Đạo hàm,KS hàm số và BT liên hệ - Trang 1 - Gv soạn: Phạn Văn Luật
Phần I. ĐẠO HÀM
1. Đònh nghóa đạo hàm : Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên (a;b) và x
0
∈(a;b).
a) f’(x
0
) =
x
)x(f)xx(f
lim
x
y
lim
00
0x0x
∆
−∆+
=
∆
∆
→∆→∆
là đạo hàm của f(x) tại x
0
.
b) f’(x
0
+
) =
x
y

) = A ⇔ f’(x
0
) = A
d) f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) ⇔ f(x) có đạo hàm tại ∀x
0
∈(a;b).
e) f(x) có đạo hàm trên [a;b] ⇔





∃
∃
−
+
)(bf'
)(af'
b)(a; trên hàmđạo có )x(f
2. Dùng đònh nghóa để tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại x ∈ (a;b) ⊂ D (Tập xác đònh
của hàm số):
• Cho x số gia ∆x, tìm ∆y = f(x+∆x) − f(x).
• Lập tỷ số
x
y
∆
∆
.
• Tìm
)x('f

0
= f’(x
0
)(x
−
x
0
) (1).
Viết được (1) là phải tìm x
0
; y
0
và f’(x
0
).
4. Bảng quy tắc tính đạo hàm:
Cho u,v,w...là các hàm số có biến số x, lần lượt có đạo hàm theo x là u’,v’,w’....Ta có:
1) (u ± v)’ = u’ ± v’.
Mở rộng :(u ± v ± w)’ = u’ ± v’± w’.
2) (u.v)’ = u’v+u v’.
Hệ quả : (ku)’ = k.u’ , k: hằng số.
3) (
v
u
)’ =
2
v
v' uvu'
−
.

)’ =
2
x
1
−
(x≠0)
(
x
)’ =
x2
1
(x>0)
(u

α

)’ = αu
α −
1
.u’
(
u
1
)’ = −
2
u
'u
(
u
)’ =

(cosu)’ = − u’.sinu
)utg1('u
ucos
'u
)'tgu(
2
2
+==
)ugcot1('u
usin
'u
)'gu(cot
2
2
+−=−=
(e
x
)’ = e
x
(a
x
)’ = a
x
.lna (0<a ≠1)
(e
u
)’ = u’.e
u
(a
u

(x) = y
(n)
(x)
b) Giả thiết y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b). Vi phân của hàm số
y = f(x) tại điểm x bất kỳ thuộc khoảng (a;b) là :
dy = f’(x).dx.
c) Tính gần đúng:
f(x
0
+∆x) ≈ f(x
0
) + f ’(x
0
).∆x
Đạo hàm,KS hàm số và BT liên hệ -Trang 3 - Gv soạn: Phạn Văn Luật
Phần II. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
I.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1) Kiến thức lớp 10 :
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x
1
< x
2
với x
1
,x
2
∈(a;b)
a) Nếu f(x
1
) < f(x

Hàm số nghòch biến trên (a;b)
4) Điểm tới hạn :
a) Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x
0
∈(a;b). Điểm x
0
được
gọi là 1 điểm tới hạn của hàm số y = f(x) nếu tại x
0
đạo hàm f’(x) không xác đònh hoặc
bằng 0.
b) Tính chất : Đối với các hàm số sơ cấp (Tổng, hiệu, tích, thương, hàm số hợp của một
số các hàm số sơ cấp cơ bản): Nếu f’(x) liên tục trên khoảng (a;b) và x
1
; x
2
(x
1
<x
2
) là
hai điểm tới hạn kề nhau thuộc khoảng (a;b) thì trên khoảng (x
1
; x
2
) đạo hàm f’(x) giữ
nguyên dấu.
5) Cách tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):
a) Tìm tập xác đònh D của hàm số y = f(x).
b) Tìm f’(x) và tìm các điểm x

) là giá trò cực đại của hàm số y = f(x), còn điểm
M
0
(x
0
; f(x
0
)) được gọi là điểm cực đại của (C).
c) Nếu với ∀x

∈V(δ)⊂ (a; b) của điểm x
0
và x≠x
0
ta đều có f(x) > f(x
0
) thì x
0
là 1 một
điểm cực tiểu của hàm số y = f(x), f(x
0
) là giá trò cực tiểu của hàm số y = f(x), còn
điểm M
0
(x
0
; f(x
0
)) được gọi là điểm cực tiểu của (C).
Điểm cực đại của (C): y = f(x) Điểm cực tiểu của (C) : y = f(x)

0
)≠0 thì x
0
là một điểm cực trò của hàm số y = f(x).
Cụ thể :



>
=
0)x(''f
0)(x' f
0
0
⇒ x
0
là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)



<
=
0)x(''f
0)(x' f
0
0
⇒ x
0
là điểm cực đại của hàm số y = f(x)
4. Các quy tắc tìm cực trò của hàm số y = f(x) :

+bx
2
+cx+d
(a≠0 và b
2
−3ac>0) được thực hiện theo các bước :
o Tìm y’. Tìm điều kiện để hàm số có cực trò ⇔ a≠0 và ∆’ = b
2
−3ac>0
o Chia y cho y’ ta được dư là αx+β .
o Khi đó hàm số y = f(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d = (Ax+B)y’ +αx+β
o Gọi x
0
là điểm cực trò của hàm số y = f(x). Theo đònh lý Fermat:
⇒ y’(x
0
) = 0 ⇒ y(x
0
) = (Ax
0
+B)y’(x
0
) +αx
0
+β = αx
0


'a
bax2
)''bx'a(
)'cbxax(
y
2
+
=
+
++
=
Đạo hàm,KS hàm số và BT liên hệ - Trang 6 - Gv soạn: Phạn Văn Luật
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1.Đònh nghóa : Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên tập D. Đònh nghóa:



=∈∃
≤∈∀
⇔=
M)x(f:Dx
M)x(f:Dx
M)x(fMax
00
D



=∈∃

bx
lim
f(x) );
o Tìm các giới hạn ở vô tận (nếu D = (−∞ ; a] thì tìm
− ∞→
x
lim
f(x) còn nếu
D = [a;+∞) thì tìm
+ ∞→
x
lim
f(x) ).
o Lập bảng biến thiên (hoặc so sánh các giá trò của hàm số trên một đoạn), dựa
vào đó mà kết luận.
IV. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1)Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn :
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong
khoảng (a;b), có đồ thò (C). Giả thiết tại mọi điểm
thuộc khoảng (a;b) đồ thò (C) đều có tiếp tuyến.
Xét cung ACB với A(a;f(a)); B(b;f(b)) và C(c;f(c)).
 Cung là một cung lồi của (C) nếu tại mọi điểm của cung tiếp tuyến đều
nằm phía trên (C). Khoảng (a;c) gọi là khoảng lồi của đồ thò.
 Cung là một cung lõm của (C) nếu tại mọi điểm của cung tiếp tuyến đều
nằm phía dưới (C). Khoảng (c;b) gọi là khoảng lõm của đồ thò.
Điểm C phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn của đồ thò. Tại
điểm uốn tiếp tuyến xuyên qua đồ thò.
Đạo hàm,KS hàm số và BT liên hệ - Trang 7 - Gv soạn: Phạn Văn Luật
2) Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn :
1) Đònh lý 1 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b).

số
lõm
b) Điểm uốn của đồ thò:
x x
0
y”
+ −
(−) (+)
Đồ thò của
hàm số
Điểm uốn
M
0
(x
0
;f(x
0
))
V. TIỆM CẬN
1) Đònh nghóa :
a) Giả sử M(x;y)∈(C):y = f(x). Ta nói (C) có một nhánh vô cực
nếu ít nhất một trong hai tọa độ x, y của điểm M(x;y) dần tới ∞.
Khi đó ta cũng nói điểm M(x;y) dần tới ∞ (vì OM=
+ ∞→+
22
yx
). Ký hiệu M→ ∞.
b) Giả sử đồ thò (C) có nhánh vô cực. Cho đường thẳng d.
Kí hiệu MH là khoảng cách từ điểm M(x;y)∈(C) đến đường thẳng d.
d là tiệm cận của (C)⇔

)x(flim
0
xx
) thì d: x = x
0
là một tiệm cận đứng bên
trái (bên phải) của (C):y = f(x)
Đạo hàm,KS hàm số và BT liên hệ -Trang 8 - Gv soạn: Phạn Văn Luật
2.Tiệm cận ngang :
Đònh lý : Nếu
0
x
y)x(flim
=
∞→
thì d: y = y
0
là một tiệm cận ngang của (C)
Mở rộng : Nếu
0
x
y)x(flim
=
− ∞→
(hoặc
0
x
y)x(flim
=
+ ∞→

• Nếu
0)]bax()x(f[lim
x
=+−
− ∞→
thì d:y=ax+b (a≠0) là tiệm cận xiên bên trái của
(C):y=f(x).
• Nếu
0)]bax()x(f[lim
x
=+−
∞→
thì d:y=ax+b (a≠0) là tiệm cận xiên hai bên của
(C):y=f(x).
Cách tìm các hệ số a và b của đường tiệm cận xiên y = ax+b:
Tìm các giới hạn : a=
x
)x(f
lim
x
∞→
và b=
]ax)x(f[lim
x
−
∞→
Chú ý :
• Nếu a=
x
)x(f

5.Bảng biến thiên: Ghi chiều biến thiên và các kết quả của y’, y.
6.Giá trò đặc biệt : Thường cho x = 0 để tìm giao điểm của đồ thò với Oy (nếu có). Cho
Đạo hàm,KS hàm số và BT liên hệ - Trang 9 - Gv soạn: Phạn Văn Luật
y=0 để tìm các giao điểm của đồ thò với trục Ox (nếu có). ta có thể tìm thêm một vài
điểm khác nữa.
7.Vẽ đồ thò và nhận xét đồ thò : Nét vẽ mảnh, đẹp và đúng, đủ. Thể hiện đúng cực trò,
điểm uốn , lồi, lõm, tiệm cận (nếu có) của đồ thò. Nhận xét tính chất đặc trưng của đồ thò.
B.Khảo sát và vẽ đồ thò :
I.Hàm số y = f(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d (a ≠ 0) :
Dạng cơ bản của đồ thò :
Stt Tính chất Dạng
1
2
a>0
y’ = 0 ⇔ x = x
1
V x = x
2
y’> 0 ( hoặc y’≥ 0)
3
4
a<0
y’ = 0 ⇔ x = x
1
V x = x
2

0 và c
≠
0) :
Dạng cơ bản của đồ thò :
Đồ thò của hàm số hữu tỉ 1/1 nhận giao điểm I của hai tiệm cận
c
d
x
−=
và
c
a
y
=

làm tâm đối xứng và có một trong hai dạng:
Đạo hàm,KS hàm số và BT liên hệ -Trang 10- Gv soạn: Phạn Văn Luật
Stt Hệ số Tính chất Dạng
1 ad-bc > 0
2 ad-bc < 0
Tiệm cận đứng
c
d
x
−=

Tiệm cận ngang
c
a
y

'a
a
+
làm tâm đối xứng và có một trong bốn dạng:
Stt Tính chất Dạng
1
2
aa’>0
y’ = 0 ⇔ x = x
1
V x = x
2
y’> 0
3
4
aa’<0
y’ = 0 ⇔ x = x
1
V x = x
2
y’< 0