1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Hàm phức và biến đổi Laplace
Chương 2: Biến đổi Laplace ngược
•
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)
2
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Biến đổi Laplace ngược.
0.2 – Tính chất của biến đổi Laplace ngược.
3
0.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Xét phương trình vi phân cấp hai
'' '
; (0) 0; (0) 1.− = − = =y y t y y
Áp dụng biến đổi Laplace phương trình trên ta được
''
{ - } {- }L y y L t=
sử dụng các tính chất của phép biến đổi Laplace xuôi
''
{ }- { } {- }L y L y L t⇔ =
2
2
1
( ) 1 ( )s Y s Y s
s
⇔ − − = −

+∞
−
= =
∫
st
L f t f t e dt F s
1
{ ( )} ( )
−
=L F s f t
5
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
3
2
( ) =F s
s
Giải
Dựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấy
2
3
2!
( ) { ( )}f t t L f t
s
= ⇒ =
Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là
1 2
{ ( )}L F s t

5
3
2!
{ ( )}
( 5)
t
L e f t
s
=
−
7
0.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2
3
( )
9
=
+
F s
s
Giải
Dựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấy
2
3
( ) sin3 { ( )}
9
f t t L f t

=
− + − +
Vậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là
1
{ ( )} os2
t
L F s e c t
−
=
9
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. Tính tuyến tính
Giả sử các biến đổi Laplace ngược
tồn tại và liên tục trên và c là hằng số. Khi
đó
[0,+ )
∞
1 1
1 2
{ ( )}; { ( )}L F s L F s
− −
1 1 1
1 2 1 2
1. { ( ) ( )}= { ( )}+ { ( )}L F s F s L F s L F s
− − −
+
-1 -1
1 1
2. { ( )} { ( )}L cF s cL F s=

s
s s s
1 6 -2
3
{ ( )} 5 6 cos3 sin
2
t t
L F s e t e t
−
= − +
11
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2
3 2
( )
2 10
+
=
+ +
s
F s
s s
Giải
2 2 2 2
3 2 3( 1) 1 3( 1) 1
2 10 ( 1) 9 ( 1) 9 ( 1) 9
+ + − +

F s
s s
2 2 2 2 2 2
2 2 2
4 13 ( 2) 9 ( ) 3 ( )
2
2 2 3
+ −
= = −
+ + +
+
+ ++ + +
s s s
s s s s s
2 21 - -
2
{ ( )} co
3
s3 - sin3
t t
e eL F s t t
−
=
13
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Tính chất dời theo t
1 -
{ ( )} ( ) ( )
as

Giải
-1
2
{ } cosh 3
-9
=
s
L t
s
-1 5
2
{ } cosh 3( 5) ( 5)
-9
−
= − ⋅ −
s
s
L e t u t
s
15
0.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược
-----------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
3
2
8
( )
4
−

Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm
2
2
( )
3 2
−
=
− +
s
e s
F s
s s
Giải
2
2 1
2 1
3 2
= −
− −
− +
s
s s
s s
-1 2
2
{ } 2
3 2
⇒ = −
− +

= >
1 1
1
{ ( )} { ( )}; 0.
5. Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm
1 ' 1
{ ( )} { ( )}L F s t L F s
− −
= − ⋅
1 ( ) 1
{ ( )} ( 1) { ( )}
n n n
L F s t L F s
− −
= − ⋅
hoặc công thức thường sử dụng
1 ( )
1
{ ( )}
{ ( )}
( 1)
n
n n
L F s
L F s
t
−
−
=
−