Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 1

CÁC MÔ HÌNH LÝ THUYẾT
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ NĂNG LƯỢNG TỐI
QUAN SÁT THẤY TRONG THIÊN VĂN

I. Năng lượng tối là gì
Năng lượng tối là dạng năng lượng không phát sáng, có áp suất âm và phân bố dàn
trãi trong vũ trụ. Theo những số đo của kính thiên văn vũ trụ Hubble, năng lượng tối đang
đẩy vũ trụ giãn ra, dường như là năng lượng không đổi mà Albert Einstein từng dự đoán.
N
ăng lượng này là một dạng năng lượng lạ, tác động theo cách đối lập với năng lượng
hấp dẫn. Năng lượng tối làm cho các thiên hà trong vũ trụ di chuyển ra xa nhau với tốc độ
ngày càng tăng. Einstein đã ám chỉ năng lượng này bằng một hằng số gọi là "hằng số vũ
trụ". Lý thuyết của ông cho rằng vũ trụ không có năng lượng tối sẽ tự sụp
đổ do suy sụp
hấp dẫn nên sự tồn tại của năng lượng tối là để làm cho vũ trụ cân bằng với lực hấp dẫn
bình thường và làm cho nó khỏi tự sụp đổ. Cuối cùng, Einstein đã bác bỏ lý thuyết này do
những quan sát thiên văn của Hubble chứng tỏ vũ trụ đang giản nở . Tuy nhiên, những
quan sát về các vụ nổ siêu tân tinh hay những ngôi sao xa nổ tung cách đây từ lâu, đã tăng
thêm tính tin c
ậy của lý thuyết trên. Các nhà khoa học cho rằng chính năng lượng tối là
nguyên nhân làm vũ trụ giãn ra và tăng tốc độ. Theo tính toán của các nhà khoa học, năng
lượng tối chiếm khoảng 73% vũ trụ, vật chất tối chiếm khoảng 23% vũ trụ, còn lại 4% là
vật chất mà chúng ta thấy được hiện nay.
Như đã biết năng lượng tối được giả thuyết như là một dạng của nă
ng lượng và tạo ra áp
suất âm. Thuyết tương đối rộng chỉ ra rằng, áp suất âm này có tác dụng nhưng ngược
chiều với lực hấp dẫn ở thang đo khoảng cách lớn. Chính vì vậy nó là nguyên nhân gia

không giãn nở và không co lại theo thời gian (nghiệm của các phương trình Einstein là
nghiệm dừng). Lúc đó, Einstein chỉ cho đó là một hiệu chỉnh toán học chứ không hề nghĩ
rằng hằng số đó lại phản ánh một sự thực nào đó. Năm 1929, nhà thiên văn người Mỹ
Endwin Hubble khám phá ra sự giãn nở của vũ trụ thì Einstein mới nói rằng, đó là ngu
ngốc lớn nhất của đời ông. Các quan sát với kính thiên văn trong không gian cũng như
trên mặt đất đã khẳng định chắc chắn thực t
ế đó, và hơn nữa, cho thấy, vũ trụ đang tăng
tốc. Các thiên hà đang lao vút trong không gian và rời xa nhau.
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 3

Nhưng ngày nay, hằng số vũ trụ học lại hồi sinh và có vẻ như Einstein đã đúng. Nó liên
hệ chặt chẽ với một loại năng lượng của chân không lượng tử đang tràn ngập vũ trụ của
chúng ta, mà ta gọi năng lượng tối. Chúng ta đang thử xem liệu rằng hằng số vũ trụ học
đóng vai trò gì về lực đẩy bí mật củ
a năng lượng tối gia tốc sự giãn nở của vũ trụ hay
không.
Như đã đề cập ở trên, để có một vũ trụ là tĩnh Einstein đã đưa vào phương trình một số
hạng vũ trụ để thực hiện cơ chế đẩy. Chúng ta biết rằng sự phân kỳ hiệp biến của tensor
Einstein
G
μ
ν
và tensor năng-xung lượngT
μ
ν
triệt tiêu như nhau; tensor mêtric cũng có sự
phân kỳ hiệp biến zero. Vì thế ta có một số sữa đổi trong phương trình trường nhưng vẫn
phù hợp với các định luật bảo toàn:

=
Λ (1.2)
Trong mô hình vũ trụ có chứa hằng số vũ trụ
Λ
, độ cong của không gian không còn phụ
thuộc vào một mình mật độ khối lượng nữa; mật độ tới hạn
c
ρ
và tham số mật độ
0
Ω
được
cho:
22
0
3
8
c
Hc
G
ρ
π
−
Λ
=
,
0
22
0
8

−
Λ≤ ≈ × (1.4)
Chú ý rằng căn bậc hai của nghịch đảo của
Λ
có thứ nguyên là độ dài. Với sự hiện diện
của hằng số khác không
Λ thì tương lai của vũ trụ không thể chỉ được suy luận bằng mật
độ vật chất.
Hằng số vũ trụ cũng được xem lại trong lý thuyết trường lượng tử. Trong lý thuyết
trường lượng tử thì chân không được xác định như là một trạng thái có năng lượng thấp
nhất. Bất cứ dạng nào đóng góp vào mật độ năng lượng chân không cũng đều đóng góp
vào h
ằng số vũ trụ. Có ba đóng góp khác nhau:
tot ein quan int
Λ
=Λ +Λ +Λ (1.5)
Trong đó
ein
Λ được đưa vào bởi Einstein;
quan
Λ
là hằng số lệ thuộc vào các thăng giáng
lượng tử;
int
Λ là hằng số ( tương tự như
int
Λ
) lệ thuộc vào các hạt và tương tác như là
trường Higgs và boson Higgs.lượng tử
Chúng ta có thể bỏ qua

xem như là tổng của các dao động điều hòa theo tất cả các tần số có thể có . Năng lượng
chân không được cho bởi tổng:
0
1
2
j
j
E
ω
=
∑
h
Tổng này có thể được viết lại như tích phân bằng cách đặt hệ trong một vùng có thể tích
L
3
và cho . Nếu ta dùng điều kiện biên tuần hoàn, thì tổng trên trở thành:
()
3
3
0
3
1
2
2
k
dk
EL
ω
π
=

Ek
k
dk k m
L
π
ρ
π
π
→∞
== +=
∫
; (
max
km ) (1.6)
Tính tương đối rộng có giá trị phía trên thang đo Planck, đặt
max p
kl
=
ta được:
92 3
10 g.
V
cm
ρ
−
≈ (1.7)
Kết quả (1.7) bằng 121 lần giá trị thực nghiệm. Dĩ nhiên là không chính xác nhưng nó có
thể mô tả được một cách định tính sự tồn tại của năng lượng tối.
Mặc dù việc đưa vào hằng số vũ trụ
Λ

c
ρ
ρ
Λ
Λ
Ω= ≈ nếu giả sử là ngày nay bức xạ chiếm ưu thế. Ta có:
()
2
2
0.7
3
8
o
T
T
Ht
G
ρ
π
Λ
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
(1.9)
Tại thời đại Planck thì
31
0
10
T

φ
)
Hàm tác dụng Quintessence được cho bởi:
() ()
2
4
1
2
Sdx-g V
φ
φ
⎡
⎤
=−Δ−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(2.1)
Với
()
2
g
μν
μ
ν
φ
φφ
Δ=∂∂

⎦
∫

Đại lượng:
()
1
2
TggV
αβ
μν μ ν μν α β
φ
φφφφ
⎛⎞
=∂ ∂ − ∂ ∂ +
⎜⎟
⎝⎠
(2.2)
là tenxơ năng-xung lượng của trường Quintessence. Từ tensor năng-xung lượng ta có thể
tìm được mật độ và áp suất của Quintessence
Trong mêtric FRW
()
2
222 2222
2
() sin
1
dr
ds dt a t r d d
Kr
θθφ

1g
=
− , 0
i
φ
∂
= ,
(
)
1, 2, 3i =
Ta được:
()
2
2
V
φ
ρ
φ
=+
&
(2.3)
- Mật độ áp suất được tính:
()
00
000
11
22
iii i 0 ii
iiii ii
pTg g g V

+
+=
&
ta được phương trình chuyển
động của trường
φ
là:
30
dV
H
d
φφ
φ
+
+=
&& &
(2.5)
Phương trình (2.5) cho thấy mối quan hệ giữa sự thay đổi giá trị của trường
φ
với thế
(
)
V
φ
và hệ số giản nở Hubble.
Tiếp theo, ta biểu diễn phương trình Friedmann và phương trình gia tốc trong mô hình
Quintessence.
- Phương trình Friedmann
2
2

8
32
G
HV
πφ
φ
⎡
⎤
=+
⎢
⎥
⎣
⎦
&
(2.6)
- Phương trình gia tốc
()
4
3
3
aG
p
a
π
ρ
=− +
&
, sử dụng (2.3) và (2.4) ta được:

()

, như vậy
thế của trường vô hướng phải thỏa muốn gây sự giản nở tăng tốc phải thỏa điều kiện:
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 9 (
)
2
V
φ
φ
<
&
(2.8)
Phương trình trạng thái của trường
φ

(
)
()
2
2
2
2
V
p
V
φ

φ
ρρ ω
⎡
⎤
=−+
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
(2.10)
Phương trình (2.10) cho thấy nếu xác định cụ thể phương trình trạng thái của trường
Quintessence, ta có thể xác định được sự tiến triển của mật độ năng lượng
ρ
của trường
theo hệ số kích thước vũ trụ a(t).
• Trường hợp
()
2
V
φ
φ
&

khi đó
(
)
()
2
2

(
)
()
2
2
2
1
2
V
V
φ
φφ
ω
φφ
−
=
→
+
&
&
kết hợp với (2.10) ta được
6
0
a
ρρ
−
=
• Trong các trường hợp khác khi
11
φ

ω
−≤ ≤− thì vũ trụ xuất hiện sự giản nở tăng tốc và mật độ
năng lượng lúc đó
m
a
ρ
−
∝ với 02m
≤
≤ .

2.2 Trường Tachyon
Trường Tachyon tác động như một nguồn của năng lượng tối phụ thuộc vào một dạng thế
thích hợp. Hàm tác dụng cho trường Tachyon được đề nghị bởi Sen có dạng:

()
()
2
4
det
2
p
M
Sdx-g RV g
μν μ ν
φ
φφ
⎧
⎫
⎪

αβ
αβ
φφφ
φ
φφ
φφ
∂∂
=+∂∂
+∂∂
(2.12)
Trong mêtric FRW
()
2
222 2222
2
() sin
1
dr
ds dt a t r d d
Kr
θθφ
⎡
⎤
=− + + +
⎢
⎥
−
⎣
⎦
với

φ
φ
=
−
&
(2.14)

- Phương trình chuyển động trường Tachyon có được bằng cách thế (2.13) và (2.14)
vào phương trình liên tục
(
)
30Hp
ρρ
+
+=
&

()
1
30
1
dV
H
Vd
φ
φ
φφφ
+
+=
−

1
2
31
GV
a
a
πφ
φ
φ
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
−
&&
&
&
(2.17)
Điều kiện để giản nỡ tăng tốc là khi
() 0at >
&&
từ đây suy ra
2
2
3
φ
<
&
(2.18)


ta suy ra mật độ năng lượng của trường Tachyon là
m
a
ρ
−
∝ với 03m
<
< .

2.3 Mô hình K-essence
Mô hình K-essence được đặc trưng bởi hàm tác dụng:
(
)
4
,Sdx-gpX
φ
=
∫
(2.20)
Trong đó
()
,
p
X
φ
là hàm mật độ Lagrangian tương đương với mật độ áp suất,
φ
là
trường vô hướng,
()

Xf XX
φφ
=−+ (2.22)
- Mật độ năng lượng của trường:
()
()
2
23
p
X
pf X X
X
ρφ
∂
=−=−+
∂
(2.23)
Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 13

- Phương trình trạng thái của trường:
(
)
(
)
()

23
X
<
<
thì
1
1
3
φ
ω
−< <− khi đó trường
φ
biểu diễn năng lượng tối gây ra sự giản nở gia tốc
của vũ trụ.

2.4 Trường Plantom
Những mô hình trường vô hướng mà ta đã đề cập đến đều có phương trình trạng thái
1
ω
≥−
. Mô hình trường vô hướng dựa trên những dữ liệu quan sát gần đây chứng tỏ
rằng phương trình trạng thái có thể nhỏ hơn -1. Trường Plantom cho năng lượng tối là
một trường vô hướng có động năng âm.
Hàm tác dụng của trường Phantom liên kết với trường hấp dẫn cho bởi:
() ()
2
4
1
2
Sdx-g V

2
2
pV
φ
φ
=− −
&
(2.27)
Phương trình trạng thái:
(
)
()
2
2
2
2
V
p
V
φ
φ
φ
ω
ρ
φφ
+
==
−
&
&

⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
(2.29)
Với M
p
khối lượng Planck,
α
là hằng số

Bài tiểu luận cuối học phần Nguyễn Quốc Trị

Trang 15 3. Mô hình Brans- Dicke cho năng lượng tối
Lý thuyết Brans-Dicke (BD) là sự mở rộng của lý thuyết tương đối tổng quát với hàm tác
dụng :
4
M
Sdxg R g L

μν
μν
φφφ
ω
⎛⎞
=−−∂∂+
⎜⎟
⎝⎠
∫
(3.3)
Với R là độ cong vô hướng và
φ
là trường vô hướng Brans-Dicke. Số hạng kết hợp
không cực tiểu ( non-coupling term )
2
R
φ
thay thế cho số hạng Einstein-Hilbert theo
2
1
2
eff
G
π
φ
ω
= , với
eff
G
là hằng số hấp dẫn hiệu dụng dọc theo trường vô hướng động lực học

chiếm đầy bởi bụi và trường năng lượng tối theo agegraphic:
22 2
2
313
422
mD
k
HH
a
φ
φφφρρ
ωω
⎛⎞
+
−+ =+
⎜⎟
⎝⎠
&&
(3.5)
22 2
2
11111
21
422
D
ak
HH
aa
φ
φφ φφ φ ρ

a
H
a
=
&
gọi là thông số Hubble, ,
D
D
p
ρ
và
m
ρ
tương ứng với mật độ năng lượng tối, áp
suất năng lượng tối và mật độ năng lượng bụi. Giả sử trường Brans-Dicke được miểu ta
theo một hàm của hệ số kích thước
a
α
φ
∝ . Lấy đạo hàm đối với thời gian mối quan hệ
a
α
φ
∝ ta có:
H
φ
αφ
=
&
(3.8)

D
p
m
tt t
ρ

(3.10)
Với
p
t
là thời gian Planck rút gọn. Ta sử dụng hệ đơn vị 1
b
uk
=
==h . Vì thế ta có
1
pb
p
lt
m
==
với
p
l và 1/ 8
p
mG
π
= tương ứng với chiều dài Planck rút gọn và khối lượng.
Trên cơ sở đó , Cai đã ghi lại mật độ năng lượng tối của các thăng giáng lượng tử trong
vũ trụ là:

4
D
n
T
φ
ρ
ω
= (3.13)
Với
2
/2
eff
G
φωπ
=
. Đối với hấp dẫn Einstein
eff
GG→ , biểu thức (13) tìm lại được mật độ
năng lượng chuẩn trong hấp dẩn Einstein ( biểu thức (11)). Ta xác định mật độ năng
lượng tới hạn
cr
ρ
và mật độ năng lượng của độ cong
k
ρ
như sau:
22
3
4
cr

ωρ
ρφ
Ω= = (3.15)

-Đối với thành phần do độ cong:
2
k
k
cr
k
Ha
ρ
ρ
Ω= = (3.16)
-Đối với năng lượng tối:
2
22
D
D
cr
n
HT
ρ
ρ
Ω= = (3.17) 4. Mô hình các chiều ngoại phụ (extra dimension)
Lý thuyết này cho rằng năng lượng tối mà chúng ta nghiên cứu là do tính không đồng
nhất và không đẳng hướng của vũ trụ. Vũ trụ trong mô hình này bao gồm này bao gồm

Với
,, ,
ab a b
rrΩΩ lần lượt là bán kính và tọa độ góc của các chiều củ và các chiều ngoại
phụ
() ()
,,,
ab
at bt k k
lần lượt là yếu tố kích thước và độ cong của không gian ba chiều củ
và các chiều ngoại phụ. Thành phần vật chất của vũ trụ được giả thuyết là một chất lõng
lý tưởng tương ứng với tensơ ứng suất -xung lượng (stress-energy tensor):
(
)
,, , ,
M
Naaabb
Tdiag PPPPP
ρ
=−−−−− (4.2)
Với
ρ
là mật độ năng lượng chiều lớn ( high dimensional energy density) và ,
ab
PP là áp
suất trong các chiều cũ và các chiều ngoại phụ. Sau đó, từ phương trình Einstein ta dẫn
đến phương trình Friedmann-Robertson-Walker (FRW) theo 1+3+n chiều:
2
2
38

π
⎡⎤
⎛⎞
++=−−
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
&& &
%
(4.4)
2
,
2
33 8
a
bbeff
k
aa
GP P
aaa
π
⎡⎤
⎛⎞
++=−−
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥

&
%
(4.6)
()
2
,
2
1
2
2
b
aeff
nn
k
bb ab
Pn n
bbbab
⎡⎤
−
⎛⎞
⎢⎥
≡+ + +
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
&& & &
&
%
(4.7)

&
%
(4.8)
Nhớ lại rằng trong lý thuyết liên quan đến chiều ngoại phụ, mật độ năng lượng 1+3D và
hằng số hấp dẫn Newton lần lượt là
,
N
G
ρ
liên hệ với
,
N
G
ρ
bởi
n
V
ρ
ρ
= và
/
n
N
GGV=
,
với
n
V là thể tích của chiều ngoại phụ, ta có thể thay thế G
ρ
trong phương trình (4.3) bởi


Trang 21
Tài liệu tham khảo
:
[
]
1
. L. Papantonopoulos, The Invisible Universe:Dark Matter and Dark Energy, Lect.
Notes Physics.720 ( Springer, Berlin Heidelberg 2007)
[
]
2 Tai L. Chow, Gravity, Black Holes and TheVery Early Universe,(Springer; 1
st

Edition,2007)
[
]
3 Nguyễn Ngọc Giao, Lý thuyết trường hấp dẫn,NXB ĐHQG TPCM-2003
[
]
4 Ahmad Sheykhi, Agegraphic dark energy in Brans- Dicke cosmoloy,[arXiv:gr-
qc/0908.0606v2] , 9 Aug 2009.
[
]
5 B.Li, M-C. Chu, K.C Cheung, and A.Tang, Dark Energy as a Signature of Extra
Dimensions ,[arXiv:astro-ph/0501367v2] , 19 Jan 2005.