1

ĐƯỜNG ELIP
I. CÁC DẠNG ELIP VÀ ĐẶC ĐIỂM
Trục
lớn
Hình dạng Elip
Phương trình và các yếu tố trong Elip
O
x

(
a
>
b
)

2
2
2 2 2
2 2
1;
y
x
a b c
a b
+ = = +
;
c
e

MF a ex
= +


= −

; Đường chuẩn
2
a a
x
c e
=± =±

O
y

(
a
<
b
)

2
2
2 2 2
2 2
1;
y
x
b a c

B
2
= 2b.
1
2
MF b ey
MF b ey
= +


= −

; Đg chuẩn
2
b b
y
c e
=± =±

A
1
A
2
B
2
B
1
F
1
F

Bài 1.

Viết phương trình elip (E) biết 2 tiêu điểm F
1
(
−
8; 0); F
2
(8; 0) và e
=
4/5
Bài 2.

Viết phương trình elip (E) biết 2 tiêu điểm F
1
(0;
−
4); F
2
(0; 4) và e
=
4/5
Bài 3.

Viết phương trình elip (E) biết 2 tiêu điểm F
1
(
−
6; 0); F
2

2
(7; 0) và đi qua M(
−
2; 12)
Bài 6.

Viết PT elip (E) biết 4 đỉnh là: A
1
(
−
6; 0), A
2
(6; 0), B
1
(0;
−
3), B
2
(0; 3)
Bài 7.

Viết phương trình của elip (E) biết 2 đỉnh của (E) là: (
−
4; 0),
( )
0; 15

Bài 8.

Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tiêu điểm nằm trên trục O

e 1 2=
và khoảng cách 2 đường chuẩn là
8 2
.
Bài 12.

Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết tiêu điểm nằm trên O
x
,
( )
( )
M 5;2 E− ∈
và khoảng cách 2 đường chuẩn là 10.
Bài 13.

Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua M
1
(2; 1),
( )
2
M 5;1 2

Bài 14.

Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua
( )
( )
1 2
M 3 3;2 , M 3;2 3


∈
O
x
dưới góc
2
π

Bài 17.

Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua
4 2
1
M ;
3 2
 
 
 

và M nhìn F
1
F
2
∈
O
x
dưới góc
3
π

Bài 18.

π

III. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.

( )
2
2
: 1
2 8
y
x
E
+ =
. Tìm điểm M
∈
(E) thoả mãn:
1.
Có tọa độ nguyên.

2.
Có tổng 2 tọa độ đạt:
a.
Giá trị lớn nhất.
b.
Giá trị nhỏ nhất.
Giải
1.
Điểm (
x

y
0
)
∈
(E) với
x
0
,
y
0

≥
0
Ta có:
( )
2 2
0
0 0
2
0 0
0 0
0
0 0
0
0, 2 2
1 2 0 2
2 8
1
1, 2
x

2.
Điểm M(
x
,
y
)
∈
(E)
⇔

2
2
1
2 8
y
x
+ =
. Theo bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có:
Suy ra
( )
( )
2
2
2
2 8 10 10 10
2 8
y
x
x y x y
 


⇒

1 2
10 4 10 10 4 10
; ; ;
5 5 5 5
M M
   
− −
   
   

Bài 2.
Cho (E):
2
2
1
9 5
y
x
+ =
. Tìm điểm M
∈
(E) thoả mãn:
a.
Bán kính qua tiêu điểm này bằng 2 lần bán kính qua tiêu kia ứng với M
∈
(E)
b.

9 3
2
4
5
a
a a
c
c a b
b

=

= =

  
⇒ ⇒
  
=
= − =

=






⇒

( ) ( )


( )
2
2
1 2 1 2 1
3 .F F MF MF MF MF⇔ = + −

( ) ( )
2 2
1 2
2 2 3 .c a MF MF⇔ = −

(
)
(
)
2 2
2 2
1 2
4 4 20 25
2 2 21
. 3 3
3 3 3 3 4 12
a c
MF MF x x x y
−
⇔ = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ =

5 3 5 3 5 3 5 3
21 21 21 21


(
)
(
)
2 2
2
1 2
4 4 9
2 2
. 3 3 10
2 3 3 4
a c
MF MF x x x
−
⇔ = ⇔ + − = ⇔ = −
(vô nghiệm)
Bài 3.
Cho (E):
( )
2
2
2 2
1 0
y
x
a b
a b
+ = > >
. Tiêu điểm

1
y
x
a b
+ =
. Ta có:
1
c
F M a x
a
= +
và
a x a− ≤ ≤

⇒

c
c x c
a
− ≤ ≤

⇔

1
a c F M a c− ≤ ≤ +

a.
Xét
1
F M a c x a= − ⇔ = −

2
2 2
1 0
y
x
a b
a b
+ = > >
. TÌm tọa độ M
∈
(E) sao cho tiếp tuyến
của (E) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Giải
M(
x
0
,
y
0
)
∈
(E)
⇔

2 2
0 0
2 2
1
x y
a b


(
)
(
)
1 2
1 2
2 2
3
3 2 3
2
3 3
2
2 3
2 2
3 2 3
2
3 3
x x
x
F M F M
F M F M
x
x x


+ = −
=
= 


2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
.
2 2 2 2
A B
b a b a
S O A OB y x ab
y x y x
= = = =
. Ta có:
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0
1 1 1
2 2 2
y x x y
ab
S ab
b a
y x
a b
b a
 
≤ + = ⇒ = ⋅ ≥
 
 
. Dấu bằng xảy ra
⇔

2 2
1 0
y
x
a b
a b
+ = > >
.
a.

CMR
:
b

≤

OM

≤

a

∀
M
∈
(E)

b.
Tìm 2 điểm A, B thuộc (E) thoả mãn OA
⊥

⇒

2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
y y y
x x x
a a a b b b
+ ≤ + ≤ +

2 2 2 2
2 2
1
x y x y
a b
+ +
⇔ ≤ ≤

⇔

2 2 2 2
b x y a≤ + ≤
mà
2 2
OM x y= +

⇒

b


a b b a k
+ = ⇔ =
+

⇒

( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
1
1
A A A
k a b
OA x y k x
b a k
+
= + = + =
+
.
Do OA
⊥
OB
⇒
Hệ số góc của (OB) là
1
k
−
. Tương tự ta suy ra:

2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
1 1
.
2 2
OAB
k a b
S OAOB
a b k b a k
+
= = ⋅
+ +

Ta có:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
2 2
a b k b a k k a b
a b k b a k
+ + + + +
+ + ≤ =

2 2
2 2
OAB
a b

a b
=
+

Vậy
2 2 2 2 2 2 2 2
; ; ;
ab ab ab ab
A B
a b a b a b a b
   
−
   
+ + + +
   

hoặc
2 2 2 2 2 2 2 2
; ; ;
ab ab ab ab
A B
a b a b a b a b
   
− − −
   
+ + + +
   




sao cho B, C đối xứng qua O
x

đồng thời thoả mãn
∆
ABC đều.
Giải
Không mất tính tổng quát giả sử B(
x
0
,
y
0
) và C(
x
0
,
−
y
0
) với
y
0
> 0.
Ta có:
2 2
2 2
0 0
0 0
1 3 9


∆
ABC cân tại A
4
www.hsmath.net
www.hsmath.net
suy ra
∆
ABC đều
⇔

( )
( )
3
,
2
d A BC BC=

⇔

( )
2
2
0 0 0 0
3 3 3 3x y y x− = ⇔ = −

⇒

( )
2

y
x
a b
+ =
(
a
>
b
> 0). Chứng minh rằng:
Tích các khoảng cách từ F
1
, F
2

đến 1 tiếp tuyến bất kì không đổi.
Giải
Gọi F
1
(
−
c
; 0), F
2
(
c
; 0). Tiếp tuyến tại điểm M(
x
0
,
y

4 2 4 2 4 2 4 2
0 0
0 0 0 0
b x c a b b x c a b b x c a
b x a a y
b x a y b x a y
− − − −
⋅ =
+
+ +

M
∈
(E)
⇒

2 2 2 2 2 2
0 0
b x a y a b+ =
, suy ra:
T
=

( )
( ) ( )
4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4
0 0 0
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
0 0 0 0

a.
CMR
: A
1
M.A
2
N
=
const.
b.
Xác định (
t
) để
2
F MN
S
nhỏ nhất

c.
Gọi
1 n
I A N A M≡ ∩
. Tìm quĩ tích I.
d.

CMR
:
1 1 2 2
;
F M F N F M F N⊥ ⊥

b
y
y
a
 
= −
 
 
với
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
+ =

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 0
0 0
; 1 ; ; 1
x x
b b
t x a M a t x a N a
y a y a
   
   
= − = − + = = −
   


b.

( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 2 2
S F MN S A MNA S A MF S A NF= − −

( )
1 2 1 1 2 2 2 2
1 1
. .
2 2
A M A N a A M A F A N A F= + − −

( )
1 2 1 2
2 2
a c a c
A M A N a A M A N
+ −
= + − −

( ) ( )
2
1 2 1 2
2 2
a c a c
A M A N a c A M a c A N b
− +
= + ≥ − + =