Chuyên đề 15:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
117
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

• x
'
Ox : trục hoành
O

z
'x
y
x
'y
3
e
K
1
e

JG JJGJJG
123
+ y với x,y,zOM xe ye e= +∈
JJJJGJGJJGJJG
\
.
Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.
Ký hiệu: M(x;y;z)
( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

z

/
123
( ; ; )
đn
M xyz OM xe ye ze⇔=++
JJJJGJGJJGJJG

• Ý nghóa hình học:


a
G
được biểu diển một cách duy nhất theo
bởi hệ thức có dạng :
123
,,eee
JG JJGJJG
11 2 2 33 1 2
+ a với a ,aaae ae e= +∈
G JG JJGJJG
\
.
Bộ số (a
1
;a
2
;a
3
) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ .
a
G
Ký hiệu:
12
(; )aaa=
G/
123 11 22 33
=(a ;a ;a )


*
ab
11
22
33
a

b
a b
ab
=
⎧
⎪
=⇔ =
⎨
⎪
=
⎩
GG

*
ab

112 233
(; ; )a ba ba b+= + + +
GG
)a ba ba b−= − − −
GG
)a ka ka ka=

ab

cùng phương !k sao cho .⇔∃ ∈ =
GG
\

Nếu thì số k trong trường hợp này được xác đònh như sau:
0a ≠
GG
k > 0 khi
a
G
cùng hướng
b
G

k < 0 khi
a
G
ngược hướng
b
Ga
k
b
=
G
G

akb
=
⎧
⎪
⇔=⇔ =
⎨
⎪
=
⎩
GG

119

IV. Tích vô hướng của hai véc tơ:

Nhắc lại:

...cos(,)ab a b a b=
GG G G G G2
2
aa=
GG .0ab ab⊥⇔ =
GG GG
Đònh lý 8:
Nếu
B
(;) và B(x;)
A AB
A xy y thì 22
()()()
BA BA BA
2
ABxx yy zz=−+−+−



Đònh lý 9:
Cho hai véc tơ
123 123
(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb==
G G
ta có : 11 22 33
a 0ab bab ab⊥⇔ + + =V.

Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k
:
Đònh nghóa :
Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như :
≠

.MAkMB=
JJJG GJJJ
•

•

•
A M B


Đònh lý 11 :
Nếu

z
k
−
⎧
=
⎪
−
⎪
−
⎪
=
⎨
−
⎪
−
⎪
=
⎪
−
⎩120

Đặc biệt :
M là trung điểm của AB ⇔
2
2
2
A B

Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 2
: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A

VI. Tích có hướng của hai véc tơ:
1. Đònh nghóa:
Tích có hướng của hai véc tơ
123 123
(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb==
G G
là một véc tơ được
ký hiệu : có tọa độ là : ;ab
⎡
⎣
GG
⎤
⎦2331
12
2331
12
;;;
aaaa
aa
ab

⎣⎦ ⎣⎦
GG G GG G
A

•

1
.;
2
ABC
SAB
Δ
⎡⎤
=
⎣⎦
JJJG HJJG
AC

B
C

•

;
ABCD
SAB
⎡⎤
=
⎣⎦
.

C
D121
•

1
.;.
6
ABCD
VABAC
⎡⎤
=
⎣⎦
JJJG JJJG JJJG
AD
b
GG

A
B
C
D

•

cùng phương ; 0aba
⎡⎤
⇔=

0
a có giá song song hoặc trùng với ( )
a
⎧
≠
⎪
⎨
Δ
⎪
⎩
G G
G

a
Ga
K
a
K

)(
Δ
Chú ý:
•

Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.
•


α
hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của
nó. α
b
K
a
b

122
3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :
n
K
αn
là VTPT của mặt phẳng
G
α
đn
⇔
0
n có giá vuông góc với mp
n

bbbb
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
G
G
thì mp
α
có một VTPT là : 2331
12
2331
12
;;;
aaaa
aa
nab
bbbb
bb
⎛⎞
⎡⎤
==
⎜⎟
⎣⎦

()()()0A xx Byy Czz− +−+−= Đònh lý 2:
Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng : 0AxByCzD
+++=
với
222
0ABC+ +≠

α
],[ ban
K
KK
=
a
K
b
K
);;( CBAn =
K
);;(
0000
zyxM
α
);;( CBAn =
K

(;;)(): 0 Ax 0M xyz AxByCzD By Cz D
α
∈+++=⇔+++=
Các trường hợp đặc biệt:

1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
•

(Oxy):z = 0
•

(Oyz):x = 0
•

(Oxz):y = 0
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
•

Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại
(;0;0)
(0; ;0) (a,b,c 0)
(0;0; )
Aa
Bb
Cc
⎧
⎪
≠
⎨
⎪

Bài 2
: Cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3)
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với
mặt phẳng chứa tam giác.
III. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:
Hai bộ n số : được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số
12
12
(, ,..., )
( , ,..., )
n
n
aa a
bb b
⎧
⎨
⎩
0t
≠
sao cho

11
22
.
.
nn
atb
atb
atb


Đònh lý:
Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng
,
α β
xác đònh bởi phương trình :

1111 1111
2222 222
( ): 0 có VTPT ( ; ; )
():
2
; )0 có VTPT ( ;
A xByCzD n ABC
A xBy C
α
β
+++= =
++
CzD n AB+= =
JJG
JJG

β
α
1
n
K

β