TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số:01
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút.
Bài 1: Cho hàm số:

3 2 2
1 5
3 2
2 4
z x x xy y x y
= − + − + −
1. Tìm cực trị của hàm.
2. Tại N(0,-1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra
khỏi N theo hướng lập với trục Ox một góc
0
120
.
3. Tại điểm N đó tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất.
Biểu diên trên hình vẽ.
Bài 2: Trong không gian Oxyz tìm trọng tâm của tam giác phẳng đồng
chất ABC với các đỉnh có toạ độ A(2,0,0) , B(0,3,0), C(0,-1,3).
Bài 3: Tính
ABCDA
dx dy
I
x y
+
=

2
-2
x
N
Bài 1:
, 2
,
3 6 2 0
5
5
4
0
4
x
y
z x x y
y x
z x y

= − + + =

⇔ = −

= − − =


Thay vào ta được
2 2
5 3
3 6 2 0 3 5 0


2
3 1
( , )
2 4
M

1
1 13
( , )
6 12
M
−

,,
6 6
xx
z x r
= − =
3 -5
,,
1
xy
z s
= =
1 1
,,
1
yy
z t

z
c c
l
π π
∂ −
= − = − <
∂
Vậy hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi N theo hướng lập với trục Ox
một góc
0
120
.
3. Hướng thay đổi nhanh nhất của ham z tại N là i-
1
4
j
Bài 2:
+ Vẽ hình :
+ Phương trình mặt phẳng:
4
2
-2
B
C
A
2
9 3 9
2 3 0 0 9( 2) 6 8 0
8 4 4
1 3

1
2
181 181 181
.
8 8 2
x
D
x
m dxdy dx xdy
−
+
−
−
= = =
∫∫ ∫ ∫
+ Tính toạ độ trọng tâm:
3
3
2
2
1
0
1
2
1 1 181 1 181 1 8 2
. . . .
8 8 4 3 3
x
G
S D

3
3
2 2
2
2
1
0 0
1
2
1 1 181 9 3 9
. . ( )
8 8 4 4
1 181 9 3 9 2 181 3
. ( ) . . ( 2) 1
8 8 4 4 8 2
181
G
S D
x
x
z zds x y dxdy
m m
dx x y dy x dx
m
−
+
−
= = − − +
= − − + = − + =
∫∫ ∫∫

−
+
= = = −
+
∫ ∫ ∫
Cạnh CD có phương trình y + x = -1 nên dx + dy = d(x + y) = 0. Do đ ó

0
CD
dx dy
x y
+
=
+
∫
Cạnh DA có phương trình y – x = -1 hay y = x – 1,
0 1x
≤ ≤
nên dx = dy và
1 1x y x x
+ = + − =
. Do đó :

1
0
2 2 2
DA DA
dx dy
dx dx
x y

+ Ta có :
,, , , 2 ,
3 3
x x x
z y z e z y e z e
−
= − − − = − − + − −

, 2 ,
( 3 ) 3
x x x
z z z e e z e
−
= − + − − − − − −

, 2 , 2
4 4 4 4 2
x x x x x
z z e e e z z e e
− −
= − − − − − = − − − −

,, , 2
4 4 2
x x
z z z e e
−
⇔ + + = − −
+ Phương trình thuần nhất:
,, ,

x x x x
x x x x x x x x x
C e C xe C e C xe
C e C xe e e C e C e xe e e
− − − −
− − − − − − −
 
+ = + =
 
⇔
 
+ = − − − + − = − −
 
 
Lấy phương trình nhân 2 rồi cộng với phương trình 2 ta được
' 2 2 ' 3 3 *
2 2 2 2
2 1 2 ( 1 2 )
x x x x x
C e e e C e C e dx C
− −
= − − ⇔ = − − ⇔ = − − +
∫
3 *
2 2
2
3
x
C x e C
⇔ = − − +

x x x
x
z xe e C e x e C xe
x e e C C x e
− −
− −
= + − + + − − +
−
= − + +
Thay vào
,
3
x
y z z e
= − −
ta được :
2 * * * 2
1 2 2
5 5
( 5 5 )
2 9
x x
y x x C C x C e e
−
= − + − − + −
+ Tìm
*
1
C
,

( )
2 9 9 9
x x x
z x e e x e
− −
−
= − + +
2 2
2 2
5 10 75 15 5
( )
2 9 9 9 9
86 5 5 5
( )
9 2 9 9
x x
x x
y x x x e e
x x e e
−
−
= − + − − + −
−
= + + −
Bài 1
(2đ)
, 2
,
3 6 2 0
5

hàm số đạt cực đại tại.
1
1 13
( , )
6 12
M
−
Hàm số không đạt cực trị tại
2
3 1
( , )
2 4
M
Tại N(0,-1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra
khỏi N theo hướng lập với trục Ox một góc
0
120
.
Hướng thay đổi nhanh nhất của ham z tại N là i-
1
4
j
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 2:
(2.5đ)
Vẽ hình 0.25
Lập phương trình mặt phẳng

y yds ydxdy
m m
= = =
∫∫ ∫∫
0.5
2
2
0
1 1 181 9 3 9
. . ( )
8 8 4 4
181 3
. ( 2) 1
8 2
G
S D
z zds x y dxdy
m m
x dx
= = − − +
= − + =
∫∫ ∫∫
∫
0.5
Bài 3:
(2.5đ)
Vẽ hình
Cạnh AB có
0
AB

+
∫
0.5
1
0
2 2 2
DA DA
dx d y
dx dx
x y
+
= = =
+
∫ ∫ ∫
0.5
Bài 4:
(3.0 đ)
Khử
,, , 2
4 4 2
x x
z z z e e
−
⇔ + + = − −
0.5
Phương trình thuần nhất:
,, ,
4 4 0z z z
+ + =
Phương trình đặc trưng

0.25
' ' 3 3
1 2
2
3 3 *
1 1
. ( 1 2 ) 2
2 2
2 3 9
x x
x x
C C x x e x xe
x
C xe e C
= − = − − − = +
⇔ = + − +
0.25
0.25
2 2 * * 2
1 2
1 2
( )
2 9
x x x
z x e e C C x e
− −
−
= − + +
2 * * * 2
1 2 2

 
 
0.25
0.25