Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Ứng dụng hàm số trong giải toán
Bài toán 1:
Tìm m để bất phương trình:
mxxxx ≥++++ )64)(3)(1(
2
thoả mãn với mọi
Rx ∈
Hướng dẫn:
Đặt
34
2
++= xxt
2042' −=⇔=+=⇒ xxt
Ta có BBT:
x -
∞
-2 +
∞
t’ - 0 +
t
+
∞
-1
+
∞
Vậy
1−≥t
với mọi
Rx ∈
.

y
+
∞
-1 -2
+
∞
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi
21
−<⇔−≥
mt

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi
2
−<⇔∈
mRx

Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
1
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Bài toán 2: Tìm điều kiện của a để :
182)2)(4(4
2
−+−≤+−− axxxx
nghiệm đúng với mọi
]4,2[−∈x
Hướng dẫn:
* TXĐ:
]4,2[−∈x
.
Đặt

30
≤≤
u
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
auu ≤+− 104
2
Xét hàm số:
104
2
+−=
uuy
với
30
≤≤
u
Có :
2042'
=⇔=−=
uuy
BBT
x
-∞
0 2 3
+∞
u’ - 0 +
u
10
6
7
Vậy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi

1
52
1
12
1
12
1
' ∈∀>
−
+
−
+
−
+
+
= x
xxxx
y
Do đó hàm số đồng biến trên đoạn [1,5] và:
1522)1( −−=y
;
362)5( −+=y
Ta có BBT sau:
x
-∞
1 5
+∞
y’ +
y


2
3
0
)6)(3(2
36
62
1
32
1
' =⇔=
−+
+−−
=
−
−
+
= x
xx
xx
xx
t
x
-∞
-3 3/2 6
+∞
t’ + 0 -
t
3
23
3

có:
1022' =⇔=+−= tty
BBT:
t
-∞
1 3
23
+∞
y’ 0 -
y
6
926 −
Vậy phương trình có nghiệm khi:
3
2
926
62926 ≤≤
−
⇔≤≤− mm
Bài toán 5: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
1
3
1
2
2
++=





2
++=−⇔ mmxx
Đặt:
)1(log
2
3
1
++= mmM
Mxx =−⇔ 2
2
Xét
xxy 2
2
−=
Ta có bảng biến thiên sau:
x 0 1 2
xxy 2
2
−=
xx 2
2
−
-(
xx 2
2
−
)
xx 2
2
−

1
2
+=+ xmmx
Hướng dẫn:
TXĐ: R
⇔

)11(
2
−+= xmx
⇔

22
)11( mxxx =++
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
5
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
⇔



=++
=
mxx
x
11
0
2
Vậy phương trình luôn có nghiệm x=0.
Với

≠∀>
+
−
=
+
+−
=⇒ x
xxxx
xx
y
Vậy hàm số nghịch biến với mọi
0≠x
.
Và:
1
11
limlim;1
11
limlim
22
+=
++
=−=
++
=
+∞→
+∞→
−∞→
−∞→
x

x
x
11
limlim;
11
limlim
2
0
0
2
0
0
Ta có BBT sau:
x -
∞
0 +
∞
y’ - -
y
-1
-
∞
+
∞
+1
Kết luận: Với
11 ≥∨−≤ mm
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Với
11 <<− m

.
* Với
0≠y
, ta đặt
t
y
x
=
. Khi đó hệ trở thành





−+=++
=−+
)12(1
1
12
22
2
2
ttmtt
y
tt
(II)
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
6
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
Vậy để hệ phương trình (I) có nghiệm (x,y) khi và chỉ khi hệ phương trình

++
=⇔
tt
tt
m
có nghiệm
),
2
1
()1,( +∞∪−−∞∈t
.
Xét hàm số:
12
1
)(
2
2
−+
++
=
tt
tt
tf
trên
),
2
1
()1,( +∞∪−−∞
Ta có:
22

1
+∞
f’(t) - 0 + + 0 - -
f(t)
2
1
71128
7514
+
+
+∞
+∞
2
1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ
khi:
71128
7514
+
+
≥m
Bài toán 8: Tìm điều kiện của a để hệ phương trình



=+
=+
)2(
)1(
22

)( xxxf +−=
Ta có:




=
=
⇔=+−=
3
2
0
023)('
2
x
x
xxxf
BBT:
x
-∞
0
3
2
+∞
f’(x) - 0 + 0 -
f(x)
+∞
0
27
4

−
=⇔=++
x
x
yyxxy
vì
1−≠x
Thay vào phương trình (1) ta có:
2
234
)1( +
++
=
x
xxx
a
Xét hàm số
2
234
)1(
)(
+
++
=
x
xxx
xg
với
1−≠x
Ta có:

x
-∞
-2 -1 0
+∞
g’(x) - 0 + - 0 +
g(x)
+∞
12
+∞ +∞ +∞
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
8
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
0
Vậy: - Với a<0 Hệ phương trình vô nghiệm.
- Với a=0 Hệ có 1 cặp nghiệm.
- Với
)12.0(∈a
Hệ có 2 cặp nghiệm.
- Với a=12 Hệ có 3 cặp nghiệm.
- Với
),12( +∞∈a
Hệ có 4 cặp nghiệm.
Kết luận: Vậy với m<0 Hệ phương trình đã cho có 1 cặp nghiệm duy nhất.
Bài toán 9:
1/. Tìm miền giá trị của hàm số:
x
x
y
4cos3
4cos

+
=
6
0
0
)3(
6
'
2
2
x
x
t
tt
y
Vậy ta có BBT sau:
t
-∞
-1 0 1
6 +∞
y’ - 0 +
y

2
1
0
4
1
Vậy miền giá trị của hàm số đã cho là:
2

4cos3
4cos
0
2
2
≥⇔≤
+
≤ m
x
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nếu:
2
2
≥m
Bài toán 10: Tìm điều kiện để phương trình:
tgxxmx += 1.cos.2cos
2
có
nghiệm






∈
3
;0
π
x

=
+
−





=+−






∉+−=⇔−=⇔=+
⇔
+=+−⇔
(*)1)1(
3
;0
4
101
1.)1)(1(
mtgxtgx
kxtgxtgx
tgxmtgxtgx
π
π
π




−=






+∈
⇒+=
1
31;1
1
2
ttgx
t
tgxt
Khi đó ta có: m=(2-t
2
).t=-t
3
+2t
Xét hàm số y=-t
3
+2t trên đoạn




Bài 11: Cho tam giác ABC có góc
CBA ≥≥
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
Asin
sin2Csin2BP
++=
Giải: Ta có:
Asin
sin2Csin2BP
++=
A
A
CB
A
CB
A
CBCB
sin
4
sin2
)1)(cos(;
sin
4
)sin(2
sin
4
)cos().sin(2
+≤
≤−++≤







∈ 1;
2
3
x
Ta có:
2
2
2
424
2'
x
x
x
y
−
=−=
Vây y'=0




−=
=
⇔=−⇔

2
3
;
3
11
xy
3
11
≤≤⇒ yP
Kết luận:
3
11
=MaxP
khi và chỉ khi:













=
=
=

trình và hệ phương trình Đại số.
Do đó qua bài viết này tôi muốn nhấn mạnh những ưu điểm của việc sử dụng BBT
của hàm số trong việc giải toán phổ thông. Tuy nhiên trong bài viết này có nhiều
vấn đề tôi chưa đề cập đến và cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Mong bạn
đọc thông cảm và bổ sung ý kiến để đề tai hoàn thiện và có tác dụng tốt hơn nữa.
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
12
Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT
D/. Một số bài toán tương tự:
1/. Tìm điều kiện của m để phương trình:
mxxxx =−+++−++ 3131
44
có
nghiệm duy nhất.
2/. Tuỳ thuộc vào m biện luận số nghiệm của hệ phương trình:





=+−
=+−
mxyx
myxy
2)(
2)(
2
2
3/. Biện luận số nghiệm của phương trình:
13

2
1
1)cos(sin =






++++++
xx
gxtgxxxm
có nghiệm
)
2
;0(
π
∈x
Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình
13