CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (1)
Dạng 1: bài tập sử dụng qui tắc 1,2 để tìm cực trị của hàm số
Bài 1.1: áp dụng qui tắc 1, hãy tìm các điểm cực đại , cực tiểu của các hàm sau:
1)
3 2
2 3 36 10y x x x= + − −
2)
4 2
2 3y x x= + −
3)
1
y x
x
= +
4)
4
3
3
4
x
y x= − +
5)
2
2 2
1
x x
y
x
− +
=
−

3 1y x x= + +
11)
2 1
2
x
y
x
−
=
− +
12)
2
3 2y x x= − +
13)
( 2)y x x= +
14)
y x=
15)
( 3)y x x= −
Bài 1.2: áp dụng qui tắc 2, tìm cực trị của các hàm sau:
1)
4 2
2 1y x x= − +
2)
sin 2y x x= −
3)
sinx+cosxy =
4)
5 3
2 1y x x x= − − +

3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)y x mx m x m= − + − − −Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị, cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước,…
Bài 2.1:Tìm m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1:
3 2
(2 1) ( 5) 1y x m x m x= − − − + − +
Bài 2.2: Tìm m để hàm số sau đạt cực trị khi x=-2:
3
2 2 2
( 2) (3 1)
3
x
y m m x m x m= + − + + + +
Bài 2.3: CMR với mọi m thì các hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu:
1)
3 2 2
2 1y x mx x m m= − − + − +

2)
3 2 2
( 1) 1y x x m x m= − − + + −
3)
3 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
− + + +
=

4y x x= + −
Bài 2.7: cho hàm số
3
1
( 1) 3( 2)
3 3
mx
y m x m x= − − + − +
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
b) Tìm m để hoành độ
1 2
,x x
của các điểm cực trị đó thỏa mãn:
1 2
2 1x x+ =
Bài 2.8:Tìm m để hàm số sau đạt cực đại tại x=2 :
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
Bài 2.9: Tìm a,b để hàm số
2
2
2 ax+5
x
x
y

( ) axf x bx cx d= + + +
đạt cực tiểu tại x=0,f(0)=0 và
đạt cực đại tại điểm x=1, f(1)=1 (đáp án: -2,3,0,0)
Bài 2.13: Tìm các hệ số của a,b,c sao cho hàm số
3 2
( ) axf x x bx c= + + +
đạt cực trị bằng 0 tại điểm
x=-2 và đồ thị qua điểm A(1;0) (đáp án: 3,0,-4)
Bài 2.14 Tìm a, b để hàm số
2
ax
( )
ax+b
bx ab
f x
+ +
=
đạt cực trị tại x=0 và x=4 (đáp án: -2,4)
Bài 2.15: Tìm m để hàm số sau có cực đại, cực tiểu đồng thời tích các giá trị cực đại và cực tiểu đó đạt
GTNN :
2 2
( 1) 4 2
( )
1
x m x m m
y f x
x
− + − + −
= =
−

có hai điểm cực đại và cực tiểu cùng
dấu (đáp số:
1 5 4 2 5 4 2m hoac m− < < − > +
)
Bài 2.19: Tìm m để đồ thị hàm số
2
2 2
( )
1
x mx
f x
x
+ +
=
+
có điểm cực đại và điểm cực tiểu và khoảng cách
từ hai điểm đó tới đường thẳng d: x+y+2=0 bằng nhau. ( đáp số: m=1/2)
Bài 2.20: Tìm m để đồ thị của hàm số
4 2 4
( ) 2 2y f x x mx m m= = − + +
có cực đại,cực tiểu đồng thời các
điểm cực trị đó lập thành tam giác đều. (đáp án
3
3m =
)
Bài 2.21: cho hàm số
4 2 2
( ) 2 1y f x x m x= = − +
(1) . tìm m để đồ thị của hàm (1) có 3 điểm cực trị là 3
đỉnh của một tam giác vuông cân (đáp số: m= 1 hoặc -1)

(đáp số: m<-3)
Bài 2.25: Tìm m để hàm số
3
2 2
( ) ( 3) 4( 3)
3
x
y f x m x m x m m= = + + + + + −
đạt cực trị tại
1 2 1 2
, : 1x x x x− < <
(đáp số: -7/2<m<-3)
Bài 2.26: Cho hàm số
3 2 3
( ) 2 3( 2) 6(5 1) (4 2)y f x x m x m x m= = − + + + − +
.tìm m để hàm số có:
1) đúng 1 điểm cực trị lớn hơn 1 (m<0) 2) hai điểm cực trị nhỏ hơn 2 (-1/3<m<0)
3) ít nhất 1 điểm cực trị thuộc (-1;1) (-2/3<m<0) 4) ít nhất 1 điểm cực trị lớn hơn 9 (m>16)
3 2
( ) 6 3( 2) 6y f x x x m x m= = − + + − −
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (3)
Dạng 2(tiếp)
Bài 2.27: (HVQHQT- 2011) Tìm m để hàm số
3
2
( ) 1
3
x
y f x mx x m= = − − + +
có khoảng cách giữa các

x x x x
x x
+ = +
(đáp số: m=1 hoặc m=5)
Bài 2.30: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
3
( )
2
m
y f x x x m= = − +
có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai
phía của đt: y=x
*Dạng 3: Phương trinh đường đi qua điểm cực trị của đồ thị hàm số:
Bài 3.1: Tìm cực trị và viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị của hàm số:
3 2
( ) 3 6 8y f x x x x= = − − +
Bài 3.2:(ĐH Thủy Sản-1999) Cho hàm số:
3 2 2
( ) 2 3(3 1) 12( ) 1y f x x m x m m x= = − + + + +
. Tìm m để hàm
số có cực đại và cực tiểu. viết pt đt qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đó.
Bài 3.3: (HVKT Mật Mã-1999) Cho hàm số
3 2 2
( ) 3( 1) 2( 7 2) 2 ( 2)y f x x m x m m x m m= = − + + + + − +
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. viết pt đt qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đó.
Bài 3.4: (ĐH Quốc Gia TPHCM-2000) Cho hàm số
3 2
( ) 3 (2 1) 3y f x mx mx m x m= = − + + + −
. Tìm m để

có đường thẳng
đi qua điểm cực đại và cực tiểu tạo với dt y=-1/4x+5 một góc 45.
Bài 3.11(ĐH TCKT-1999) Cho hàm số :
2 2
x mx m
y
x m
− + −
=
−
(1)
1) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2) Viết pt đường đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm đó
Bài 3.12: (ĐH Cảnh sát 2000) Cho hàm số:
2
8x mx
y
x m
+ −
=
−
1) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2) Viết pt đường đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm đó
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau:
1)
[ ]
3 2
3 9 35 ên -4;4y x x x tr= − − +
2)

x
y x x y tr
x
x
y x x tr y tr
x
x x x x
y y
x x x
x
y y x
x x
x x
y tr y x x tr
x
π π
+
= − + + =
+
− +
 
 
= − =
 
 
 
+
+ + + +
= =
− + +

2
2sin 2sin 1y x x= + −
2)
2
os 2 sinxcosx+4y c x= −
3) y=sinx với
[ ]
;x
π π
∈ −
4)
2 os2x+cosxy c= −
5)
2(sin cos ) sin 2 1y x x x= + − +
6)
[ ]
3
4
2sin sin ên 0;
3
y x x tr
π
= −
7)
sinxcosx-cosx+sinx-2 trên 0;
4
y
π
 
=

x
+
=
− +
đạt GTLN bằng 7/2 và GTNN bằng ½
2) Tìm a,b để hàm số
2
ax+b
x 1
y =
+
đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1
Bài 4: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn
2 2
2x y+ =
.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
3 3
2( ) 3P x y xy= + −
Bài 5: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn:
2 2
1x y+ =
.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P

3x y z+ + =
.
Tìm GTLN của biểu thức:
5
A xy yz zx
x y z
= + + +
+ +
Bài 10: Cho x,y,z không âm. Tìm GTLN của
1 1
1 (1 )(1 )(1 )
P
x y z x y z
= −
+ + + + + +
Bài 11: Cho x,y dương và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức
1 1
x y
T
x y
= +
− −
Bài 12: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn:
2 2
1x y+ =
.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
2
2
2( )

4 4
sin os sin cosy x c x m x x= + +
. Biện luận theo m GTLN và GTNN của hàm số.
Bài 18: Cho hàm số
2 2
( ) 4 4 2f x x ax a a= − + −
. Tìm a để
[ ]
2;0
( ) 2
min
x
f x
∈ −
=
Áp dụng GTNN và GTLN vào bài toán biện luận phương trình và bất phương trình chứa tham số
Bài 19: Tìm m để pt sau có nghiệm
2
2 2( 4) 5 10 3 0x m x m x− + + + + − =
Bài 20:Tìm m để pt sau có nghiệm:
2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
Bài 21: Tìm m để pt sau :
( )
4 4
2 sin os os4x+2sin2x+m=0 x c x c+ +
có ít nhất 1 nghiệm thuộc
0;
2
π

Bài 26:(Dự bị khối D-2004)
Cho pt:
2 2 2 3
5
( ) 4 2 0
3
x m x m+ − + + − =
. CMR: với mọi m không âm, pt luôn có nghiệm
Bài 27:a) tìm m để pt sau có nghiệm
2
2 1x x m+ + =
c) tìm m để bpt sau có nghiệm với mọi x thuộc R:
2
2 1x x m+ + >
Bài 28: Tìm m để hệ sau có nghiệm
2
2
3 2 1 0
3 1 0
x x
x mx

+ − <


+ + <


Bài 29: Tìm m để hệ sau có nghiệm
2

2)
1
1
5
y x
x
= + +
−
3)
2
3 4 1
2 1
x x
y
x
− +
=
−
4)
2
3
1
x
y
x
+
=
−
5)
3

2
x
y
x x
+
=
−
9)
2
2
1
5 2 3
x x
y
x x
+ +
=
− − +
Bài 1.2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
1)
2
1y x x= + −
2)
2
2 1 4 5 1y x x x= − + − +
3)
2
2 3 2y x x x= − − −
4)
2

( 1) ( 1) 2m x m m x m
y
x m
+ − + + + −
=
−
(1) (m-tham số)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) :
1) không có tiệm cận đứng
2) có tiệm cận ngang
3) có tiệm cận đứng
Bài 2.3: Cho hàm số:
2
( 2) (3 4 ) 2m x m x m
y
x m
+ + − −
=
−
(1) (m-tham số)
Tìm m để đồ thị hàm số (1):
1) không có tiệm cận đứng
2) có tiệm cận xiên
Bài 2.4: Cho hàm số
2
osa-3xcosa+2(cosa+sina)
x-2
x c
y =
(1) (a-tham số)

= + +
−
cắt đường tiệm cận xiên của (H) tại A, tiệm
cận đứng của (H) tại B. CMR: M là trung điểm của AB.
Bài 2.8:
Bài tập tổng hợp về khảo sát hàm số
Bài 1: Tìm k để đồ thị (C):
2
( 1)y k x= −
cắt đồ thị (C’) :
3
2 1y x x= − + +
tại 3 điểm phân biệt
Bài 2: Tìm m để (C):
3 2 2
( ) ( 1) (2 3 2) 2 (2 1)y f x x m x m m x m m= = − + − − + + −
cắt Ox tại ba điểm phân
biệt.
Bài 3 (2010A):cho hàm số
3 2
2 (1 )y x x m x m= − + − +
(1) , m là tham số thực
1) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của ham số khi m=1
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,x x x
thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <

=
−
(C)
1) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2) CMR: với mọi m đt y=x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi k1,k2 lần lượt là hệ số
góc của tiếp tuyến với (C) tại A,B. Tìm m để tổng k1+k2 đạt GTLN
Bài 7: CĐ,ĐH-2002A) cho
( )
( )
3 2 2 3 2
3 3 1 1y x mx m x m m= − + + − + −
(m =tham số)
1)khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(1) khi m=1
2) tìm k để phương trình
3 2 3 2
3 3 0x x k k− + + − =
có 3 nghiệm phân biệt
3)Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đò thị hàm số (1)
Bài 8:( CĐ,ĐH-2002B) cho hàm số
( )
( )
4 2 2
9 10 1y mx m x= + − +
(m=tham số)
1) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(1) khi m=1
2) Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị
Bài 9:( CĐ,ĐH2002 D) cho hàm số
( )
( )
2

1) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(1) khi m=2
2) Tìm m để đồ thị hàm số(1) có 2 điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ
Bài 12: (CĐ,ĐH-2004A) cho hàm số:
2
3 3
2( 1)
x x
y
x
− + −
=
−
(1)
Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm (1) tại hai điểm A,B sao cho AB=1
Bài 13: (ĐH CĐ-2004B) Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
(1) (C)
1) khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(1)
2) Viết pt tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn. CMR: d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 14: (CĐ,ĐH-2005D) Cho hàm số
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
(1) (m-tham số)

Bài 18: (CĐ,ĐH-2007B) cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= − + + − − −
(1) (m-tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm (1) khi m=1
2. Tìm m để hàm số (1) có CĐ,CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm (1) cách đều gốc tọa độ O
Bài 19: (CĐ,ĐH-2007D) cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+
(C)
1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến tại M cắt Ox, Oy tại A,B và tam giác OAB có diện
tích bằng ¼
Bài 20( CĐ,ĐH-2008A) Cho hàm số
2 2
(3 2) 2
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
(1) (m-tham số)
Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm (1) bằng 45.

x
+
=
+
. tìm m để đt cắt (C) tại hai điểm phân biệt CD sao cho CD đạt
giá trị nhỏ nhất.
Bài 24: Cho đt (d): y=2x+m và (C):
1
1
x
y
x
+
=
−
. Tìm m để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh
của (C)
Bài 25: Cho (C):
2 1
1
x
y
x
+
=
−
.
a) vẽ đồ thị (C)
b) Cho A(-2;5). Xác định (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt B,C sao cho tam giác ABC đều.
Bài 26: (ĐH 2008D) cho hàm số

(3 2) 3y x m x m= − + +
(C) (m-tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm khi m=0
2) Tìm m để đt y=-1 cắt (C) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2
Bài 30: Cho hàm số
1
2
x
y
x
− +
=
+
(H)
Tìm trên (H) các điểm A,B sao cho AB=4 và (AB) vuông góc với đt y=x
Bài 31: Cho hàm số
4 2
1
(3 1) 2( 1)
4
y x m x m= − + + +
(m-tham số)
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành tam giác có trọng tâm là O
Bài 32: Cho hàm số
2 3mx
y
x m
+
=
−

+
=
+
và (d): y=mx+(m+1)/2. Tìm m để d giao (H) tại hai điểm phân biệt A,B
sao cho
2 2
P OA OB= +
nhỏ nhất.
Phương trình mũ
1) phương trình cơ bản:
giải các phương trình sau:
1.
1 1
5 6.5 3.5 52
x x x+ −
+ − =
2.
1 2 3 1 2
3 3 3 9.5 5 5
x x x x x x+ + + + +
+ + = + +
3.
1
3 .2 72
x x+
=
4.
− + + + + +
+ = +
2 2 2

1 2 2 1
1 1
2.5 .4 .5 4
5 4
x x x x+ + + +
− − =
10.
( ) ( )
2 1 1 1
3 10 6 4.10 5 10 6
x x x x x+ + − −
− + = −
2) phương pháp biến đổi tương đương và đưa về cùng cơ số:
Giải các phương trình sau:
a)
2
4 5
3 9
x x− +
=
b)
3 2 2
2 2 1
8 4
x x x x− + + +
=
c)
2 1 1
5 7 175 35 0
x x x

=
−
x
x
x
h)
5 17
7 3
32 0,25.128
x x
x x
+ +
− −
=
i)
2 2
3 5 2 2 4
( 3) ( 6 9)
x x x x
x x x
− + + −
− = − +
k)
1 2
3
2 1
[2(2 ) ] 4
x
x x
+

3 1
1 3
( 10 3) ( 10 3)
x x
x x
− +
− +
+ = −
3) Đặt ẩn phụ :
Giải các phương trình sau:
a)
2 2
2
2 2 3.
x x x x
− + −
− =
b)
2 5 1
3 36.3 9 0
x x+ +
− + =
c)
2 2
2 2 1
3 28.3 9 0
x x x x+ + +
− + =
d)
9 6 2.4

2
2
x x
x
x−
− − + =
k)
( )
2
7
6. 0,7 7
100
x
x
x
= +
i)
2 1
1
1 1
3
3 3
x x
+
   
+
 ÷  ÷
   
l)
2 2

5 .8 500
x
x
x
−
=
7)
2 1
3 .5 .7 245
x x x− −
=
2)
2
2 3
2
3 .4 18
x
x
x
−
−
=
8)
4
2
8 4.3
x
x
x
−

+ + = + +
5)
2
4 2
2 .5 1
x x− −
=
11)
lg 2
1000
x
x x=
6)
2
2
3
2
2
x x−
=
12)
2
log ( 4)
32
x
x
+
=
13)
1

xx x+
=
18)
2 2
3 2 6 2 5
2 3 3 2
x x x x x x+ + − + −
− = −
5) phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Giải các phương trình sau:
1)