1
PHẦN II. VI TÍCH PHÂN
Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN
2
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x 
X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắc
f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y.
Ký hiệu:
)x(fyx
Y
X
:
f



)
x
(
f
x

• Đơn ánh: x
1
, x
2
 X, x

• (fg)(x) = f(x)g(x), xX
Hàm số f/g có miền xác định X
1
= X\{x: g(x) = 0} :
1
Xx,
)x(g
)
x
(
f
)x)(
g
f
( 
• (af)(x) = af(x), xX
5
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u,
đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó
f = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu f
o
g.
Ví dụ: Tìm g
o
f, g
o
h, f
o
g, h

< x
2
=> f(x
1
)  f(x
2
) (f(x
1
)  f(x
2
))
• f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x
1
,x
2

(a,b):
x
1
< x
2
=> f(x
1
) < f(x
2
) (f(x
1
) > f(x
2
))


Hàm số lẻ
Ghi chú:
• Hàm số chẵn đối xứng qua Oy
• Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ
9
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Hàm số luỹ thừa: y = x

, với   R
•   N: mxđ R
•  nguyên âm: mxđ x ≠ 0.
•  có dạng 1/p, p  Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ
•  là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x

tại mọi x  0 nếu
 > 0 và tại mọi x > 0 nếu  < 0.
2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ
Đồ thị của y = x

luôn qua điểm (1,1) và đi qua
góc toạ độ (0,0) nếu  > 0, không đi qua góc toạ độ nếu
 < 0.
10
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. Hàm số mũ: y = a
x
(a > 0, a ≠ 1)
• Hàm số mũ xác định với mọi x dương.
• Hàm số mũ tăng khi a > 1.


b
log
a
a
b

aLog
b
Log
b
Log
c
c
a

 Một số tính chất của log
a
x:
Log
a
(x
1
x
2
) = Log
a
(x
1
) + Log

C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa: Các hàm số hằng số, hàm số luỹ thừa,
hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác và các
hàm số ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản.











2x
3)xsin(2
log)x(f
2
2
3
Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp.
• Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số
hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy
hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi
chung là hàm số sơ cấp.
16
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số:

0
-  < x < x
0
17
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định nghĩa giới hạn: Cho hàm số f(x) xác định trên
một khoảng mở chứa x
0
(riêng tại x
0
, f(x) có thể không
tồn tại). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x
x
0
, nếu  > 0 cho trước,  > 0:
0 < x – x
0
 <   f(x) – L < . Ký hiệu:
L
)
x
(
f
lim
0
xx


Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng
7

lim
0
xx


L
)
x
(
f
lim
0
0
xx,xx


L
)
x
(
f
lim
0
xx


L
)
x
(

)
x
(
f
lim
)
x
(
f
lim
0
0
xxxx



Định lý:
Ví dụ, Tim giới hạn f(x) khi x0






0 x khix-1
0
x
khi
x
)x(f



nếu  > 0, N > 0 đủ lớn: x > N  f(x) - L < 
L
)
x
(
f
lim
x



nếu  > 0, N < 0 đủ nhỏ: x < N  f(x) - L < 
Ví dụ, chứng minh rằng
0
x
1
lim
x



20
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
2. Giới hạn vô hạn của hàm số:



)

lim
21
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
3. Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: nếu lim f(x) = L
1
và lim g(x) = L
2
thì
• Lim [f(x) ± g(x)] = L
1
± L
2
• Lim [f(x)g(x)] = L
1
L
2
• Lim [f(x)/g(x)] = L
1
/L
2
(L
2
≠ 0)
• Lim [f(x)]
m
= L
1
m
(L

x



2
x
8x
lim )c
3
2
x



23
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân
cận của x
0
. Nếu




L
)
x
(
h
lim



xx2
1x
sinlim
2
2
x
Ví dụ: Tìm
24
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
1
x
x
sin
lim
0
x


e
x
1
1lim
x
x





0
x



4. Một số giới hạn đặc biệt:
25
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
Ví dụ: Chứng minh:
1
x
tgx
lim
0
x


1
x
x
arcsin
lim
0
x


1
x
arctgx
lim




4. So sánh vô cùng bé
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé
trong một quá trình nếu limf(x) = 0