class="bi x0 y0 w1 h1"
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 2 -

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG



 Công thức cơ bản
●
2 2
sin x cos x 1+ =
●
tan x.cotx 1=
●
sin x
tan x
cos x
=

●
cos x
cotx
sin x
=
●
os
2
2




●
os
2
1 c 2x
sin x
2
−
=
●
os
os
2
1 c 2x
c x
2
+
=

●
3
sin 3x 3 sin x 4 sin x= −
●
3
cos 3x 4 cos x 3 cos x= −




 
+



+ =





−
 
●
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
 
−



− =





+
 

●
( )
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
+
+ =
●
( )
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
−
− =



 Công thức biến đổi tích thành tổng
●
( ) ( )
cos a b cos a b
cos a.cos b
2
+ + −
=
●
( ) ( )
sin a b sin a b
sin a.cos b
2

π π
sinx cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
   
 
 
 
− = − = +
 
 
 
 
 
   ●
4 4 2
1 cos4x
cos x sin x 1 s
3 1
in 2x
2 4
+
+ = − =
●
6 6 2
3 cos4x
cos x sin x 1 s
5 3

là:
1 1− ≤ α ≤
.
 Khi giải phương trình có chứa các hàm số
tan
hoặc
cot
, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết
phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
 Phương trình chứa
tan x
, điều kiện:
( )
cos x 0 x k k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ
.

 Phương trình chứa
cot x
, điều kiện:
( )
sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ ℤ
.
 Phương trình chứa cả
tan x
và
cot x
, điều kiện:

 



+





 
với k ,n
+
∈ ∈ℤ ℕ thì có
n
điểm
M
trên đường tròn
lượng giác cách đều nhau".
Ví dụ 1: Nếu sđ

AM k2
3
π
= + π thì có một điểm
M
tại vị trí
3
π
(ta chọn

11
;
4 12
π π
và
19
12
π
,
(
)
k 0;1;2=
.
Ví dụ 4: Nếu sđ

k2
AM k.
4 2 4 4
π π π π
= + = +
thì có 4 điểm
M
tại các vị trí
4
π
,
3
4
π
,

−
và
5
6
π

Bi
ểu diễn cung
x k
3
π
= + π
trên đường tròn thì có
Để giải được phương trình lượng giác cũng như các
ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả
những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công
cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên:
"Phương trình lượng giác"
class="bi x5a ya6 w7 h1"
class="bi x0 y0 w1 h1"
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 6 -

Bài 8. Giải phương trình:
( )

4 4
4

− = +
 
 
 
 
 
   

Bài 10. Giải phương trình:
( )

sin 3x sin 2x sin x 1
4 4
   
π π
 
 
 
− = +
 
 
 
 
 
   

Bài 11.
( )

3



 

Bài 13. Giải phương trình:
( )

3
sin x 2 sin x 1
4
 
π



− =





 

Bài 14. Giải phương trình:
( )

cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗

Bài 15. Giải phương trình:
( )

cos 3x sin 7x 2 2 cos
4 2 2
 
π



+ = + − ∗





 

Bài 20. Giải phương trình:
( )

2 2 2
sin x cos 2x cos 3x= + ∗

Bài 21. Giải phương trình:
( )

2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗

Bài 22. Giải phương trình:
( )



Bài 27. Giải phương trình:
( )
( )

6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗

Bài 28. Giải phương trình:
( )
( )

8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗

Bài 29. Giải phương trình:
( )
( )

3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗

Bài 30. Giải phương trình:
( )

4 2 2 4
3cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗

( )

1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos 5x
2
+ + + + = − ∗

Bài 35. Giải phương trình:
( )

sin2x 2 cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
= ∗
+

Bài 36. Giải phương trình:
( )

2
1 sin2x cos2x
2 sin x sin 2x
1 cot x
+ +
= ∗
+

Bài 37. Giải phương trình:
( ) ( )

− − = ∗





 

Bài 41. Giải phương trình:
( ) ( )

2
sin2x cot x tan2x 4 cos x+ = ∗

Bài 42. Giải phương trình:
( ) ( )

2 2
cot x tan x
16 1 cos 4x
cos2x
−
= + ∗

Bài 43. Giải phương trình:
( )

1
2 tan x cot2x 2 sin2x
2 sin 2x

( )

cos 3x tan 5x sin 7x= ∗

Bài 47. Giải phương trình:
( )

1 1
sin2x sin x 2 cotx
2 sin x sin2x
+ − − = ∗

Bài 48. Giải phương trình:
( ) ( )

4 4
sin x cos x 1
tan x cot2x
sin 2x 2
+
= + ∗

Bài 49. Giải phương trình:
(
)

2 2 2 2
tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗

Bài 50. Giải phương trình:

2
sin x 0 x k
2 cos x 1 sin x 0 k;l
1 2
cos x x l2
2 3
 
= = π
 
 
⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈
π
 
= − = ± + π
 
 
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( ) ( )
2
sin x cos x 2 sin x cos x 2 cos x 0∗ ⇔ + + + =

( ) ( )
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0⇔ + + + =

(
)
(
)

= ± + π
 

 

ℤ
.  Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung
2x
và cung
x
mà ta nghĩ đến việc chuyển cung
2x
về cung
x

bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
( )
( )
2
sin x 1 2cos x 1 2sin x cos x 1 cos x∗ ⇔ + − + = +

( ) ( )

2





ℤ
.

 Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung
3
x
2
π
−
và
7
x
4
π
−
giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung
khác nhau này về cùng một cung chung là
x
. Để làm được điều đó, ta có thể dùng công
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý



−





 

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008
Bài 5. Giải phương trình:
( ) ( )

sin x 1 cos2x sin 2x 1 cos x+ + = + ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 10 -

( )
1 1 7 7
4 sin cos x sin x cos
sin x 3 3 4 4
sin x cos sin cos x
2 2
 
π π

2 2 sin x cos x
sin x cos x
+
⇔ = − +

( ) ( )
sin x cos x 2 2 sin x cos x sin x cos x 0⇔ + + + =
( )
( )
sin x cos x 1 2 sin2x 0⇔ + + =

( )x k
4
tan x 1
sin x cos x 0
x l k, l,m
2
8
1 2 sin 2x 0
sin2x
52
x m
8

π

= − + π

Ta có:
( )
3
sin x sin 2 x cos x
2 2
7 1
sin x sin 2 x sin x sin x cos x
4 4 4
2

 
   

π π

 
 
 
 
 − = − π − − =
 
 

 
 
 
 

   
 

sin x cos x
2
 
 
∗ ⇔ + = − +
 
 
. Giải tương tự như cách giải 1.
 Lời bình: Từ tổng hai cung
x x
3 6 2
π π π
+ + − =
giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:
cot x cot x cot x cot x cot x tan x 1
3 6 3 2 3 3 3
 
           
π π π π π π π
     
     
 
     
+ − = + − + = + + =

sin x 0
6

 

π




+ ≠




       


π π π π
 

   

   
   
⇔ + − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − ≠
   

   
   

π π
 
 
 
+ = + − ∗
 
 
 
 
 
   

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999
class="bi x0 y0 w1 h1"
class="bi x5a y0 w7 h1"
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” - 13 -
( )

t k
x k
2
cos 3t 0
6
t l x l k;l;m
1
3
cos2t


π



π
= + π

= − + π





ℤ
.
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = −
. Lúc đó:

( )
( )
cos t 0 N
1
cos t sin 2t 1 0 t k x k , k
sin 2t 2 L2 2 4

 
=
π π



⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ∈






=
 


ℤ
.
 Lời bình: Trong


 

 


 
 
 
 

( ) ( )( )

3 2
sin x cos x 4 sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x⇔ + = ⇔ + + =

(
)
(
)
sin x cos x 1 2 sin x cos x 4 sin x⇔ + + =2 2
3 sin x 2cos x sin x 2 sin x cos x cos x 0⇔ − + + + =

( ) ( )

2 2
sin x 3 2cos x cos x 2 sin x 1 0⇔ − + + + =

.
Cách giải 3.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
 
 
 
π


 
 

⇔ + = ⇔ + =


 

 


 
 
 
 


Vì
( )
cos x 0 hay sin x 1= =
không phải là nghiệm của phương trình
( )
2
nên chia hai vế của
phương trình
( )
2
cho
3
cos x
, ta được:
( ) ( )
( )
3
2
2 tan x 1 4 tan x. 1 tan x
⇔ + = +

Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm:
( )
tan x 1 x k , k
4
π
= ⇔ = + π ∈ ℤ
.


( )cos t 0
3
t k x k k , k
sin 2t 2 L
2 4 4

=
π π π

⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ≡ − + π ∈

= −


ℤ
.
Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải

 Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả
sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu
(hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý
( )
x 4x 5x+ =
và

5x k2
5x k x
cos 0
2 2 5 5
2
cos x 0 x l x l k;l;m
2 2
x
x x 2m
cos 0
m
2
2 2
 
π π π

 
= + π = +

 
=

 
π π

 
⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + π ∈

 




− =





 

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998
class="bi x0 y0 w1 h1"
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 16 -
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
2 2 2 2
∗ ⇔ − − + = − − +



π
=



ℤ
.
Bài giải tham khảo
( )
x xcos 3x sin 7x 1 cos 5x 1 cos 9 cos 3x sin 7x sin 5x cos9
2
 
π



∗ ⇔ + = − + − − ⇔ + = −





 
⇔ + = ⇔ ⇔ = + π ∈
π





= +







 

π π


= − +



ℤ
.

4 2
x m
2

π π

= +



π π
=



= +
π π



⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ ∈



π π



= +
=


+ = + − ∗





 

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001
Bài 20. Giải phương trình:
( )

2 2 2
sin x cos 2x cos 3x= + ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” - 17 -  Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung
( ) ( ) ( )
x , 2x , 7x
và nhận xét

1
5 l2
sin 3x
x
2
18 3

π π

=

= +



⇔ − = ⇔ ⇔ ∈


π π
=

= +




ℤ
.
6
cos x
22
x n2
3

π

= + π




=

π



= + π





⇔ − + = ⇔ = ⇔ ∈



π

3 3 3 3 3 3 3
4 sin x cos x 3sin x3 cos x 3cos x sin x 4cos x sin x sin 4x⇔ − + − =

( )

2 2 3
3 sin x cos x cos x sin x sin 4x⇔ − =3 3
3 3
sin2x cos2x sin 4x sin 4x sin 4x
2 4
⇔ = ⇔ =

( )

3
k
3 sin 4x 4 sin 4x 0 sin12x 0 12x k x , k
12
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈ ℤ
.
Bài 22. Giải phương trình:
( )

sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗

Bài 23. Giải phương trình:

2 2
   
+ −
 
 
 
∗ ⇔ − + =
 
 
 
 
 
   

( ) ( ) ( )

2 2 2
3 1 2 cos2x cos 2x 4 1 cos 2x 1 2 cos2x cos 2x 0⇔ + + − − + − + =

( )

2
8 cos 2x 4 cos2x 0 4 cos2x 2 cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + =

( )

k
cos2x 0
x k
4 2 4


cos x 0 hay sin x 1= =
không là nghiệm của phương trình
( )
∗

Chia hai vế của
( )
∗
cho
4
cos x
, ta được:
( )
2
2 4
2
t 4t 3 0
3 4 tan x tan x 0
t tan x 0


− + =


∗ ⇔ − + = ⇔


= ≥


= ± + π
= ±

=



 
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈



 


π
=
= ±




= ± + π



=



8
−
∗ ⇔ − =

( ) ( )

2 2
1 1 2 3 2
cos 4x cos2x cos x cos2x cos 4x sin x
2 2 8
−
⇔ + − − =2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x cos2x cos x cos 2x sin x cos 4x sin x
4
−
⇔ + − + =

( ) ( )

2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x sin x cos2x cos x sin x
4
−
⇔ + + − =



( ) ( )

2 k
4 cos2x 2 1 cos 4x 2 3 2 cos 4x x , k
2 16 2
π π
⇔ + + = − ⇔ = − ⇔ = ± + ∈ ℤ
. Bài giải tham khảo
 Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung
x,2x,4x,8x
khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc
đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức
2 2
cos2x 2 cos x 1 1 2 sin x= − = −
, nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế
phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý
rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của
sin
,
bằng cách nhân thêm hai vế của
( )
∗
cho

 
= =
 
∗ ⇔ ⇔
 
 
≠ ≠
 
 4 sin 4x cos 4x cos 8x sin x 2sin 8x cos 8x sin x sin16x sin x
sin x 0 sin x 0 sin x 0
  
  
= = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
  
≠ ≠ ≠
  
  k2
x
k2
x
15



= +

π π



= +






≠ π



với
( )

17p 1
k 15n; l ; k,l, m,n, p
2
−
≠ ≠ ∈ ℤ
.
, ta được:
( )
( )
3
2 sin 3x 4 cos x 3 cos x cos x 2sin 3x cos 3x cos x⇔ − = ⇔ =

Bài 32. Giải phương trình:
( )

1
cos x cos2x cos 4x cos 8x
16
= ∗

Trích đề
thi tuy
ển sinh Đ
ạ
i
họ
c Kinh tế
Qu
ốc Dân năm 1998

Bài 33. Giải phương trình:
( )

3
4 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗


( )

cos x 0
x k
cos x 0
2
k, l
cos x 1
cos x sin x 2
x l2
4
4


π
=


= + π

=



 
⇔ ⇔ ⇔ ∈
π




. Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
( )
sin x 0
2 sin x cos x 0 sin 2x 0 2x k x k , k
cos x 0
2


≠
π

⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ π ⇔ ≠ ∈


≠


ℤ
.
( ) ( ) ( )
2 2
sin x cos x sin x cos x
2 sin2x cos2x 2 sin2x cos2x

x l
4
8 2


π
=

= + π

 
π




 

⇔ − = ⇔ ⇔ ∈

π








π π


Bài giải tham khảo
Bài 36. Giải phương trình:
( )

2
1 sin2x cos2x
2 sin x sin2x
1 cot x
+ +
= ∗
+

Trích đề
thi tuy
ển sinh Đ
ạ
i
họ
c khối A năm 2011

Bài 37. Giải phương trình:
( ) ( )

tan x cot x 2 sin 2x cos2x+ = + ∗

Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM năm 1998
Bài 38. Giải phương trình:
( )



ℤ
.
( ) ( )
sin x sin x sin 3x
tan x tan x tan 3x 2 2
cos x cos x cos 3x
 



∗ ⇔ + = ⇔ + =





 

(
)

2
sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2cos x cos 3x⇔ + =

( )

2
sin x sin 2x 2cos x cos 3x⇔ − =


π π
= +
thì
3 l3 2
cos 3x cos 0
4 2 2
 
π π



= + = ± ≠





 
(nhận).
 Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung
nào trùng nhau. Do đó:
l
x
4 2
π π
= +
là nghiệm
của
phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian).
 Cách 3: Nếu

≠



≠ ⇔ ≠



≠



.
( )
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 11 1 1 1 20
1 1 1
3 3
cos x sin x sin 2x cos x sin x 4 sin x cos x
     
  
  
  
∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =
  
  
  
  
  
     

ℤ
.
π/4
π/6
π/2
3π/4
5π/6
7π/6
5π/4
3π/2
7π/4
11π/6
Bài 39. Giải phương trình:
( )

2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗

class="bi x0 y0 w1 h1"