1/2.5.0,5
2
= 0,625 kg.m
2

Tốc độ góc của đĩa là: 


2
= (I
1
+ I
2
) 


1 1 2 2
1 2
0,625.( /3) 5.10
0,625 5
I I
I I
 




 
 
= 9 (rad/s)
Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho

8 Chú ý: Đây là dạng toán áp dụng định luật bảo toàn:
Bước 1: Xác định điều kiện áp dụng định luật bảo toàn:

b) Ta có:  = 
0
+ t

theo bài ra: 
0
= 0 ta có:  = t = 14.2 = 28 (rad/s)
c) Động năng tính bởi biểu thức: W = 1/2.I. 
2
= 1/2.(1/2.m.R
2
). 
2
thay số ta được
W = 1/2.(1/2.100.0,2
2
).28
2
= 784 (J).
Bài 8: Một đĩa tròn đồng chất có khối lượng 2kg và bán kính 10 cm nhận được công
200J quay được góc là 20 rad. Tính gia tốc góc của vật.
Bài giải:
Áp dụng định lí động năng cho vật rắn quay: 1/2I
2
- 1/2I
0
2
= A
 1/2I(
2

2
là khoảng cách từ vật có khối lượng m
2
đến gốc toạ độ.
áp dụng công thức ta có:

1 1 2 2 1 2
1 2
. . 2. 3
5
m x m x x x
x
m m
 
 


Nếu chọn gốc toạ độ trùng với vị trí vật m
1
thì ta có x
1
= 0 và x
2
= 6cm thay vào biểu
thức trên ta được x = 18/5 = 3,6 cm.
Vậy khối tâm của hệ cách vật m
1
3,6 cm và cách vật m
2
= 2,4 cm.

2
. Trong khoảng thời gian 4s nó
quay được một góc 120rad. Giả sử bánh xe bắt đầu chuyển động từ trạng thái nghỉ thì nó
đã phải chuyển động trong khoảng thời gian bao lâu, trước khi bắt đầu khoảng thời gian
4s đó.
Bài tập 6: Một bánh xe quay được 90 vòng trong 15s, tốc độ góc của nó vào cuối thời
gian đó là 10 vg/s.
a) Tốc độ góc của nó vào đầu quãng thời gian 15s là bao nhiêu, coi gia tốc góc là không
đổi.
b) Tìm quãng thời gian từ lúc bánh xe bắt đầu chuyển động đến lúc bắt đầu quãng thời
gian 15s trên.
Bài tập 7: Một bánh đà quay được 40 vòng, từ lúc bắt đầu quay chậm lại, với tốc độ góc
1,5 rad/s cho đến khi dừng.
a) Giả sử gia tốc góc là không đổi thì thời gian cần để dừng lại là bao nhiêu?.
b) Gia tốc góc là bao nhiêu?.
c) Tìm thời gian cần để quay được 20 vòng đầu trong số 40 vòng trên.
Bài tập 8: Một cái đĩa quay quanh một trục cố định từ trạng thái nghỉ và quay nhanh dần
với gia tốc góc không đổi. Tại một thời điểm nó quay với tốc độ góc 10 vg/s. Sau khi
quay trọn 60 vòng nữa thì nó có tốc độ góc 15 vg/s.
a) Tìm gia tốc góc
b) Tìm thời gian để quay hết 60 vòng đã nêu.
c) Thời gian cần thiết để đạt được tốc độ góc 10 vg/s?.
d) Tìm số vòng quay từ trạng thái nghỉ đến lúc đạt tốc độ góc 15 vg/s.
Bài tập 9: Một bánh đà đường kính 1,2m đang quay với tốc độ góc 200 vg/ph.
a) Tìm vận tốc dài của một điểm trên vành bánh đà.
b) Tìm gia tốc góc không đổi của bánh đà để tốc độ của nó tăng lên đến 1000 vg/ph
trong 60s.
c) Trong khoảng thời gian 60s này, bánh đà quay được bao nhiêu vòng.
Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho


1
= 2kg và m
2
= 1kg
được nối với nhau bằng một sợi dây vắt qua một ròng rọc
có khối lượng m = 1 kg.
a) Gia tốc của các vật
b) Sức căng T
1
và T
2
của sợi dây, coi ròng rọc là đĩa tròn.
Bài tập 15: Hai vật khối lượng m
1
= 0,5 kg và m
2
= 1,5 kg
được nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ, không giãn
m
1

m
2

.

m
2
Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho


hợp bởi mặt phẳng nghiêng và mặt nằm ngang là 30
0
.
a) Xác định gia tốc của vật m
1
và m
2

b) Tính độ dịch chuyển của m
2
trên mặt bàn
sau 0,5s kể từ lúc bắt đầu chuyển động.

Bài tập 17: Trên một trụ rỗng khối lượng m = 1kg
người ta cuộn một sợi dây không dãn
có khối lượng và đường kính nhỏ không
đáng kể. Đầu tự do của dây được gắn trên
một giá cố định, để trụ rơi dưới tác dụng
của trọng lực. Tìm sức căng của trụ và
sức căng của sợi dây treo.
m
1
m
2
Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho

13

(đây chính là chuyển động của cái Yô - Yô)


kính R và mômen quán tính là I, đĩa đang đứng yên. Cô ta ném một hòn đá theo phương
ngang, tiếp tuyến với mép đĩa, tốc độ của hòn đá là v.
a) Tính tốc độ góc của đĩa sau khi cô gái ném hòn đá.
b) Tính tốc độ dài của cô gái.
Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho

14

Bài tập 23: Tính công cần thiết để làm một vô lăng hình vành tròn đường kính 1m, khối
lượng 500kg, đang đứng yên quay với tôc độ góc 120 vg/ph.
Bài tập 24: Một bánh xe nặng 32kg, là một vành tròn mỏng bán kính 1,2m, quay với tốc
độ 280 vg/ph. Cần hãm cho nó dừng lại hẳn sau 15s. Tính công cần để hãm bánh xe.
Bài tập 25: Có ba vật coi như chất điểm nằm tại ba đỉnh của tam giác đều cạnh a =
140cm khối lượng lần lượt là m
1
= 1,2 kg, m
2
= 2,5 kg, m
3
= 3,4 kg. Xác định vị trí khối
tâm của hệ.
IV. ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2007; 2008:
Cõu 1: Một bánh xe đang quay với tốc độ góc 24 rad/s thỡ bị hóm. Bỏnh xe quay
chậm dần đều với gia tốc góc có độ lớn 2 rad/s
2
. Thời gian từ lỳc hóm đến lúc bánh
xe dừng bằng
A. 8 s. B. 12 s. C. 24 s. D. 16 s.
Cõu 2: Một vật rắn quay quanh trục cố định Ä dưới tác dụng của momen lực 3
N.m. Biết gia tốc góc của vật có độ lớn bằng 2 rad/s

. Vật rắn thứ hai quay quanh trục cố định Ä
2
có
momen động lượng là L
2
, momen quán tính đối với trục Ä
2
là I
2
= 4 kg.m
2
. Biết động năng
quay của hai vật rắn trên là bằng nhau. Tỉ số L
1
/L
2
là.
A. 9/4 B. 4/9 C. 3/2 D. 2/3
Cõu 5: Một thanh cứng cú chiều dài 1,0 m, khối lượng không đáng kể. Hai đầu của
thanh được gắn hai chất điểm có khối lượng lần lượt là 2 kg và 3 kg. Thanh quay
đều trong mặt phẳng ngang quanh trục cố định thẳng đứng đi qua trung điểm của
Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho

15

thanh với tốc độ góc 10 rad/s. Momen động lượng của thanh bằng
A. 15,0 kg.m
2
/s. B. 10,0 kg.m
2

trục quay xác định?
A. Momen quán tính của một vật rắn có thể dương, có thể âm tùy thuộc vào chiều quay
của vật.
Gi¸o viªn: §ç §×nh Tu©n Trêng THPT NguyÔn Qu¸n Nho

16

B. Momen quỏn tớnh của một vật rắn phụ thuộc vào vị trớ trục quay.
C. Momen quán tính của một vật rắn đặc trưng cho mức quán tính của vật trong chuyển
động quay.
D. Momen quán tính của một vật rắn luôn luôn dương.
Câu 11. Một vật rắn quay quanh một trục cố định đi qua vật có phương trỡnh chuyển động
 = 10 + t
2
(ϕ tính bằng rad, t tính bằng giây). Tốc độ góc và góc mà vật quay được sau
thời gian 5 s kể từ thời điểm t = 0 lần lượt là
A. 5 rad/s và 25 rad. B. 5 rad/s và 35 rad. C. 10 rad/s và 35 rad. D. 10 rad/s và 25 rad
Cõu 12: Một đĩa phẳng đang quay quanh trục cố định đi qua tâm và vuông góc với mặt
phẳng đĩa với tốc độ góc không đổi. Một điểm bất kỳ nằm ở mép đĩa
A. không có cả gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến.
B. có cả gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến.
C. chỉ có gia tốc hướng tâm mà không có gia tốc tiếp tuyến.
D. chỉ có gia tốc tiếp tuyến mà không có gia tốc hướng tâm.
Cõu 13: Một rũng rọc cú trục quay nằm ngang cố định, bán kính R, khối lượng m. Một sợi
dây không dón cú khối lượng không đáng kể, một đầu quấn quanh rũng rọc, đầu cũn lại treo
một vật khối lượng cũng bằng m. Biết dây không trượt trên rũng rọc. Bỏ qua ma sỏt của
rũng rọc với trục quay và sức cản của môi trường. Cho momen quán tớnh của rũng rọc đối
với trục quay là 1/2.mr
2
và gia tốc rơi tự do g. Gia tốc của vật khi được thả rơi là

. Bàn đang
quay đều với tốc độ góc 2,05 rad/s thỡ người ta đặt nhẹ một vật nhỏ khối lượng 0,2 kg vào
mép bàn và vật dính chặt vào đó. Bỏ qua ma sát ở trục quay và sức cản của môi trường.
Tốc độ góc của hệ (bàn và vật) bằng
A. 2 rad/s. B. 0,25 rad/s C. 1 rad/s. D. 2,05 rad/s.

(Từ câu 11 đến câu 18 là đề thi đại học năm 2008)

CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG