CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:
Phương trình dạng : a.f
2
(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác, a
≠
0.
Cách giải: + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì
1t ≤
)
+ Giải phương trình at
2
+ bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.
+ Giải phương trình f(x) = t.
II. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:
Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b
≠
0
+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a
2
+ b
2

≥
c
2
.
+ Cách giải : + Chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được :

Phương trình có dạng : asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x + d = 0. (1)
Cách giải 1: (Dạng công thức hạ bậc đưa về PT bậc 1 theo sin và cosin cùng 1 cung)
(1)
⇔

1 cos2 1 cos 2
sin 2 0
2 2 2
x b x
a x c d
− +
+ + + =

sin 2 ( )cos2 (2 )b x c a x d a c⇔ + − = − + +
.
Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx), xét hai trường hợp :
+ Nếu x =
;
2
k k Z
π
π
+ ∈
có là nghiệm phương trình hay không.
+ Nếu x
;

2
2
−
=⇒+=⇒
t
xxxxt
(1)
)1.1(0220
2
1
.
2
2
=−++⇔=+
−
+⇔ bcatbtc
t
bat
.
Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn
2
0
≤t
.
Thay giá trị t
0
vô PT (*) và giải PT sin2x =
1

=⇒−=⇒
(1)
)1.2(0220
2
1
.
2
2
=−−−⇔=+
−
+⇔ bcatbtc
t
bat
.
Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn
2
0
≤t
.
Thay giá trị t
0
vô PT (**) và giải PT sin2x = 1-
2
0
t
để tìm x.
Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau
1. sinx =

3
2
−
8. cos(x+
4
π
) =
2
2
−
9. tan2x = tan(x -
3
π
)
10. tanx = 2/3 11. tan(3x – 15
0
) = -
3
12. cot4x = cot(x -
3
π
)
13. cotx = -3 14. cot(2x – 10
0
) = -
3
15. sin ( x – 2) = 1/3
16.
0
1

−
21. cos2x tan x = 0
22. sin3x cotx = 0 23. sin3x – cos 5x = 0 24. tan3x tanx = 1
25. 3cosx + 5 = 0 26.
3
cotx – 3 = 0 27. 5cosx – 2sin2x = 0
28. 8sinxcosxcos2x = -1 29. sin2x – 2cosx = 0 30. cos3x – sin2x = 0
31. sin3x + sin5x = 0 32. tanx.tan2x = -1 33. cot2x.cot3x = 1
Giải các phương trình lượng giác sau
1.
2
2sin 5sin 3 0x x+ − =
2.
2
cot 3 cot 3 2 0x x− − =
3.
2cos 2 2cos 2 0x x+ − =
4.
5tan 2cot 3 0x x− − =
5.
2
2 cos 1 0;2sin 3sin 1 0x x x− = − + =
? 6. sinx + cosx = 1
7.
3 sin cos 1x x− =
8.
2sin 3 5 cos3 3x x+ = −
9. Tìm m để phương trình
2sin 3 5 cos3x x m+ =
có nghiệm?

=
19.
1
cos1
sin2)1cos2(cos1
=
−
−+−
x
xxx
20.
2
3 2 3(1 ).cotcosx cosx x− = − −
21.
6 6 2
sin 2 1x cos x cos x+ = −
22. Tìm các nghiệm trên khoảng
( )
0;
π
của phương trình :

sin 3 cos3
7 4 cos2
2sin 2 1
x x
cosx x
x
−
 

sin 2
16
x cos x cos x+ =
27. Tìm các nghiệm trên khoảng
( )
0;2
π
của phương trình :

cos3 sin 3
5 3 cos 2
1 2sin 2
x x
sinx x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:
28.
xxxx 2cos34cos26sin32cos4
3
+=+
29.
3 1
8sinx
cosx sinx

8
sin
cosx
x cosx
= +
38.
2
sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos 2x x sin xcosx cos x x x+ − = + −
39.
4cos sin 2 2cos 2 1sinx x x x
+ − + =
40.
3
2sin cos2 0x x cosx− + =
41.
3 3
sin x cos x sinx cosx− = +
42.
( )
24sin33cossin8
66
=−+ xxx
43.
xxxx cos3sin)sin3(cos3 −=+
Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:
44. cos
2
x -
3
sin2x = 1 + sin

50. 2sin
2
x + sinxcosx – 5cos
2
x = 1 51. cos
2
x – 3sin
2
x – 4sinxcosx = 0
Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và cosin cùng một cung:
52.
( )
02cos12)sin(cos122sincossin =+−+− xxxxxx

53.






+−=−
4
sin27cos2sin3sin2sin32cos8
π
xxxxxx

54.
02cos2sinsin
23

44
−=+−
60.
02sin2coscos
23
=−++ xxx
61.
( )
( )
)cos2(8sin3sin3
2
xxx −=++
62.
0sincos)cossin1(2cos =+++ xxxxx
63.
06cos6sin3sin
23
=+−− xxx
Giải các phương trình lượng giác sau
Bài 1:Giải các phương trình sau :
a) (KA-2003)
xx
x
x
x 2sin
2
1
sin
tan1
2cos

π

Bài 2:Giải các phương trình sau :
a) (KB-2004)
xxx
2
tan)sin1(32sin5 −=−
b)(KD-2004)
xxxxx sin2sin)cossin2)(1cos2( −=+−
Bài 3:Giải các phương trình sau :
a) (KA-2005)
0cos2cos.3cos
22
=− xxx
b) (KB-2005)
02cos2sincossin1
=++++
xxxx
c) (KD-2005)
0
2
3
)
4
3sin().
4
cos(sincos
44
=−−−++
ππ

xxx sin17sin2sin2
2
=−+
c) (KD-2007)
2cos3
2
cos
2
sin
2
=+






+ x
xx
Bài 6:Giải các phương trình sau :
a) (KA-2008)






−=



3.
1 2sin x 1 sinx
−
=
+ −
b) (KB-2009) Giải phương trình
3
sin x cos xsin 2x 3cos3x 2(cos4x sin x)+ + = +
c) (KD-2009) Giải phương trình
3cos5x 2sin3x cos2x sin x 0− − =
.
Bài 8: 1. (2sinx – 1)(2sin2x + 1) = 3 – 4cos
2
x 2. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx
3. cos
3
xcos3x + sin
3
xsin3x =
2
4
4. cos
3
4x = cos3xcos
3
x + sin3xsin
3
x
5. 1 + sin
2

3x
9. sin
8
x + cos
8
x =
17
16
cos
2
2x 10. cos
4
x – cos2x + 2sin
6
x = 0
11. sin
4
x + cos
4
(
4
x
π
+
) =
1
4
12. sin
3
xcos3x + cos

10
x) +
5
4
cos2x d. cos
4
x + sin
6
x = cos2x
e.
4 4
sin cos 1
(tan cot )
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
f. cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2