Ti Liu Bi Dng HSG B
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
Câu 1 : a) Tính A =
322
1
322
1

+
++
b) So sánh :
2008 2009
2009 2008
+
và
2008 2009+
Câu 2 : a) Giải phơng trình : x
2
+ x + 12
1+x
= 36
b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y=
54
2
++ xx
Câu 3 :
a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phơng trình :
x
2
+ ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm

a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D .
b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn
nhất .
Câu 5 :
Chứng minh rằng nếu
ba +
> 2 thì phơng trình sau có nghiệm
2ax
2
+ bx +1 - a = 0
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 1
Ti Liu Bi Dng HSG B
Hớng dẫn trả lời
Câu 1 :
Giáo viên vừa hớng dẫn vừa yêu cầu học sinh làm theo giáo viên.
a) A =
3242
2
3242
2

+
++
( Nhân tử và mẫu với
2
)
=
33
2
33

+
=
=
2009 1 2008 1
2009 2009 2008 2008
+ +
=
= (
2008 2009+
)+
1 1
( )
2008 2009


Ta thấy
1 1
2008 2009
2008 2009
< >
Do đó
1 1
2008 2009

>0 ;
suy ra (
2008 2009+
)+
1 1
( )


; phơng trình trở thành :
( t
2
- 1 )t
2
+ 12t = 36
t
4
- ( t - 6 )
2
= 0 ; suy ra (t
2
- t + 6)(t
2
+ t - 6) = 0
Phơng trình t
2
- t + 6 = 0 vô nghiệm
Phơng trình t
2
+ t - 6 = 0 có nghiệm là t
1
= -3< 0 (loại)
t
2
= 2 > 0
Với t = 2 thì
1+x
=2 ; từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình là :

; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1)
Câu 3 :
a) (1đ)

= (a-b-c)
2
- 4bc = a
2
+ b
2
+c
2
- 2ab - 2ac + 2bc - 4bc
= a
2
+ b
2
+c
2
- 2ab - 2ac - 2bc =
= a
2
- a(b+c) + b
2
- b(a+c) + c
2
- c(a+b)
Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên :
0 <a<(b+c) ; suy ra a
2

zyx
tyx
; cộng vế với vế ta đợc :
2(x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
) - t
2
= 122 ;
suy ra M=
2
61
2
122
22
tt
+=
+
; do đó Min M = 61 khi t = 0
Với t = 0 từ (*) suy ra x
2
- y
2
= 21 hay (x-y)(x+y)= 21
Có 2 trờng hợp xảy ra :


=+
=
2
5
7
3
y
x
yx
yx
, thay vào (**) ta tìm đợc z=4
Vậy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0
Câu 4 :
a)
Gọi D là giao điểm của AM và BN
Q là giao điểm của MN và Cx .
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có
QM=QC=QN ;
Từ đó suy ra

MCN vuông .
Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ;
Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC .
Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D.
b)
Gọi O là trung điểm của AB , Suy ra DO=
2
AB
=a

lớn nhất bằng
2
2
a
khi DC=a ; lúc đó C

O .
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 4
Q
I
m CB = 3 cm
Distance A to C B = 0 cm
m AC = 5 cm
O
N
M
K
C
B
x
A
D
Ti Liu Bi Dng HSG B
Câu 5 :
Giả sử phơng trình vô nghiệm , ta có :


= b
2
- 8a(1-a) < 0 (1) , do đó 0 < b

D. Bài tập về nhà.
Bài 1.
Rút gọn biểu thức A =
24923013 +++
Bài 2.
Chứng minh rằng với x > 0, x

1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
1
.
11
2
+
+









+

+
++
x
xxxxx
xx

( ) ( )
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
Bài 3 :
Cho a > 2 ; b > 2 . Chứng minh rằng : ab > a + b
Bài 4 :
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau :
A =
2 1 2 1x x x x
+ − + − −
Bài 5 :
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn . Chứng minh rằng :
4 S
ABC

≤
AM.BC + BM.CA + CM.AB
*
GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 6
Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
HƯỚNG DẪN
Bài 1 :
Gi¸o viªn: C¸c em mn lµm ®ỵc bµi to¸n nµy chóng ta ph¶i vËn dơng tÝnh chÊt chia
hÕt mµ c¸c em ®· häc ë líp 6.
Hái: Em nµo lµm ®ỵc bµi nµy?
Häc sinh: Suy nghÜ lµm.
Ta có bài toán phụ sau :
; 5n n
/
∈Ζ M
Chứng minh rằng : n

n
2
– 1
M
5
Do đó : n
4
– 1
M
5
• Nếu n chia 5 dư
±
2
⇒
n
2
chia 5 dư 4
⇒
n
2
+ 1
M
5
Do đó : n
4
– 1
M
5
Áp dụng cho bài toán trên :
Do : a

Ti Liu Bi Dng HSG B

( )
=

> >

= =

< < > >

= =

< <

1 1 : 1 1
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2
x x
Neỏu x Neỏu x
Neỏu x Neỏu x
Neỏu x Neỏu x
Neỏu x Neỏu x
b) Tớnh :
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( )
2 ; 0 . 2. 1
2 ; 0 . 2. 2
1 2
: . . 2. 2.
2 . 2.
.
Do a b neõn a b b
vaứ b a neõn a b a
Tửứ vaứ
Ta ủửụùc a b a b a b
a b a b
a b a b ẹPCM
> > >
> > >
+ > +
> +
> +
Baứi 4 :
Giáo viên hớng dẫn
Các em dùng bất đẳng thức sau để làm bài này.
a b a b+ +
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 8
A'
F
E
M

2 1 2
1
2 1 2
x x
A x
x
Vậy Mim A khi x

− + − − ≥

= ⇔ ⇔ ≤ ≤

≥


= ≤ ≤
Bài 5 : Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn Chứng minh
rằng :
4.S
ABC

≤
AM . BC + BM . CA + CM . AB
Kéo dài AM cắt cạnh BC tại A’
Vẽ BE
⊥
AM tại E ( E
∈
AM )
CF

⇔
S
ABM
+ S
ACM

1
2
≤
BC. AM (*)
Tương tự ta chứng minh được :
⇔
S
ABM
+ S
CBM

1
2
≤
AC. BM (**)

⇔
S
ACM
+ S
CBM

1
2

Bµi 1 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
Bµi 2.
Cho a, b ≥ 0 tho¶ m·n :
1=+ ba
. Chøng minh r»ng: ab(a + b)
2
≤
64
1
.
DÊu b»ng x¶y ra khi nµo ?
Bàµi3: Cho biĨu thøc.
P =
( ) ( )
3
a1
2
2

2
. . 0a x b x c
+ + =
có hai nghiệm dơng
1 2
;x x
thì phơng trình
2
0cx bx a
+ + =
cũng có hai nghiệm
3 4
;x x
đồng thời:
1 2 3 4
4x x x x+ + +
.
Bài 2:
1. Cho a; b; c là các số thực đôi một khác nhau. Rút gọn biểu thức sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c
A
a b a c b c b a c a c b
= + +

2. Cho các số thực dơng x; y; z thoả mãn:
3 3 3
3 0x y z xyz+ + =
.
Tính giá trị của biểu thức:

1. Chứng minh:
2 2 2
MA MB AB+ >
2. Chứng minh SR là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R).
Bài 5:
1. Cho a; b là các số thực dơng thoả mãn: a + b =1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1
6
.a b a b
+
+
2. Tìm tất cả các bộ số nguyên dơng x; y; z sao cho:
( )
2
2 2x y z x y
+ + +
là số
chính phơng.

GV biờn son: Nguyn Minh Nht 11
Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Híng dÉn gi¶i
GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 12
Ti Liu Bi Dng HSG B
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 13
bài đáp án
Bài 1 Hỏi: Hãy nêu cách làm của bài tập này?
Với

1 2 3 4 1 2
1 2
1 1
x x x x x x
x x
+ + + = + + +
.
Theo BĐT côsi:
1 2
1 2
1 1
2; 2x x
x x
+ +
(Vì
1 2
;x x
dơng)
Vậy:
1 2 3 4
4x x x x+ + +
.
Bài 2
1.
.( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
a b c b c a c a b
A
a b a c b c b c b a c a c a c b a b


27 6 2008
B x y y x z x
= + +
Hỏi: Em đã dùng kiến thức nào để làm bài này?
Bài 3
1.
( )
2
2 2
2 3 0
1 4 5 3
x x y
x x x y x

=


= + +


Nếu hệ có nghiệm (x; y) từ (1)
2
2 3y x x =
thay vào (2)
( )
( )
2
2 2 2
1 2 4 3 2 1 2 4 3x x x x x x
= + + +

ợc ph
ơng trình
ơng trình
( ) ( )
4 4
1 1 34t t
+ + =
(1)
(1)
(2
)

A
EIK
Ti Liu Bi Dng HSG B
D. Bài tập về nhà.
Cho biểu thức
P =













( )
22
2
+x
=
15
3
+x
Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:
5
2
+
x
+
1

x
+ x
2
=
5
2
+
y
+
1

y
+ y

Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác
ABCD. Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng d
A
, d
B
, d
C
, d
D
sao cho d
A
OA, d
B
OB, d
C
OC, d
D
OD. Các cặp đờng thẳng d
A
và d
B
, d
B
và d
C
, d
C
và d
D
, d

Ti Liu Bi Dng HSG B
Học sinh:
ĐK: x
3
+ 1 0 (*).
Biến đổi phơng trình đã cho (1) <=>
( )
22
2
+x
=
)1)(1(5
2
++
xxx
Hỏi: Em hãy đặt ẩn phụ để giải phơng trình này?
Học sinh:
Đặt
)1(
+
x
= u;
)1(
2
+
xx
= v (1) => u
2
+ v
2

2
+
x
+
1

x
+ x
2
=
5
2
+
y
+
1

y
+ y
2
=> x 1; y 1
- Nếu x=1=y thì x = y (đpcm !)
- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, đợc:
5
2
+
x
+
1


1

y
) + (x
2
- y
2
) = 0
<=>(x
2
- y
2
)/(
5
2
+
x
+
5
2
+
y
) +(x - y)/(
1

x
+
1

y

5
2
+
y
) + 1/(
1

x
+
1y
) + x + y > 0)
Vậy nếu x, y thoả mãn đẳng thức trên thì x = y
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 16
Ti Liu Bi Dng HSG B
Chú ý: Có thể ch/m x = y bằng cách loại trừ các khả năng x < y; x > y
Bài 3
Giáo viên: Trong bài này áp dụng bất đẳng thức cô si để làm.
Do phơng trình x
2
- 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x
1
và x
2
nên ta có : 9a
2
+ 4a
> 0 (1) ; x
1
2
- 3ax

33 a
axax
axax
a
++
+
++
=
2
2
2
2
49
49 a
aa
aa
a +
+
+

Theo (1) thì 9a
2
+ 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A 2.
A = 2 <=> 9a
2
+ 4a = a
2
<=> a = -1/2.
Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x
1

Giáo viên cho học sinh lên bảng làm.
Học sinh lên bảng làm.
Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng.
Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp. Thật vậy, có:
NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC
= (1/2).( A + B + C + D ) = 2
Từ đó chứng minh đợc OK.OM = ON.OL
Do đó ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l
Giáo viên chột lại: Hãy nêi những kiến thức đã dùng trong bài hôm nay?
D. Bài tập về nhà.
Giáo viên chép lên bảng bài tập về nhà cho học sinh chép vào vở ghi.
Baì 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a
2
+3b
2
= 10ab.
Tính giá trị của biểu thức: P =
ba
ba
+

Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x
2
+2y
2
= 5xy
Tính giá trị của biểu thức E =
yx
yx
+

+xy-3x-3y+2011. Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị đó?
Bài 2 Chứng minh rằng
1 1 1
2
2 1 3 1 ( 1)n n
+ + + <
+
với mọi n

N*
Bài 3
Giải phơng trình
a/
2
6 10x x
+
+
2
6 18x x
+
= 6x -5-x
2
b/
2 3
2( 2) 5 1x x+ = +
Bài 4 Chứng minh rằng x, y, z,
x
+
y

.
a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và

.
b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2

. Từ đó biểu diễn sin2

, cos2

theo sin

, cos

.
Bài 7 :
Cho hình vuông ABCD. O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA : OB
: OC = 1 : 2 : 3. Tính số đo góc AOB ?
Hớng dẫn trả lời
Hỏi : Hãy nêu cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Học sinh : Ta phải chứng minh biểu thức đó lớn hơn hoặc bằng một hằng số.
Học sinh lên bảng làm.
Bài 1 Ta có: M = (x
2
2x + 1) + (y
2
+ xy + 1) + xy x y + 1 + 2008 = (x
1)
2
+ (y 1)

2
++







+ y
y
x
Vậy
M có giá trị nhỏ nhất là 2008 khi





==
=
=

+
1.y x
01
0
2
1
1

=








+
+








+

1
11
1
11
kkkk
k

<
k

Do đó :






<
2
1
1
1
2
12
1
;








<
3
1
2
1
2

13
1
12
1
<








+
<
+
+++
nnn
(đpcm)
Bài 3 :
Giáo viên gợi ý học sinh làm bài. Dùng tính chất đối nghịch để làm bài này.
Ta chứng minh một vế không lớn hơn 4 một vế không nhỏ hơn 4
a) Ta có VT Không lớn hơn 4, VP không nhỏ hơn 4 , vậy pt trình có nghiệm
khi và chỉ khi hai vế cùng bằng 4. Từ đó ta tìm đợc x = 3 .
b) Ta có
( )
( )
( )
11511215)2(2
2232

+
và x =
2
375

Bài 4:
Giáo viên vừa chữa vừa h ỡng dẫn cho học sinh.
Đặt t =
x
+
y
+
z


Q, Ta có:
x
+
y
=
z
- t

x + y + 2
xy
= z + t
2
2t
z


4xy = 4t (t
2
x y z)
z

Nếu t = 0 :
x
+
y
+
z
= 0

x = y = z = 0

x
=
y
=
z
= 0

Q
Nếu t
2
x y + z = 0, t

0: thì 2
xy
= - 2t

=



=
=







===
===
txzy
tyzx
;0;0
;0;0


x
,
y
,
z


Q
* Nếu t ( t


m =
a
b

(chú ý rằng a

0).
Đờng thẳng cần xác định có dạng: y = -
.1 1
b
y
hay
=++=+
b
y
a
x
bx
a
b
a
x
là tức
2a) Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng (m 2)x + (m 1)y = 1 (1) đi qua điểm
cố định N(x
o
,y
o
) là:



=
=




=++
=+
1
1

012
0
o
o
oo
oo
y
x
yx
yx

Vậy các đờng thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 22
Ti Liu Bi Dng HSG B
b) Gọi A là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục tung. Ta có: x = 0

y =

)
2
3
(2562)2()1(
111
2222
222
+=+=+=+=
mmmmm
OBOAh
.
Suy ra h
2


2. max h =
2
khi và chỉ khi m =
2
3
.
Bài 6

GV biờn son: Nguyn Minh Nht 23
O
A
B
K
H
O

++
. Vì sin
2
2 + cos
2
2 = 1 nên AB
2
= a
2
(1 + 1 2cos2)
= 2a
2
(1 - cos2)
- So sánh giá trị của AK, ta có asin2 = 2a.sin. cos vậy sin2 = 2sin.cos
- So sánh giá trị của BK ta có: 2a.sin
2
. = a(1 cos2) hay cos2 = 1 2sin
2

Hỏi: Em đa dùng kiến thức nào để làm bài này?
Bài 7
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 24
A
B
C
D
O
x
K
Dựng tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng không chứa điểm O với bờ là đờng thẳng BC

= OK
2
+KC
2
. Theo định lí Pitago đảo thì OKC vuông
tại K hay OKC = 90
o
. Vì CBK= ABO và BCK = BAO, hơn nữa các góc này nhọn,
nên K thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng song song AB và CD.Từ
đó BKC = BKO + OKC = 45
o
+ 90
o
= 135
o
. Vì BKC = AOB suy ra AOB = 135
o
.
Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Hái: H·y nªu nh÷ng kiÕn thøc ®· dïng trong bµi?
D. Bµi tËp vỊ nhµ.
Bµi 1: Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:
P =


- x
3
- y
3
-z
3
b) Cho c¸c sè x, y, z tháa m·n ®iỊu kiƯn x + y + z = 1 vµ x
3
+ y
3
+ z
3
= 1 .
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = x
2007

+ y
2007
+ z
2007
Bµi 3: Cho a + b + c = 0 vµ a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:
P = a
4
+ b

1a
1
:
1a
a
1P
a. Rút gọn P.
b. Cho
3819a −=
. Tính P.
Bài 2:
Cho
a b c 1
+ + =
và
1 1 1
0.
a b c
+ + =
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c 1.+ + =
GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 25