Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

Luận văn
Phép biến đổi
Laplace
1 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Mục lục

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính
nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các
ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học
là tính thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của
vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học.
Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa
giữa toán học và vật lý học.
Những quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ học cổ điển giải quyết
gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của
nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự
phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và bề sâu. Dẫn tới sự ra đời
của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết.
Người ta dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới.
Những quy luật tổng quát hơn những quy luật đã biết, đoán trước được mối
quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm
được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều

Đề tài nghiên cứu gồm:
- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes.
- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.
3 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
- Chương 3: Bài tập

PHẦN 2: NỘI DUNG
Chương 1
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES
1. GRADIEN CỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG
1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)
Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó
ứng với một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho một trường
vô hướng có nghĩa là cho một hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc
vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:
u = f (M) = f (x, y, z)
Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi
điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm
này.
Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của
trường không thay đổi theo thời gian, ta có trường dừng. Nếu f còn phụ thuộc
cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổi f (M, t). Để
biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất
cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt mức
tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có một mặt mức, cho C các
giá trị khác nhau ta có họ mặt mức.
4 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh


là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu
S∆
là độ dài cung
1
MM
,
S∆
lấy dấu + nếu điểm
1
M
đứng sau điểm M và
lấy dấu - nếu điểm
1
M
đứng trước điểm M.
Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo
cung M
1
M
là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch
chuyển từ M đến
1
M
) và độ dài cung
S
∆
, tức bằng:

1
( ) ( )f M f M

lim
M M
f M f M
S
→
−
∆
(1.1)
Ta có thể dễ dàng chứng minh:
5 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

M
1
M
L
H.1.1
•
•
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý

1
M
f
L
∂

∂
=
1 1 1
cos cos cos

và
2
L
đi qua
1
M
có tại điểm
này cùng một vectơ tiếp
tuyến, thì đạo hàm tại điểm
này theo đường cong
1
L
bằng đạo hàm theo đường
cong
2
L
(H. 1.2).
1.2 Gradien của trường vô
hướng
Ta xét trường vô
hướng u = f(x, y, z) và tính
đạo hàm của u theo hướng
vectơ
ℑ
ur
, trong đ ó
ℑ
ur
=
ai

r
, đạo
hàm riêng
u
y
∂
∂
là đạo hàm theo hướng vectơ
j
r
, đạo hàm riêng
u
z
∂
∂
là đạo hàm
theo hướng vectơ
k
r
. Trước hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ
ℑ
ur
.

2 2 2
cos
a
a b c
α =
+ +

(1.3)
Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ
ℑ
ur
và vectơ có toạ
độ là (
u
x
∂
∂
,
u
y
∂
∂
,
u
z
∂
∂
). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu:
Gradu =
u
x
∂
∂
i
r
+
u

∂
=| | ℑ
∂ℑ
ur
ur
(1.5)
Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng
ℑ
ur
. Từ đây
ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là
vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất.
7 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Ví dụ 1: Cho trường vô hướng
3 2
x y
u
z
=
xuất phát từ M (1, 2, 1) theo
hướng nào hàm u tăng nhanh nhất.
Giải:

2 2 3 3 2
2
3 2u u u x y x y x y
gradu i j k i j k
x y z z z z

uuuuuur
trong đó
1
(3,0)M
.
Giải:
Ta thấy
0 1
(2, -2)M M
ℑ = =
ur uuuuuur2| ℑ|= 2
ur
;
2
2
u
x y
x
∂
= +
∂
;
2
u
xy
y
∂

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
nó chuyển động theo đường cong l, nên
0
u
l
∂
=
∂
r
. Nhưng đạo hàm theo cung l
bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế
0
u∂
=
∂ℑ
ur
.
Theo công thức:
.cos( , )
u
gradu gradu
∂
=| | ℑ
∂ℑ
ur
ur
, do
0
u∂
=

) . ) . ) .
M x y z x y z x y z
u u u
gradu i j k
x y z
∂ ∂ ∂
 = ( + ( +(
∂ ∂ ∂
r r r
Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là:

0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
) .( ) ) .( ) ) .( ) 0
x y z x y z x y z
u u u
x x y y z z
x y z
∂ ∂ ∂
( − + ( − + ( − =
∂ ∂ ∂
(1.6)
Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt
mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc
với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6).
Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic
2 2
z x y= +
tại điểm M (2, 1, 5).
Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm

a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7)
b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8)
c/ grad
2
u vgradu ugradv
v v
−
=
(v≠0) (1.9)
1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien
Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ.
Cho nên trong vật lý người ta
dùng phương pháp trong đó tính
một đại lượng vô hướng (không
đơn trị) một cách đơn giản hơn,
nhưng gradien của nó lại cho ta
một đại lượng vật lý thực dưới
dạng vectơ, đơn trị, có thể đo
được trên thực nghiệm. Thí dụ,
trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng φ (không đơn trị), nhưng
E grad
ϕ
=
ur
là cường độ điện trường có thể đo được trên thực nghiệm.
2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ
2.1 Trường vectơ-đường vectơ
2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ
Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực,
trường từ hay trường điện như

Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng

x y z
i j k
t t t
∂ ∂ ∂
ℑ = + +
∂ ∂ ∂
ur r r r
Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ
của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các
vectơ này tỉ lệ với nhau.

( , , ) ( , , ) ( , , )
dx dy dz
dt dt dt
P x y z Q x y z R x y z
= =
(2.1)
Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là Φ(x, y, z) ta có:

( , , , ) ( , , )
dx
x y z t P x y z
dt
= Φ
;

( , , , ) ( , , )
dy

Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ
này hướng từ âm sang dương là vectơ
n
r
. Vị trí của vectơ
n
r
phụ thuộc vào vị
trí điểm M trên mặt.
Xét hàm f (M) = (
A
ur
,
n
r
) được xác định tại mọi điểm của mặt S.
Nếu
A Pi Q j Rk= + +
ur r r r
và các góc chỉ phương của vectơ
n
r
tương ứng
bằng α, β, γ tức là:
n cos cos cosi j k= α + β + γ
r r r r
thì
f(M) cos cos cosP Q R= α + β+ γ

hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S.


( ) ( )A x y i y x j zk= + + − +
ur r r r
Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính với
tâm tại gốc toạ độ.
Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo
bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị

2 2 2
n
R xi y j zk
xi y j zk
R
x y z
+ +
= = = + +
+ +
ur r r r
r r r r
do
2 2 2
1x y z+ + =
đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy:

2 2 2
( , ) ( ) ( )A n x y x y x y zz x y z= + + − + = + +
ur r

Vì thế thông lượng bằng


(2.3)
13 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Những điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm
nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút.
Giả sử trường vectơ

A Pi Q j Rk= + +
ur r r r

trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì

( , ) ( cos cos cos )
lim lim
S S
V M V M
A n dS P Q R
divA
V V
α β γ
→ →
+ +
= =
∫∫ ∫∫
ur r
ur
(2.4)
trong đó α, β, γ là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài.
Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:

x y z x y z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = + + 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∫∫∫
vì thế

( )
lim lim ( )
TB
V
M
V M V M
P Q R
dV
x y z
P Q R
divA
V x y z
→ →
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= = + + 
∂ ∂ ∂
∫∫∫
ur
Khi V→ M thì
TB

liên tục trong miền V.
Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ

( ) ( )A x y i y x j zk= + + − +
ur r r r

qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ.
Giải:
( ) ( )
3
x y y x z
divA
x y z
∂ + ∂ − ∂
= + + =
∂ ∂ ∂
ur
Vậy thông lượng

4
( , ) 3 3 3. 4
3
S V V
A n dS divAdV dV V
π π
Φ = = = = = =
∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
ur r ur
2.2.2 Trường hình ống
Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường

ur r r r
Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng:

0divF =
ur
tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy
F
ur
là trường hình ống trong miền G.
Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ.
Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4π
m
γ
, tỉ số thông
lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng

3
3
4 3
4
3
m m
a
a
πγ γ
π
− −
=
Theo định nghĩa:


3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ
3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến
Ta xét trường vectơ:

A Pi Q j Rk= + +
ur r r r

và chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường

l
Pdx Qdy Rdz+ +
∫
(3.1)
là lưu thông của trường vectơ
A
ur
theo chu tuyến.
Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào
A
ur
và l, mà còn
cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay
đổi dấu.
Ví dụ 1: Nếu
A
ur
là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l
bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l.
Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số:
x = ϕ(t), y = ψ(t) , z = χ(t) với

 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
∫ ∫∫
Trong trường hợp đặc biệt

( )
l S
Q P
Pdx Qdy dS
x y
∂ ∂
+ = −
∂ ∂
∫ ∫∫
(3.4)
3.2 Rota của trường
Trong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ

A Pi Q j Rk= + +
ur r r r
trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc
S và trong lân cận của điểm M. Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao
quanh điểm
M
rồi chọn hướng xác định trên
chu tuyến này và tính
Adl
∫
ur r

l M l M
Adl Pdx Qdy Rdz
σ σ
→ →
+ +
=
∫ ∫
ur r
Ñ Ñ

0
( ) os +( ) os ( ) os
lim
R Q P R Q P
c c c d
y z z x x y
σ
σ
α β γ σ
σ
→
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − + −
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
=
∫∫
17 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
=

( ) os +( ) os ( ) os
M
R Q P R Q P
c c c
y z z x x y
α β γ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − − + − |
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(3.6)
Vậy nếu
A Pi Q j Rk= + +
ur r r r

os cos osn c i j c k
α β γ
= + +
r r r r
thì mật độ lưu thông tại điểm
M
theo hướng
n
r
bằng:


ur
theo hướng
n
r
bằng rot
A
ur
.
n
r
Rota của trường vectơ
A
ur

( ) +( ) ( )
R Q P R Q P
rot A i j k
y z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ur r r r
(3.7)
có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường
đã cho do đó rota lập thành trường vectơ mới.
Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:

i j k
rot A
x y z

quanh trục Oz.
Giải: Ta đã biết trường này được cho bởi công thức:

0 0
A yi x j
ω ω
= − +
ur r r
Do đó

0 0 0
( ) 2rot A k k
ω ω ω
= + =
ur r r
3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ

n
l S
Adl rot AdS=
∫ ∫∫
ur r ur
(3.9)
trong đó
n
rot
A
ur
là hình chiếu của vectơ rot
A

rotE
t
∂
= −
∂
ur
ur
(3.11)
Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell
4. CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI DIVE VÀ ROTA
4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không
19 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Thật vậy, nếu
A ai b j ck= + +
ur r r r
trong đó a, b, c là hằng số thì

0
a b c
divA
x y z
∂ ∂ ∂
= + + =
∂ ∂ ∂
ur
(4.1)
Tương tự


ur ur ur
Chứng minh: Giả sử

1 1 1
A Pi Q j R k= + +
ur r r r

2 2 2
B P i Q j R k= + +
ur r r r
Khi đó:

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )C P P i Q Q j R R k
α β α β α β
= + + + + +
ur r r r
và

1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( )divC P P Q Q R R
x y z
α β α β α β
∂ ∂ ∂
= + + + + +
∂ ∂ ∂
ur
1 1 1 2 2 2
( ) ( )
P Q R P Q R