1
C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1
Các khái niệm
2
HPTTT Crame
3
Phương pháp Gauss
4
HPTTT Thuần nhất
4
Một số ứng dụng
2
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:
1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất
gồm m phương trình n ẩn có dạng:










mnmn2
2
m
1

3
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2. Ma trận các hệ số:













mn
a
2
m
a
1
m
a

n2
a
22
a
21








 
T
m
b
2
b
1
b
m
b

2
b
1
b
B 








b
b
a aa

a aa
a aa
A
5
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm:
• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương
trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma
trận A bằng hạng của ma trận bổ sung .
Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm:










1
axxx
1
xaxx
1
xxax









8x3x2x
30x6x4x3
6x2x
3
2
1
321
31
8
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số
phương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức ma
trận các hệ số bằng không.
3.2. Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến ma
trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang.














m
2
1
nn
n222
n11211
'b
'b
'b
'a 00

'a 'a0
'a 'a'a
A














7x7x11x4
2x2xx3
4x3x4x2
3
2
1
321
321
11
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.1. Định nghĩa:










0xa xaxa

0xa xaxa
0xa xaxa
nmn2
2








Hệ luôn có nghiệm tầm thường
12
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.2. Phương pháp giải:
Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có
nghiệm tầm thường.
Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k
tham số.
Ví dụ:














192483
3254
4653
3
4
2
1














 




0000
0000
5610
7801

101220
151830
5610
3
4
2
1
41
31
21
HH3
HH4
HH3
14
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT








0x5x6x
0x7x8x
4
3
2
431


k
x
k+1
x
k+2
… x
n
c
11
c
12
… c
1k
1 0 0
c
11
c
12
… c
1k
0 1 0

c
n-k,1
c
n-k,2
… c
n-k,k
0 0 1
Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương

0
+ a
1
P
Hàm cầu : Q
d
= b
0
- b
1
P
a
i
,b
i
≥ 0, P giá sản phẩm
• Mô hình cân bằng: Q
s
= Q
d
=> (a
1
+b
1
)P = (a
0
+b
0
)
Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin:

P
a
a
Q
1
1




22212120d
22212120s
PbPbbQ
P
a
P
a
a
Q
2
2




• Sản phẩm 2:
19
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
• Hệ phương trình cân bằng:


1
21
10212111
cPcPc
cPcPc
Ví dụ: Thị trường có 2 sản phẩm như sau:
• Sản phẩm 1:
• Sản phẩm 2:
21d
1s
PP210Q
P
3
2
Q
1
1




2
1
2
d
1s
PP15Q
P
2
1

ij
– b
ij
)














0
n
n
nn
2
2
n
1
1
n
20nn2222121
10nn1212111











321d
321s
PP4P2Q
PP2P10Q
2
2










321d
321s
P4PP1Q
P

i
in
2
i
1
i
i
b
x

x
x
x





in
n
in
2
2
2i
1
1
1i
i
bx
x

1
1
n
n
2nn22221212
1nn12121111
bxa xaxax

bxa xaxax
bxa xaxax
i
ij
ij
x
x
a 
















nn
a
2
m
a
1
n
a

n2
a
22
a
21
a
n1
a
12
a
11
a
A
B
X
)
A
I
(
