Trường THPT Quế Võ 3 Bài tập khảo sát hàm số
Các bài toán liên quan đến khảo sát
hàm số
I.Hàm Bậc Ba
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
3 2 0x x m− + − =
c. Chứng minh rằng đồ thị (C) có một tâm đối xứng.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
2 3 5y x x= + −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
2 3 4 0x x m+ − − =
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với (d):
12 2006y x= −
Bài 3: Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
1

trí tương đối của (d) và (C)
Bài 7. Cho hàm số
3 2
3 1y x x= − −
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
3 2 5 0x x m− − + =
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với (
∆
):
4 1y x= +
Bài 8: cho hàm số
3 2
4 4y x x x= − +
GV soạn: Đặng Mạnh Hùng Tổ Toán
1
Trường THPT Quế Võ 3 Bài tập khảo sát hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(0;6)
c. Gọi (
k
d
) là đường thẳng qua gốc tọa độ O có hệ số góc k. Định k để đường thẳng (
k
d
)
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Bài 9: Cho hàm số
3 2

d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C
1
) đi qua A(0;7).
Bài 11.Cho hàm số y = f(x) = x(3 –x)
2
có đồ thò (C)
1. Khảo sát hàm số .
2. Một đường thẳng (d) đi qua O có hệ số góc m . Với giá trò nào của m thì (d) cắt (C)
tại ba điểm phân biệt O;A;B .
Bài 12 Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
có đồ thò (C) .
1. Khảo sát hàm số .
2. Gọi A là điểm thuộc (C) cã hoµnh ®é lµ nghiƯm cđa pt y’’=0 , B là điểm thuộc (C)
có hoành độ x = 3 . Viết các phương trinh tiếp tuyến của (C) tại A và B . Tìm toạ độ
giao điểm của hai tiếp tuyến này .
Bài 9 :
Cho hàm số y = x
3
–mx + m+ 2 có đồ thò (C
m
) .
1.Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 3 .
2.Dùng (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình : x
3
– 3x –k + 1 = 0 .
3.Gọi (d) là đường thẳng qua A(-2;3) có hệ số góc k . Với giá trò nào của k thì (d) cắt
(C) tại ba điểm phân biệt .

- mx +m –4 .
1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C
3
) khi m = 3 .
2. Một đường thẳng (D) đi qua điểm uốn của (C
3
) và có hệ số góc k . Với giá trò nàò
của k thì (D) cắt (C
3
) tại 3 điểm phân biệt .
GV soạn: Đặng Mạnh Hùng Tổ Tốn
2
Trường THPT Quế Võ 3 Bài tập khảo sát hàm số
3. Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của (C
m
) tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc nhỏ nhất .
Bài 12: Cho hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 9x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số .
2. Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn .
3. Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x
3
–6x
2
+9x –m =0
Bài 13 : Cho hàm số y = x

.
1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi a = 1 ;b = 2 .
2 . Các số a ,b thoả điều kiện gì để hàm số có cực đại ,cực tiểu .
Bài 17 : Cho hàm số y = x
3
- 3mx
2
+2(m
2
– 1 )x – m
2
– 1 .
1.Chứng minh rằng với mọi m tiếp tuyến với đồ thò tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
trong các tiếp tuyến với đồ thò .
2.Tìm m để :
a/ Hàm số không có cực trò.
b/ Hàm số đạt cực đại tại x = 2 .
3.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m =-1 .
Bài 18 : Cho hàm số y = x
3
–mx
2
+ (m+2)x +2m .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số ứng với m = -2 .
2.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn.
3. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .
Bài 19: Cho hàm số y = 2x
3
+3(m – 1 )x
2

+3mx +2 (m là tham số )
1.Khảo sát và vẽ đồ thi (C) của hàm số khi m = 0 .
2.Viết phương trình tuếp tuyến của (C) tại điểm điểm M thuộc (C) có hoành độ x
M
= 1 .
3.Đònh m để hàm số có cực trò .
Bài 22 :Cho hàm số y = 2x
3
– 3x
2
có đồ thò (C) .
1.Khảo sát hàm số .
2.Một đường thẳng (D) qua O có hệ số góc m . tuỳ theo m hãy xác đònh giao điểm của
(D) và (C) .
Bài 23 Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 . Có đồ thò (C
m
)
1.Khảo sát hàm số với m = 3 ,đồ thò (C) .
2.Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y = -x +1 tại ba điểm phân biệt E(0;1) ;F;G sao cho
tiếp tuyến tại F và G vuông góc với nhau .
Bài24 .Cho hàm số
y = 2x
3
– 3( 2a + 1 )x

9
4
) .
Bài 26 : Cho hàm số y = f(x) = x
3
- 4x
2
+ 4x , có đồ thò (C) .
1. Khảo sát hàm số.
2. Tìm toạ độ giao điểm của (C) và đường thẳng (D) : y = 3x – 6
3. Tiếp tuyến của (C) tại O cắt (C) tại A . Tìm toạ độ điểm A .
4. Biện luận theo k vò trí tương đối của (C) và đường thằnh y =kx .
5. Tìm m để phương trình
x
3
- 4x
2
+ 4x – m = 0 có ba nghiệm phân biệt .
6. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm B(3;3) .
7. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng (d
1
):
y = 7x .
8. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d
2
) :
y = x .
GV soạn: Đặng Mạnh Hùng Tổ Tốn
4
Trường THPT Quế Võ 3 Bài tập khảo sát hàm số

3.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0;6) .
Bài 30: Cho hàm số y = x
3
– mx
2
+ 1 .
1.Khảo sát hàm số khi m = -3 .
2.Đònh m để hàm số có cực trò .
3.Gọi (C) là đồ thụ ở câu 1 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm nằm
trên (C) có hoành đọ bằng
3
Bài 31 Cho h/số y = 2x
3
+ 3(m –1 )x
2
+ 6(m-1)x –1 . (1)
1. Khảo sát hàm số
2. Viết phương trìmh tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0;-1) .
3. Đònh m để hàm số có cực đại và cực tiểu .
Bài 32: Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
+3mx +3m –4 có đồ thò (C
m
) .
1. Khảo sát hàm số khi m = 0 ,gọi (C) là đồ thò .
2. Viết phương trìmh tiếp tuyến của (C) đi qua A(-1;-4) .
3. Tìm m để :
a / Hàm số có cực trò .

4
A
Bài 3: Cho hàm số
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn
c. Tìm tiếp tuyến của (C) đi qua
3
(0; )
2
A
Bài 4: Cho hàm số
( )
4 2 2
( 9) 10 1y mx m x= + − +
(m tham số)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
b. Tìm m để hàm số (1) có ba cực trị
Bài 5:Cho hàm số
4
2
9
2
4 4
x
y x= − −

(C) tại hai điểm phân biệt P,Q khác M .
Bài 8.Cho hàm số y = - x
4
+ 2x
2
+3 có đồ thò (C)
1.Khảo sát hàm số .
2.Dựa vào (C) ,hãy xác đònh các các giá trò m để phương trình x
4
- 2x
2
+ m =0 có 4
nghiệm phân biệt .
Bài 9 : Cho hàm số y= -x
4
+2(m + 1 )x
2
–2m – 1
1.Khảo sát hàm số khi m=0 . Gọi (C) là đồ thò .
2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn 3.Tìm m để hàm số có ba cực trò .
Bài 10 Cho hàm số y = (x +1)
2
(x-1)
2
có đồ thò (C) .
1 . Khảo sát hàm số .
2 . Biện luận theo m số nghiệmcủa phương trình (x
2
– 1)
2

x
y
x
+
=
+
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là những số nguyên
c. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua giao điểm hai đường thẳng
tiệm cận của (C)
Bài 3: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Chứng minh đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(0;-1)
Bài 4: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x

y
x
−
=
+
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng
c. Gọi I là tâm đối xứng của (C) . Tìm M thuộc (C) sao cho IM nhỏ nhất
Bài 7: Cho hàm số
3( 1)
2
x
y
x
+
=
−
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số \
b. Tìm tất cả các điểm trên (C ) có tọa độ là các số nguyên
c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ gốc tọa độ
Baøi 8 Cho haøm soá y =
4
42
−
−
x
x
coù ñoà thò (C) ,
GV soạn: Đặng Mạnh Hùng Tổ Toán
7

A .
Bài 11 Cho hàm số y =
2
2
−
+
x
x
có đồ thò (C) .
1. Khảo sát hàm số .
2. Tìm những điểm nguyên trên (C) .
3. Chứng minh rằng với mọi b đường thẳng (D) : y = x +b luôn cắt (C) tại hai điểm .
Bài 12 :Cho hàm số y =
12
2
−
+
x
x
có đồ thò (C) .
1. Khảo sát hàm số .
2. Tìm những điểm trên (C) có toạ độ là những số nguyên .
Bài13 : Cho hàm số y=
1
1
−
+
x
x
1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (H) của hàm số .

32
có đồ thò (C) .
1. Khảo sát hàm số .
2. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điẻm A(0;-5) có hệ số góc k . Biện luận theo k số
giao điểm của (C) và (d) . Suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A .
GV soạn: Đặng Mạnh Hùng Tổ Tốn
8
Trường THPT Quế Võ 3 Bài tập khảo sát hàm số
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ B(3;-7) và từ E(2;-2) .
4. Dùng (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x
x
−
−
3
32
= m
Bài 17 :Cho hàm số y = f(x) =
1
12
−
+
x
x
có đồ thò (C) .
1. Khảo sát hàm số .
2. Tìm trên (C) những điểm có toạ độ nguyên.
3. Viết phương trình đường thẳng (d) điu qua A(-2;2) có hệ số góc k . Biện luận theo k
số giao điểm của (C) và (d) . suy ra phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A .
Bài 18 : Cho hàm số y =

1 1
a b a b
a b a b
+ +
≤
+ + + +
c) T×m ®iĨm M trªn (C) c¸ch ®Ịu hai tiƯm cËn.
d) T×m ®iĨm N trªn (C) sao cho kho¶ng c¸ch tõ N ®Õn ®êng th¼ng
: 3 4 0x y∆ + =
b»ng 1.
Bµi21 Cho hµm sè
1
1
x
y
x
+
=
−
cã ®å thÞ (C).
a) KS vµ vÏ ®å thÞ (C)
b) CMR víi mäi m ®êng th¼ng
: 2d y x m= +
lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt M vµ N.
T×m m ®Ĩ: - ®é dµi MN nhá nhÊt
- C¸c tiÕp tun víi (C) t¹i M vµ N song song víi nhau.
c) T×m ®iĨm A trªn (C) sao cho kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn giao hai tiƯm cËn lµ nhá nhÊt.
Bµi 22 Cho hµm sè
2 1
1

.
Bài 24 a) KH và vẽ đồ thị (C):
2
2
x
y
x
+
=

b) Tìm m để phơng trình
cos 2
cos 2
x
m
x
+
=

có đúng hai nghiệm trong
( ; )
2 2


c) Tìm điểm M trên (C) cách đều hai trục toạ độ.
d) Viết phơng trình các tiếp tuyến với (C) qua A(-6;5).
Bài 25 Cho hàm số
2
(3 1)m x m m
y