CHƯƠNG 6: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
 
§1. PHƯƠNG PHÁP CỦA PHÉP TÍNH TOÁN TỬ
Cho hai tập hợp A và B. Một ánh xạ T cho ứng một phần tử của A với một
phần tử xác định của B, kí hiệu là Tx, được gọi là một toán tử. Phần tử Tx được gọi là
ảnh của x còn x được gọi là gốc của hay nghịch ảnh của Tx.
Ví dụ: )Nếu A = B = R thì toán tử T là một hàm số thực của biến số
thực.
) Nếu A là tập hợp các số thực dương và B = R. Ánh xạ cho mỗi số a ∈ A thành một
số thực thuộc B là Ta = lna được gọi là toán tử logarit. Nhờ có toán tử loga mà phép
nhân các gốc được chuyển thành phép cộng các ảnh:
T(a
1
.a
2
) = Ta
1
+ Ta
2
(1)
Do đó muốn tính tích a
1
.a
2
, ta tìm ảnh của nó theo (1) sau đó dùng bảng logarit tra
ngược lại
) Cho A là tập hợp các hàm dao động hình sin có cùng tần số góc ω, B là tập hợp các
hàm biến số thực t nhưng lấy giá trị phức. Cho ứng mỗi hàm v(t) = Vsin(ωt +ϕ) ∈ A
với một hàm Tv ∈ B theo công thức:
Tv = V.e
j(ωt + ϕ)

0tkhi0
)t(
>
<
=η

là hàm gốc.
Thật vậy vì | η(t) | ≤ 1 nên điều kiện 2 được thoả mãn nếu chọn M = 1, s
0
= 0; dễ dàng
kiểm tra được điều kiện 1.
Ví dụ 2: Hàm:

98

{
0tkhitsin
0tkhi0
tsin).t()t(f
>
<
=η=

là hàm gốc.
Thật vậy vì | η(t).sint | ≤ 1 nên điều kiện 2 được thoả mãn nếu chọn M = 1, s
0
= 0; dễ
dàng kiểm tra được điều kiện 1.
Ví dụ 3: Hàm:


∫
+∞
−
=
0
pt
dt)t(fe)p(F
trong đó p = s + jσ là một tham số phức sẽ hội tụ trong miền Rep = s > s
o
(nửa mặt
phẳng phức bên phải đường thẳng s = s
o
)
Tích phân (3) là một hàm của biến số phức p. Hàm biến phức F(p) giải tích trong
miền Rep > s
o
và dần tới 0 khi p → ∞ sao cho Rep = s → +∞.
Chứng minh: Lấy p bất kì thuộc miền Rep > s
o
, ta sẽ chứng minh tích phân (3) hội tụ.
Muốn vậy ta chứng minh nó thừa nhận một tích phân trội hội tụ tuyệt đối. Thật vậy vì
ts
o
Me)t(f ≤
nên
t)ss(
st
ts
pt
oo

- s < 0 nên . Do đó:
0elim
t)ss(
t
o
=
−
+∞→

ss
M
dte).t(f
o
0
pt
−
≤
∫
+∞
−
(4)
Điều đó chứng tỏ (3) hội tụ. Khi p = s + jσ → +∞ sao cho s →+∞ thì
ss
M
o
−
→ 0 nên
F(p) → 0.
Ta còn phải chứng minh F(p) giải tích trong miền Rep > s
o

2
o1
00
t)ss(t)ss(
0
pt
ss
M
dte.tMdte.tMdte).t(f
1oo
−
=<≤
∫∫∫
+∞ +∞
−−
+∞
−
(5)
Vậy theo định lý Weierstrass, tích phân hội tụ đều đối với p trong miền đó vµ là đạo
hàm của F(p). Tóm lại:

(6)
∫
+∞
−
−=
′
0
pt
dt)t(fte)p(F

lim
0t
. Tuy vậy tích phân
dte
t
1
pt
0
−
+∞
∫
vẫn tồn tại
• Không phải mọi hàm phức F(p) đều có nghịch ảnh là một hàm gốc. Chẳng hạn F(p)
= p
2
không thể là ảnh của một hàm gốc nào cả vì
∞=
∞→
)p(Flim
p
. Điều này mâu thuẫn
với kết luận của định lí 1.
• Nếu F(p) giải tích tại ∞ thì F(p) → 0 khi p → ∞ một cách bất kì chứ không phải chỉ
trong trường hợp p → ∞ sao cho Rep → +∞.
Ví dụ 1
: Tìm nh qua phép biến đổi Laplace (gọi tắt là ảnh) của hàm η(t): ả

{
0tkhi1
0tkhi0

e
p
1
p
e
dte)p(F)t(fL

Nếu Rep = s > 0 thì khi t → ∞, e
-st
→ 0; khi t → 0, e
-st
→ 1. Vậy:
F(p) =
p
1
(8)
Ví dụ 2
: Tìm ảnh của hàm f(t) = e
at
trong đó a = α + jβ = const
Ta có
∞
−
∞+
−
∞+
−
−
===
∫∫

: Tìm ảnh của f(t) = t.

∞
−
∞+
−
∞
−
∞+
−
∞+
−
−=+−=−==
∫∫∫
0
2
pt
0
pt
0
pt
0
pt
0
pt
p
e
dtte
p
1

∞+
−
+−=−==
0
pt1n
0
ptn
0
ptn
0
ptn
dtet
p
1
p
et
det
p
1
dtet)p(F

Sau n lần tích phân phân đoạn ta có:

1n
p
!n
)p(F
+
=


∫∫∫
+∞
−
+∞
−
+∞
−
+=+
0
pt
0
pt
0
pt
dt)t(geBdt)t(feAdt)t(Bg)t(Afe
Nhưng theo giả thiết : )p(Fdt)t(fe
0
pt
=
∫
+∞
−)p(Gdt)t(ge
0
pt

Nhưng theo (9):

101
e
jat

jap
1
−
;
jap
1
e
jat
+
↔
−

=
Sử dụng tính chất tuyến tính ta được:

22
ap
a
jap
1
jap
1
j2
1

⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
=

Tương tự
jatjat
jatjat
e
2
1
e
2
1
2
ee
atcos
−
−
+=
+
=

22
ap
p

1
2
ee
chat
−
−
+=
+
=

atat
atat
e
2
1
e
2
1
2
ee
shat
−
−
−==

22
ap
p
ap
1

=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
↔
(14)
Ví dụ 3
: Tìm ảnh của sin(ωt + ϕ) và cos(ωt + ϕ)
Ta có sin(ωt + ϕ) = sinωtcosϕ + sinϕcosωt. Do tính chất tuyến tính:

222222
p
cossinp
p
cos
p
p
sin)tsin(
ω+
ϕ
ω+ϕ
=
ω+
ω

⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
↔
9p
1
1p
1
4
3
9p
3
1p
3
4
1
tsin