Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An
Phn
PhnPhn
Phn

I
II
I. KHO SÁT
. KHO SÁT . KHO SÁT
. KHO SÁT HÀM S
HÀM SHÀM S
HÀM S

VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUANVÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1 Tập xác định:
D = ℝ

2 Tính
y
′

3 Cho
0y
′

′
= có 2 nghiệm
phân biệt

0y
′
= có nghiệm kép

0y
′
= vô nghiệm

Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm uốn

www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
4 2
( 0)


b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
0

)
1 Chỉ rõ
0
x
và
0
y
(hoành độ & tung độ của điểm M
0
)
2 Tính
0
( )f x
′

3 Công thức:
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)
1 Lập luận để có được
0
( )f x k
′
=

a
k = −

d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x)

1 Đưa phương trình về dạng:
( ) ( )f x BT m=

2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao
điểm của đồ thị
( ) : ( )C y f x=
và đường thẳng
: ( )d y BT m=
.
3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 3 - THPT Chu Văn An

Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương
trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết
quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề.
e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:
( )f x ax b= + (*)
2 Lập luận: số giao điểm của

 Đạo hàm:
2
3 12 9y x x
′
= − +

 Cho
2
0 3 12 9 0 1y x x x
′
= ⇔ − + = ⇔ =
hoặc
3x =

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Đồ thị hàm số có điểm cực đại
(1;5)D
, điểm cực tiểu
(3;1)T


Cho 6 12. 0 2 3y x y x y

 Bảng giá trị:
x
0 1 2 3 4
y
1 5 3 1 5
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
(2; 3)I
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
0 (0) 1x y= ⇒ = .
Giao điểm của
( )C
với trục tung là:
(0;1)A


(0) 9f
′
=

 Phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại A là:
1 9( 0) 9 1y x y x− = − ⇔ = +

Câu c: Ta có,
3 2 3 2
6 9 0 6 9x x x m x x x m− + + = ⇔ − + = −


của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại các giao điểm của
( )C

với trục hoành.
c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình:
3 2
4 6 3 0x x a− − =

Bài giải
Câu a: Hàm số
2 3
3 2y x x= −
 Tập xác định:
D = ℝ

 Đạo hàm:
2
6 6y x x
′
= −

 Cho
2
0 6 6 0 0y x x x
′
= ⇔ − = ⇔ =
hoặc

Cho
1 1
2 2
6 12 . 0y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =
. Điểm uốn
1 1
2 2
( ; )I

 Bảng giá trị:
x

1
2
−
0
1
2
1
1
2

y
1 0
1
2
1 0
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng

 Tại
(0; 0)O
:
(0) 0f
′
=
, phương trình tiếp tuyến là:
0y =

 Tại
3
2
( ; 0)B
:
3 9
2 2
( )f
′
= −
, phương trình tiếp tuyến là:
27
9 3 9
2 2 2 4
0 ( )y x y x− = − − ⇔ = − +

Câu c: Ta có,
3 2 2 3 2 3
4 6 3 0 6 4 3 3 2x x a x x a x x− − = ⇔ − = − ⇔ −
3
2

1 1
2
3
a = −

3
2
1a− =

2 2
2
3
0a− < <

3
2
0 1a< − <

3 3
0a =

3
2
0a− =

2 2
0a >

3
2

2
2y x= +

Bài giải
Câu a:
3 2
3 3
2
x x x
y
+ +
=
 Tập xác định:
D = ℝ

 Đạo hàm
2
3 6 3
0,
2
x x
y x
+ +
′
= ≥ ∀ ∈ ℝ
do đó hàm số luôn đồng
biến trên
ℝ
và không đạt cực trị.
 Giới hạn:


2−

1−
0 1
y

9
2
−
1−
1
2
−
0
7
2

 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm
1
2
( 1; )I − −

Câu b: Tiếp tuyến của
( )C
song song với đường thẳng
3
2
: y x∆ =


⇔ + = ⇔

= −



 Với
0
0x =
thì
0
(0) 0y y= =
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
0 ( 0)y x y x− = − ⇔ =
(trùng với
∆
)
x
−∞

1−

+∞

y


Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )C và
3
2
2y x= +
là nghiệm
phương trình
3 2
3 3
2
x x x+ +
=
3 2
3
2 3 3 3 4
2
x x x x x+ ⇔ + + = +
3 2 2
1
3 4 0 ( 1)( 4 4) 0
2
x
x x x x x
x

=

⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔


( )C
của hàm số:
4 2
2 3y x x
= − −

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )C
tại điểm trên
( )C

có hoành độ x là nghiệm của phương trình
( ) 20f x
′′
=

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều
hơn hai nghiệm:
4 2
2 0x x m− + =

Bài giải
Câu a:Hàm số
4 2
2 3y x x= − −
 Tập xác định:
D
=
ℝ


–4 –4
 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch
biến trên các khoảng (–∞;–1), (0;1).
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 8 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0; 3)D −
và hai điểm cực tiểu
1 2
( 1; 4), (1; 4)T T− − −

 Bảng giá trị:
x

2−
–1 0 1
2

y
–3 –4 –3 –4 –3
 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng
qua trục tung như hình vẽ
Câu b:Ta có,
2 2 2
12 4 20 12 24 2 2y x x x x
′′
= − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

 Đáp số:

Bài 5
:a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số:
4 2
4 3y x x= − + −

b) Dùng đồ thị
( )C
biện luận số nghiệm pt sau:
4 2
4 0x x m− + =

Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: HS tự giải để có được đồ thị:
Câu b: Biến đổi phương trình ta được:

4 2 4 2
4 0 4 3 3x x m x x m− + = ⇔ − + − = −

 Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho
m m – 3
Số giao
điểm
của
( )C

và d
Số nghiệm
của