CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT
HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
I. Khảo sát hàm số: Không trình bày
II. Các bài toán liên quan:
Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Phương pháp: Giả sử biện luận số nghiệm phương trình F(x; m) = 0. Trong
đó có đồ thị (C) của hàm số f = f(x).
+ Biến đổi phương trình về dạng : f(x) = g(m). (1)
+ (1) là phương trình hoành độ giao điểm của
( )
(C)
( ) (d)
y f x
y g m

=


=


+ Số nghiệm (1) là số giao điểm của d và (C). Dựa vào đồ thị biện luận.
Câu 1: Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
3 2
2 3 1x x m+ − =
Câu 2: Cho hàm số
3 2

2 0x x m− + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Bài toán 2: Tiếp tuyến của đường cong:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C).
Dạng 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( )
0 0 0
; ( )M x y C∈
- Tính đạo hàm và tính
0
'( )f x
- Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là
k

− Giải phương trình:
( )
'f x k=
, tìm nghiệm
0 0
x y⇒
- Phương trình tiếp tuyến dạng:
( )
0 0
y k x x y= − +
.
Chú ý: Cho đường thẳng

là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
( ) ( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k
= − +



=


Chú ý: Cần phân biệt hai khái niệm đi qua một điểm và tại một điểm khi
viết phương trình tiếp tuyến.
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2y x x= −
a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C):
- Tại điểm có hoành độ
2x =
.
- Tại điểm có tung độ y = 3.
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng:
1
: 24 2009d x y− +
.
- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:

– x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và
C vuông góc với nhau.
Câu 6: Cho hàm số (C)
xxxfy 3)(
3
−==

CMR đường thẳng (d
m
) y=m(x+1) + 2 luôn cắt (C ) tại điểm A cố định
Tìm m để (d
m
) tại 3 điểm phân biệt A , B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị
tại B và C vuông góc với nhau.
Câu 7: Cho hàm số (C)
593)(
23
+−+== xxxxfy

Tìm tiếp tuyến với đồ thị ( C ) có hệ số góc nhỏ nhất .
Câu 8: Cho (C)
)1(1)(
3
+−+== xkxxfy
,
Viết phương trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy.
Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác có diện tích bằng 8.
Câu 9: Cho (C

mxm
y
+
−+
=
)13(
Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của
(Cm) với Ox song song với y= - x-5.
Câu 12: Cho đồ thị (C)
45
32
−
−
=
x
x
y
Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
vuông góc với đường thẳng (d) y= -2x.
Câu 13: Cho hàm số (C)
2
2
−
+
=
x
x
y
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua
điểm A(-6;5) đến đồ thị (C.

2x 1
y
x 1
−
=
−
.Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm
điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M vuông góc với
IM.
Câu 18: Cho hàm số
( )
3 2
y x 3mx m 1 x 1= + + + +
( m là tham số ). Tìm m để tiếp
tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng
1−
đi qua
( )
A 1;2
.
Câu 19: Cho hàm số
4 2
y x mx m 1= + − −
( m là tham số ). Tìm m để tiếp tuyến
với đồ thị tại A song song với đường thẳng
y 2x=
, với A là điểm cố định có hoành độ
dương của đồ thị
Câu 20: Cho hàm số
( )

Câu 3: Cho hàm số
2
2 3
x
y
x
+
=
+
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết tiếp tuyến đó cắt trục tung, trục hoành tại A, B sao cho tam giác OAB cân tại
O. (D – 2009)
Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
Câu 4: Cho hàm số
2
3
1
3
y x 2x 3x= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến
( )
∆
với đồ
thị tại điểm uốn, và chứng minh rằng
( )
∆
là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. (B – 2004)
Câu 5: Cho hàm số
2x
y

( ): ( )C y g x=
- Số giao điểm của
1
( )C
và
2
( )C
chính là số nghiệm của phương trình hoành
độ giao điểm f(x) = g(x). (1)
+ (1) vô nghiệm
1
( )C⇔
và
2
( )C
không có điểm chung.
+(1) có n nghiệm
1
( )C⇔
và
2
( )C
có n điểm chung
+(1) có nghiệm đơn
0
x

1
( )C⇔
cắt


⇔

=

có nghiệm.
Câu 1: Tìm m để các hàm số sau:
a.
2
( 1)( )y x x mx m= − + +
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b.
4 2
2( 1) 2 1y x m x m= − + + +
không cắt trục hoành.
c.
4 2
2 3y x x m= − − −
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Câu 2 Cho hàm số
2
( 1)( )y x x mx m= − + +
(1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số
(1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Câu 3 Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − −
(C). Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-
1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
Câu 4: Cho hàm số

y
x m
− +
= ≠
−
. Chứng minh với mọi b thì đường
thẳng
: y x b∆ = +
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Câu 10: Cho hàm số
3 2
3 4 (1)y x x= − +
. Chứng minh mọi đường thẳng đi qua
I(1; 2) với hệ số góc k (k > - 3) đều cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A, B, I
đồng thời I là trung điểm AB ( D – 2008).
Câu 11: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
2 (4 1) 4y mx m x m= − + +
tiếp xúc với trục
hoành.
Câu 12: Cho hàm số
2
(2 1)
(C )
1
m
m x m
y
x
− −

'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


>

thì hàm số đặt cực tiểu tại
0
x x=
.
Các bài toán thường gặp về cực trị
- Để y = f(x) có hai cực trị
⇔
phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
- Để y = f(x) có ba cực trị
⇔
phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt.
- Hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về hai phía trục hoành
D
. 0
C CT
y y⇔ <
.
- Hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về hai phía trục tung
D
. 0
C CT

có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau
qua đường thẳng
1 5
2 2
y x= −
.
Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán
Câu 4: Cho hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu đồng thời lập thành tam giác đều.
Câu 5: Cho hàm số
3 2 2
3 ( 2 3) 4y x mx m m x= − + + − +
. Tìm m để đồ thị hàm số có
cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung.
Câu 6: Cho hàm số
3 2
2 3( 3) 11 3y x m x m= + − + −
. Tìm m để hàm số có hai cực
trị. Gọi
1 2
,M M
là các điểm cực trị. Tìm m để
1 2
,M M
và B(0; -1) thẳng hàng.
Câu 7: Cho hàm số
3 2

Câu 12: Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= − + + − + −
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Câu 13: Cho hàm số
3 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m= − − + − − −
. Tìm m để hàm số có cực
đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ.
Câu 14: Cho hàm số
4 3 2
8 3(1 2 ) 4y x mx m x= + + + −
. Tìm m để hàm số có cực tiểu
mà không có cực đại.
Câu 15: Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1) 3y x mx m x m m= + + − + −
. Chứng minh hàm số
luôn có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định.
Bài toán 5: Bài toán về khoảng cách
Các công thức về khoảng cách:
- Khoảng cách giữa hai điểm:
( ) ( )
2 2
B A B A
AB x x y y= − + −
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
: Ax 0By C∆ + + =
và điểm

3
x
y
x
+
=
−
sao cho khoảng cách từ M đến các
tiệm cận đứng và ngang bằng nhau.
Câu 3*: Cho (C):
4 2
2 3 2 1y x x x= − + +
và đường thẳng
: 2 1d y x= −
. Tìm A trên
(C) có khoảng cách đến d nhỏ nhất.
Câu 4: Cho hàm số
2
(C)
1
x
y
x
−
=
−
. Tìm tất cả các điểm thuộc (C) cách đều
O(0;0) và B(2; 2).
Câu 5: Cho hàm số
3 2

- Điều kiện để
( )
m
C
luôn đi qua
0 0 0
( ; )M x y
với mọi m là
0 0
( ; ) (1)y f x m=
- Viết (1) dưới dạng một phương trình bậc n đối với ẩn m.
- (1) đúng khi tất cả các hệ số của m đều bằng 0. Từ đó ta tìm được
0 0
;x y
.
Câu 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong
3 2
9 9y x mx x m= + − −
Câu 2: Cho hàm số
3 2
3( 1) 3 2 (C )
m
y x m x mx= − − − +
. Chứng minh rằng
( )
m
C

luôn đi qua hai điểm cố định
Bài toán 7: Tâm đối xứng – trục đối xứng