www.truongthi.com.vn
Môn Toán

KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ

Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau
1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x ≥ 0, với x < 0 hàm số có tính đối
xứng.
Nếu hàm tuần hoàn thì chỉ cần xét trên một chu kì.
2) Tính y’, y”
Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu.
Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn.
3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn
Tìm các đường tiệm cận.
Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục.
4) Lập bảng biến thiên.
5) Vẽ đồ thị.
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), chỉ rõ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu,
điểm uốn, các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).
Chú ý nếu hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, còn
nếu hàm y = f(x) lẻ thì đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
a) Hàm bậc hai : y = ax
2
+ bx + c a ≠ 0
Ta có
2
2
b4ac
yax

=
đạt được tại
b
x
2a
=−
. Hàm tăng trên
b
,
2a

−+∞



, giảm trên
b
,
2a

−∞ −


.
Với a < 0, max
2
4ac b
y
4a
−

− 3ac > 0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
< x
2
và
y’ > 0 ⇔ x ∉ [x
1
, x
2
].
Hàm số tăng (giảm) trên (−∞, x
1
) và (x
2
, + ∞) (tương ứng, trên (x
1
, x
2
)).
Điểm cực đại (cực tiểu) là (x
1
, y(x
1
)) (tương ứng (x
2
, f(x
2
)).
Nếu a < 0 thì
+ Với b

c) Hàm phân thức:
ax b
cx d
y
+
=
+
, c ≠ 0
Ta có
2
abcad1
y
cd
c
x
c
−
=+
+

− Nếu bc − ad = 0 thì
a
y
c
≡
, x ≠ − d/c.
− Nếu bc − ad ≠ 0 thì đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số
k
y
x

− +
=+− +
+

Tập xác định R\
{ }
d−

()
()
2
2
ax d m
y'
xd
+−
=
+
, m = ad
2

−
bd + c
−
Nếu m = 0 thì y = ax + (b
−
ad), x
≠

−

d, +
∞
).
−
Nếu am > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
1, 2
m
xd
a
=−
m

+ Nếu a > 0 thì hàm tăng trên (
−∞
, x
1
), (x
2
, +
∞
) giảm trên (x
1
,
−
d), (
−
d, x
2
)
các điểm cực đại (cực tiểu) là (x

Điểm cực tiểu là (x
1
, 2ax
1
+ b)
Điểm cực đại: (x
2
, 2ax
2
+ b).
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = mx
3
+ 3mx
2

−
(m
−
1)x
−
1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị
Giải. a) với m = 1, y = x
3
+ 3x
2

−
1

∞
) (tương ứng (
−
2, 0)). Hàm có
điểm cực đại (
−
2, 3) và cực tiểu (0,
−
1).
y” = 6x + 6, y” = 0
⇔
x =
−
1, y” đổi dấu qua x =
−
1 vậy y = f(x) có điểm
uốn (
−
1, 1).
Ta có bảng biến thiên
X 2 0
y’ + 0  0
+
Y 3 1
Đồ thị y
3





∆= + − ≤




Ví dụ 2. Cho hàm số y = x
3
+ mx
2

−
m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
c) Xác định m sao cho

x


≤
1
⇒


y



) hàm đồng biến
y’ < 0
⇔
x
∈
(
−
2, 0), trên đó y nghịch biến
y” = 6x + 6, ta có điểm uốn (
−
1,
−
1).
Bảng biến thiên
X 2 0
y’ + 0  0
+
Y 1 3
Đồ thị xem hình vẽ

6
3
www.truongthi.com.vn
Môn Toán

y


⇔
m
≠
0
() ( )
3
c® ct
4m 27m
y .yy0.y 2m / 3 m 0
27
−
=−=− <

2
4m 27 0⇔−>

33
m
2
⇔>

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi
m33/> 2

c)
()
y x≤ 1
với
x≤ 1


≥− = −

(vì y (
−
1) =
−
1, y(1) = 1, y (0) =
−
m đều thuộc [
−
1, 1]).
Nhưng
32
4m 4m
,m1 m
27 27

−= − ≤ ≤



1
khi
m1≤
. m = 0 cũng thỏa
mãn.
Kết luận m
∈
[
−

−
18x = 0
⇔
x= 0, điểm uốn (0, 2).
Bảng biến thiên

8
4
www.truongthi.com.vn
Môn Toán

X 1/3 1/3
Y’  0 + 0 
Y 16/9 20/9 y
4 20/9
16/9
-1 -1/3 0 1/3 1 x b) y’ = 3(m
−


−
1)
−
y = 0
Điểm cố định (xo, yo) phải thỏa mãn
()
()
2
oo
oo
oo
3
oo
oo
x0, y2
xx 1 0
x1, y4,
y2x1
x1 y0
==


−=

⇔=− =


=− −
==

+
=

y” đổi dấu khi x biến thiên qua (2m + 1)/2. Vậy điểm uốn là
2m 1 2m 1
U,f
22

++






. Từ
2m 1
x
2
+
=
suy ra
2x 1
2
m
−
=
, thay vào
phương trình y = f(x) ta thu được
3

x
∈
(m, m + 1)
y’(x) > 0
⇔
x
∈
(
−∞
, m)
∪
(m + 1, +
∞
)
10
5