PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ LIÊN TIẾP
Chúng ta đã thấy việc giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc 2 là hết sức đơn
giản. Đến phương trình bậc 3 thì nghiệm đã phức tạp hơn. Với phương trình bậc 4 ta vẫn
có công thức giải nhưng hết sức phức tạp. Phương trình bậc 5 và cao hơn như ta đã biết
không có phương pháp đại số để giải. Tuy nhiên vẫn có 1 phương pháp hữu ích trong việc
tính nghiệm gần đúng của nhiều loại phương trình, đó là phương pháp xấp xỉ liên tiếp
(phương pháp lặp).
* Thành phần cơ bản
Giả sử giải phương trình f(x) = 0 (1)
Ta viết lại (1) dưới dạng x = g(x) (2)
Chọn 1 giá trị x
o
gần đúng nghiệm tùy ý thế vào vế phải để tính giá trị gần đúng thứ nhất x
1
= g(x
0
). Một cách tổng quát, một khi có giá trị gần đúng thứ n là x
n
thì giá trị gần đúng tiếp
theo x
n+1
được xác định theo công thức x
n+1
= g(x
n
) (3)
→ ta được dãy số x
0
, x
1
, x

+ Giả sử sau một số hữu hạn bước ta cso x
n
≈ x
n+1
với độ chính xác cho trước.
+ x
n+1
= g(x
n
) → x
n
≈ g(x
n
) với độ chính xác cho trước. Do đó có thể lấy x
n
là giá trị gần
đúng của nghiệm phương trình x = g(x).
Ví dụ 1: Giải phương trình 10x – 1 – cos x = 0 (4) với độ chính xác 0,001
Giải:
1 cos
(4)
10
x
x
+
⇔ =
(5)
Chọn x
0
= 0 vào thế vế phải của (5) có x

vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu nó làm giảm khoảng cách
giữa 2 điểm bất kỳ
1 2
, [ ; ]x x a b∈
ít nhất M lần (M > 1) hay tồn tại
(0;1)q∈
sao cho 2 điểm
bất kỳ
1 2
, [ ; ]x x a b∈
đều thỏa mãn
1 2 2 1
1
( ) ( ) ,g x g x q x x q
M
− ≤ − =
.
Dễ thấy nếu g(x) là 1 ánh xạ co trên toàn trục số thì bao giờ cũng tìm được 1 đoạn thẳng
mà qua ánh xạ g(x) lại biến hành 1 bộ phận của chính đoạn đó.
Thật vậy, lấy a bất kỳ. Đặt b = g(a)
Chọn q
1
sao cho q < q
1
< 1. Lấy
1
1
b a
R
q

, dãy số
x
0
, x
1
,…, x
n
,… trong đó
1
( )
n n
x x
ϕ
+
=
hội tụ tại nghiệm
ε
của phương trình
( )x x
ϕ
=
(
ε
là
nghiệm duy nhất trên đoạn
[ ; ]a b
của phương trình
( )x x
ϕ
=

2 2
1 2 1 2
1 2
2 1
2 2
2 2 2 2
2 1
1 2 1 2
1 1
( ) ( )
4 4
4 4 4 4
x x x x
x x
x x
x x
x x x x
ϕ ϕ
+ −
−
− = − = =
+ +
+ + + +
Có
2
4
4
x
x
+

x x
+ +
+
+ ≤ + + =
→
2 1 2 1
1
( ) ( )
8
x x x x
ϕ ϕ
− ≤ −
→
( )x
ϕ
là ánh xạ co trên toàn trục số
Lấy a = 0, b =
ϕ
(0) = 1/4, q = 1/8 ta lấy q
1
= 1/2. Khi đó,
1
1
1 2
b a
R
q
−
= =
−

Ta có x
3
= x
4
với độ chính xác 0,0001
→ phương trình (7) có nghiệm duy nhất trên
1 1
;
2 2
 
−
 
 
với độ chính xác 0,0001 là x =
0,2463. Vì
( )x
ϕ
là ánh xạ co trên toàn trục số nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất là
x = 0,2463 với độ chính xác 0,0001.
Hệ quả của định lý 1:
Định lý 2:
Giả sử
( )x
ϕ
là ánh xạ từ
[ ; ]a b
vào chính nó và thỏa mãn
'( ) 1x q
ϕ
≤ <

( )x x
ϕ
=
).
Áp dụng định lý 2 ta có thể giải phương trình sin x + cos x = 4x.
Ý tưởng:
sin cos
( )
4
x x
x
ϕ
+
=
→
cos sin 1
'( )
4 2
x x
x x
ϕ
−
= ≤ ∀ ∈ ¡
Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
1)
4 2 0
x
x − + =
2)