CHUYÊN ĐỀ 7
PARABOL

Các bài toán về parabol thường qui về việc xác đònh các yếu tố của parabol (tiêu
điểm, đường chuẩn), lập phương trình của parabol và các vấn đề về tiếp tuyến của parabol.
Do đó ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau đây :
Parabol (P) =
{
M∈ (Oxy) / MF =
()
M
d
Δ
}

F là tiêu điểm và
(
là đường chuẩn.
)
Δ
Các dạng phương trình chính tắc :

(P) : y
2

pB
2
= 2AC
Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm

(P) : y
2
= –2px
y
x
(P)
F
y
( )
Δ
: x =
2
p

F
0
2
p
,

−

O
()
Δ

P
2

O
()
Δ1
M
0
(x
0
, y
0
) có phương trình
y
0
y = p(x
0
+ x)

≥
và r = MF = y
M
+
2
p

(d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P)
⇔

pA
2
= 2BC
Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm
M
0
(x
0
, y
0
) có phương trình
x
0
x = p(y
0
+ y)
M
0
(x
0

−
⎜⎟
⎝⎠

M
∈
(P) y
M
0
⇒ ≤
và r = MF = –y
M
+
2
p

(d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P)
⇔

pA
2
= –2BC
Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm
M
0
(x
0
, y
0
) có phương trình

F
−
P
2

O
( )
P
2Δ

2
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết nó song song với đường thẳng (D) : 2x – y +
5 = 0. Suy ra tọa độ tiếp điểm.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết nó xuất phát từ điểm
I(–3, 0), suy ra tọa độ tiếp điểm.
Giải
1) Tiêu điểm và đường chuẩn
(P) : y
2
– 8x = 0 y
2
= 8x có dạng y
2
= 2px với p = 4
⇔
Tiêu điểm F(2, 0) và đường chuẩn
⇒ ()Δ

y
0
y = 4(x
0
+ x)
⇔
4x – y
0
y + 4x
0
= 0
mà (d) : 2x – y + 1 = 0, do đó :

4
2
=
0
1
y
=
0
4
1
x

⇒
0
0
1
2

kx – y + 3k = 0

3
( ) tiếp xúc với (P) : y
2
= 8x
d
′
4 = 2k(3k) = 6k
2
k =
⇔ ⇔ ±

2
6
=
±
6
3

Vậy từ điểm I(–3, 0) có 2 tiếp tuyến với parabol (P) là:

6
3
x – y + 6 = 0 hay –
6
3
x – y – 6 = 0

6

=
0
1
y
=
0
4
6
x

⇒

0
0
3
12
26
6
x
y
=
⎧
⎪
⎨
==
⎪
⎩

Với ( ) :
d

=− =−
⎪
⎩

Vậy 2 tiếp điểm phải tìm là (3; 2 6 ) và (3; –2 6 ).
Ví du2( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho
parabol (P) có phương trình y
2
= x và điểm I (0; 2). Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho
IN4IM =
.
Giải

Gọi M(m
2
; m) ∈ (P), N(n
2
; n) ∈ (P)
IM
⎯→
= (m
2
; m – 2)

IN
⎯→
= (n
2
; n – 2)

⎢

2
m4n6
n4n3
=−
⎧
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩
0
=
⎣
1
2
n1
n3
=
⎡
1
2
m2
m6
⇒=−
⇒=

⇒
M

hoặc d
2
.
Giải
1) Viết phương trình các đường thẳng qua M tiếp xúc với E.
x = 2 là 2 tiếp tuyến thẳng đứng của (E)
±
Vậy d
1
: x =
−
2 là 1 tiếp tuyến của (E) qua M.
Phương trình tiếp tuyến d qua M(
−
2; 3) khác dường thẳng x =
−
2
có dạng : y – 3 = k(x + 2)
O
3
x
y
−
2
M

⇔
kx – y + 3 + 2k
d tiếp xúc với (E)


k =
−
2
3
=− − +
2
y(x5)
3
n
. Vậy d : hay
d :
2
−−
+ n = 0
⇔

−
2x – 3y + 10 + 3n = 0
10
xy
33
+
d tiếp xúc với E
⇔
4(
−
2)
2
+ 1.(
−