F’(p) ↔ -tf(t) (26)
Chứng minh: Theo (6) ta có: ∫
+∞
−
−=
′
0
pt
dte)t(tf)p(F
Mặt khác, theo định nghĩa thì: ∫
+∞
−
−↔−
0
pt
dte)t(tf)t(tf
Vậy: F’(p) ↔ -tf(t)
Sử dụng công thức này liên tiếp ta có:
t
n
f(t) ↔ (-1)
n
F
(n)
(p) (27)

Chứng minh: Ta có:

(30)
∫∫∫
∞
−
∞∞
=
0
pt
pp
dte)t(fdpdp)p(F
Lấy s
1
là một số lớn hơn s
o
. Giả sử đường lấy tích phân (p, ∞) nằm hoàn toàn trong
nửa mặt phẳng Rep ≥ 0. Khi đó ta có:

∫∫
∞
−−
∞
−
≤
0
t)ss(
0
pt
dteMdte)t(f

↔
t
)t(f
∫
∞
p
dp)p(F

Ví dụ 1: Tìm ảnh của hàm
t
ee
atbt
−

Vì
ap
1
bp
1
ee
atbt
−
−
−
↔−
nên theo (29) ta có:

109

bp

t
0
t
tsin

Ta đã biết
1p
1
tsin
2
+
↔
nên theo (29) ta có:

arctgp
21p
dp
t
tsin
p
2
−
π
=
+
↔
∫
∞
= arcotgp
Dùng công thức tích phân gốc ta có:

d)t(g)(fgf
2. Tính chất
:

a. Tính chất 1
: Tích chập có tính chất giao hoán f * g = g * f
Thật vậy dùng phép đổi biến τ
1
= t - τ, dτ
1
= -dτ, ta có:

fgd)t(f)(gd)t(g)t(fd)t(g)(fgf
t
0
111
0
t
11
t
0
∗=ττ−τ=ττ−−=ττ−τ=∗
∫∫∫

b. Tính chất 2
: Nếu f(t) và g(t) là những hàm gốc thì f * g cũng là hàm gốc
Ví dụ 1
: Tính tích chập
∫
ττ−=∗

∫
τ−τ−
τ

Ví dụ 2
:

110

1tcosdcos)t(ttcos
ttsindsin)t(ttsin
t
0
t
0
+−=τττ−=∗
+−=τττ−=∗
∫
∫
3. Ảnh của tích chập
: Nếu f(t) ↔ F(p) và g(t) ↔ G(p) thì ảnh của tích chập bằng tích
các ảnh:
f * g ↔ F(p).G(p) (32)
Chứng minh: Theo định nghĩa thì:
∫∫∫
ττ−τ↔ττ−τ=∗
+∞
−
t
00

d)t(ged)(fd)t(g)(fdte

Đổi biến t
1
= t - τ thì:
1
0
1
1
pt
ppt
td)t(geed)t(ge
∫∫
∞
−
τ−
∞
τ
−
=ττ−

Vậy:

)p(G).p(Fdt)t(ged)(fed)t(g)(fdte
0
11
1
pt
0
p

Theo công thức đạo hàm gốc:
pF(p) - f(0) ↔ f’(t)
Theo công thức nhân ảnh:
[ pF(p) - f(0) ].G(p) ↔ f’(t)
Vậy: p.F(p).G(p) ↔ f(0).g(t) + f’ * g 111
§12. ẢNH CỦA TÍCH HAI GỐC

Giả sử f(t) và g(t) là hai hàm gốc có chỉ số tăng s
1
và s
2
. Khi đó tích f(t).g(t) cũng là
một hàm gốc tính theo công thức:
∫
∞+
∞−
ζζ−ζ
π
↔
ja
ja
d)p(G).(F
j2
1
)t(g).t(f (35)

§13. QUAN HỆ GIỮA GỐC VÀ ẢNH

8
F(p) giải tích trong nửa mặt phẳng Rep > s
o
8
F(p) → 0 khi | p | → +∞ trong nửa mặt phẳng Rep > a > s
o
đều đối với argp
8
tích phân hội tụ tuyệt đối
∫
∞+
∞−
ja
ja
pt
dp)p(Fe
Khi đó F(p) là ảnh của hàm gốc cho bởi công thức:
∫
∞+
∞−
π
=
ja
ja
pt
dp)p(Fe
j2
1
)t(f
a > s

k
là cực điểm cấp m
k
thì theo công thức tính thặng dư:

112
Res[ F(p)e
pt
, a
k
] =
[ ]
)1
k
m(
pt
k
m
k
k
ap
k
e)p(F)ap(lim
)!1m(
1
−
→
−
−


= 1, thì cách tính thặng dư đơn giản
hơn:
Res[ F(p)e
pt
, a
k
] =
t
k
a
k
k
e
)a(B
)a(A
′

và ta có:

∑
=
′
=
n
1k
t
k
a
k
k

a
k
k
e
)a(B
)a(A
)0(B
)0(A
)t(f

Vì B’(p) = B
1
(p) +
nên B’(0) = B
)p(Bp
1
′
1
(0), B’(a
k
) = )a(Ba
k1k
′
nên:
∑
=
′
+
′
=

2
, ..., a
s
,
s21
a,,a,a K

khi đó r + 2s = n là số cực điểm; a
k
= α
k
+ jβ
k
,
kkk
ja β−α=
và đặt
kk
k
k
jNM
)a(B
)a(A
+=
′
thì (43) còn có thể viết dưới dạng sau:
[
tsinNtcosMe2e
)b(B
)b(A

Trong ví dụ này A(p) = 1; B(p) = p.B
1
; B
1
= (p + a)(p + b). Các cực điểm của F(p) là:
a
1
= 0; a
2
= -a; a
3
= -b
Áp dụng công thức (44) ta được:
)ab(b
e
)ba(a
e
ab
1
)t(f
btat
−
+
−
+=
−−

Ví dụ 2
: Tìm gốc của hàm:
)8p4p)(2p(