http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
1

CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN

Phần I: Các phương pháp lập phương trình mặt phẳng
Bài toán 1. Lập phương trình mặt phẳng


P
đi qua điểm A và có cặp vectơ chỉ
phương
, .
u v
 

Phương pháp:
Bước 1: Tính vectơ
, .
n u v
 

 
  

Bước 2: Mặt phẳng









3; 2;5 , 1; 1;3 , : 3 2 4 0.
A B Q x y z
     

Giải
Ta có


2;1;2
MN  

,


1; 3;2
Q
n  

,
 
, 4;2;5
Q
MN n
 


: 4 2 5 9 0
P x y z
   
.
Bài tập: Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
1) Đi qua điểm A


1; 2;1
 và có cặp vectơ chỉ phương




1;0;1 , 2;1;0
u v 
 
.
Đáp số:
2 4 0.
x y z
   

2) Đi qua điểm A, vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R) với:





P
theo đoạn chắn.
Phương pháp:
http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
2

Bước 1: Viết phương trình


P
qua 3 điểm






;0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
với a
0
abc

có
dạng
 

A a B b C c
thuộc Ox, Oy, Oz (
, , 0
a b c

). Phương trình mặt phẳng
 
: 1.
x y z
P
a b c
  
Vì


1;2;3
M thuộc


P
nên
1 2 3
1
a b c
  
. Áp dụng bất đẳng thức cô si ta
có:
3
1 2 3 6
3 27.6


 
     
 
 
 




. Vậy


: 6 3 2 18 0.
P x y z
   

Bài tập:
Bài 1. Cho hai điểm


4; 9;12
M   ,


2;0;0
A .
a. Lập phương trình




Bài 2. Lập phương trình mặt phẳng


P
trong các trường hợp sau:
a. Đi qua


2; 1;4
M  cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại P; Q; R sao cho:
OR 2 2 .
OP OQ
 
Đáp
số:
2 2 6 0;2 2 10 0;2 2 2 0;2 2 2 0.
x y z x y z x y z x y z
               

b. Đi qua


1;2;3
M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C sao cho tam giác ABC đều. Đáp số:


: 6 0.
P x y z
   



 
 
với

là góc giữa hai mặt phẳng (P ) và (Q).
Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua




0;0;1 , 3;0;0
M N và tạo với mặt phẳng Oxy một
góc
60

.
Giải
Gọi


: Ax 0
P By Cz D
   
với
2 2 2
0
A B C
  

 

;


Ox
0;0;1
y
n 


Ox
2 2
2 2 2
Ox
.
3
1
Cos60 26
2
9
y P
y P
n n
A
B A
n n
A B A
    
 

.
Đáp số:
2 3 3 0.
x y z
    

b) Chứa trục Oz tạo với mặt phẳng


: 2 5 7 0
Q x y z
   
một góc
60

.
Đáp số:
3 0; 3 0.
x y x y
    

Bài toán 4. Lập phương trình mặt phẳng (P) sử dụng công thức về khoảng cách.
Phương pháp: Bước 1: Định dạng mặt phẳng


P
theo giả thiết bài toán ( Tìm mối liên hệ giữa
A, B, C, D). Bước 2: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ




2; 1;4
B  một khoảng bằng 4.
http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
4

Giải
Vì (P)
/ /
(Q) nên




: 2 2 0 5
Q x y z D D
    
. Khoảng cách từ B đến (P)
 
 


,
2 2 1 2.4
1 4 4
B P
D
d









1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1 , 0;3;1
A B C D  . Lập phương trình mặt phẳng
(P) qua A, B và cách đều C, D.
Giải
Giả sử


: Ax 0
P By Cz D
   
với
2 2 2
0
A B C
  
. Vì A, B thuộc (P) nên ta có:
2 0 3 2 0
2 3 0 2 3
A B C D A B C
A B C D D A B C
      
 

Với
2
A B

thì
2 7
C D

, chọn
7 2, 4, 15
C B A D
     



: 4 2 7 15 0
P x y z
   

Với
3 2
A C

thì
0
B

, chọn
2 3, 5
A C D

1; 2; 1 , 3; 2; 3 , 4;4; 2 , 3;2; 4
A B C D
      
. Lập phương
trình mặt phẳng (P) qua C, D sao cho
 
 
 
 
, ;
2
A P B P
d d
. Đáp số:
2 8 28 0
x y z
   
;
34 31 88 188 0
x y z
   
.
Bài 2. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với


: 4 3 12 1 0
Q x y z
   
và tiếp xúc với
mặt cầu

Phương pháp:
 Vì


d P
 nên chọn
d P
u n

 
.

d
qua M , có vectơ chỉ phương
d P
u n

 
.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có






1; 2;1 ; 4;0;2 ; 2; 1; 4
A B C
  
. Viết phương trình

11;16;1
n  

là VTPT của
mặt phẳng


ABC
.
Vì


d ABC
 nên


11;16;1
d
u n  
 
. Đường thẳng
d
qua điểm


0;0;0
O , có VTCP


11;16;1

P
. Tính khoảng cách từ H đến


P
.
Đáp số : 1)
2 1 1
:
2 1 1
x y z
d
  
 

; 2)
6
.
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với
1 2
,
d d
(
1 2
,
d d
không
cùng phương).
Phương pháp:
 Vì



1;1;3
A , vuông goác với hai đường thẳng
1
1 3 4
:
1 1 2
x y z
d
  
 

và
2
1 12
: .
2 1 1
x y z
d
 
 

Giải
http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
6

Ta có :

Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua


2; 1;1
A  và vuông góc với hai đường thẳng sau
1
1 2 2
:
1 1 2
x y z
d
  
 
 
và
2
2
: 3 2 , .
0
x t
d y t t R
z
 


   





Ví dụ: Viết phương trình d qua


1;1;1
A , vuông góc với
1
1 1
:
1 2 1
x y z
d
 
 

và cắt đường
thẳng
2
:
1 2 2
x y z
d
 
.
Giải
 Gọi (P) là mặt phẳng qua


1;1;1
A vuông góc với
1


P


0;0;0
B



1; 1; 1
AB
   

. Đường thẳng d qua


1;1;1
A có VTCP


1;1;1
u 

nên đường
thẳng d có phương trình
1 1 1
: .
1 1 1
x y z
d

1 3 5
x y z
d
  
 
 

Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt hai đường thẳng
1 2
;
d d

http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
7

Phương pháp:
 Gọi
1 2
;
M d N d
 
.
 Vì A, M, N thẳng hàng nên
AM k AN

 
từ đó suy ra toan độ M, N.
 Phương trình d qua 2 điểm A,M hoặc A, N.

;1 2 ;1
M t t t
 
và


;2 ;2
N u u u
thuộc
1 2
;
d d
. Ta có :


1; 2 ;
AM t t t
  

;


1;2 1;2 1
AN u u u
   

.
 Vì A, M, N thẳng hàng nên
AM k AN


1;0;0
AM  

. Suy ra d có phương trình
1
: 1 , .
1
x t
d y t R
z
 


 





Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d qua


1; 1;1
A  , cắt cả hai đường
1 2
;
d d
có phương
trình
1

  
 


Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng d qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng

.
Phương pháp:
 Gọi
M
 
AM


.
 Vì
. 0
AM AM u

   
 
M

.
 Phương trình d qua hai điểm A và M.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d qua


4; 2;4
A   , cắt và vuông góc với đường thẳng




1 2 ;3 ; 5 4 ; 2; 1;4
AM t t t u

       
 
.
Ta có :


. 0 1 3;2; 1
MA AM u t AM

         
  
. Đường thẳng d qua


4; 2;4
A   , có
VTCP


3;2; 1
u
 

. Vậy

.
Bài toán 6: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1 2
;
d d
.
Phương pháp:
 Gọi A, B thuộc
1 2
;
d d
(theo 2 tham số khác nhau).
 Ta có:
1 1
2
2
. 0
. 0
AB d AB u
AB d
AB u

 



 




.
Giải
Gọi


3 ; 1 ;4
A t t t
   
;


2 2 ;4 ; 3 4
B u u u
    
1 2
;
d d
,


1 2 ;5 ; 7 4
AB u t u t u t
        


Ta có:


 
1 1


 
 

Đường thẳng d qua


1;1; 2
A , có VTCP


3;2; 1
u
 

. Vậy
1 1 2
:
3 2 1
x y z
d
  
 

.
Bài tập: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
1 2
;
d d
biết:

;
d d
.
Phương pháp:
http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
9

 Xác định




1 2
;
A d P B d P
    .
 Phương trinh AB chính là phương trình d.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng


: 2 4 0
P x y z
   
và cắt cả
hai đường
1
3 2 6
:

2 3 2 2 6 5 4 0 1
2; 3;1
1
3; 2;0
2(6 3 ) 2 1 4 0
A
t t t t
AB
u
B
u u u


        

 
    
  
 

     






. Đường thẳng d qua



d y t
z
 







và
2
2
: 4 2
1
x u
d y u
z
 


 




. Đáp số:
1
: .
4 2 1

 
 
Chọn
P
u n u

 
  
.
 Gọi


.
M d M P
      
 Viết phương trình d qua M có VTCP
u

.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng


: 1 0
P x y z
   
cắt và
vuông góc với
1 1 1
:
1 2 2



 

 
 
 
 
 



 
 
Chọn


4; 3;1
P
u n u

   
  
. Gọi M
là giao điểm của
d
với


P


Đường thẳng d qua


1;1;1
M , có VTCP


4; 3;1
u  

. Vậy
1 1 1
: .
4 3 1
x y z
d
  
 


Bài tập: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng


: 2 2 9 0
P x y z
   
cắt và
vuông góc với
1 3 3

).
Phương pháp:
 Nếu


/ /
P
 thì:
 Chọn điểm M thuộc

. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên


.
P

 d qua H và có VTCP là
u


.
 Nếu d cắt


P
thì:
 Viết phương trình mặt phẳng


Q

.
Giải
Nhận xét :

cắt


P
.
Gọi


Q
là mặt phẳng chứa

và vuông góc với mặt phẳng (P).


Q
qua M


2; 1;2
 có VTPT


5;1;8
n  



4 1 3
: .
25 13 14
x y z
d
  
 

Bài tập: Cho đường thẳng
8 3
:
1 1 3
x y z
d
 
 

và mặt phẳng


P
đi qua 3 điểm


7;0;0
A ,


0;7;0
B ,

.
os
.
d
d
u u
c
u u




 
 
.
Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d qua


1;1; 2
A và vuông góc với
1 2
:
2 1 2
x y z
 
  
và
tạo với trục Oz 1 góc

sao cho:

 
 
2 2 .
b a c
  
Ta có

2 2 2 2 2
os( , ) os .
5 8 5
c c
C d Oz C
a b c a ac c

  
   

1)
2 2
2 2
1
45 5 8 3 0
5 3
2
5 8 5
a c
c
a ac c
a c
a ac c



Với
5 3
a c
 
. Chọn
1 3
5 3; 4 : 1 4 , .
2 5
x t
c a b d y t t R
z t
 


         


 


http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
12

2) Ta có :
2
2

1 1 5
Cos
5 8 5 9
4 9
5
5 5
t t
t

  
 
 
 
 
 
. Với
0 90

 
 
thì

nhỏ
nhất khi
os
C

lớn nhất
2
os

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua


1;2;3
A và tạo với các trục Ox, Oy các góc lần
lượt là
60

và
45

. Đáp số:
1
: 2 2 , .
3
x t
d y t t R
z t
 


  


 


Bài 2: Cho đường thẳng
2
:

d y t
z
 


  





hoặc
3 7
: 1 8 , .
1 15
x t
d y t t R
z t
 


   


 


Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng sử dụng công thức về khoảng cách.
Phương pháp: Đường thẳng


,
đồng thời d cách gốc tọa độ một khoảng bằng
2.

Giải
http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
13

Gọi


; ;
u a b c


với
2 2 2
0
a b c
  
là VTCP của đường thẳng d. Vì d
 
nên
. 0
d
u u



;
2 2 2 2 2
6 6
2
5 4 5
d
o d
d
OA u
b b
d
u
a b c a ab b

    
   
 

 
2
0
a b
  
a b
  
. Chọn
1 1; 1
a b c
     
, đường thẳng

 
 


Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong


: 1 0
P x y z
   
, vuông góc với
1 1 1
:
1 2 2
x y z
  
   và cách giao điểm của

với


P
một khoảng là
78.

Đáp số:
3 6 8
:
4 3 1
x y z

d
nằm trong mặt phẳng


P
sao cho cho
d
vuông góc với

và khoẳng cách
giữa hai đường
d
và

bằng
2 21
3
.
Đáp số:
5 2 5
:
2 3 1
x y z
d
  
 

hoặc
3 4 5
:


; ;
I a b c
và bán kính mặt cầu là
2 2 2
R a b c d
   
.
Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1) Đi qua 3 điểm






0;1;0 , 1;0;0 , 0;0;1
A B C và có tâm thuộc mặt phẳng


: 3 0
P x y z
   
.
2) Đi qua 4 điểm






c d
  


  


  




 
 
1
2
3
. Mặt khác tâm




; ;
I a b c P
 nên ta có:
3 0
a b c
   



thuộc


S
nên ta có:
2 2 2 0
4 4 0
4 4 0
0
a b d
b d
c d
d
   


  


  







 
 
 

   
. Đáp sô:
 
2 2 2
39 51 57 272
: 0.
5 5 5 10
S x y z x y z
      

2) Đi qua 4 điểm








1;4;0 , 4;0;0 , 2; 2;0 , 1;1;6
A B C D   .
Đáp số:


2 2 2
: 4 12 0.
S x y z x y z
      

Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.


.
2) Qua hai điểm


3;1; 1
A

,


5;5;0
B và có tâm thuộc trục Ox.
Giải
1) Mặt cầu


S
có tâm


1;2; 1
I

có dạng :
       
2 2 2
2
: 1 2 1
S x y z R

S
có tâm
Ox
I

, có dạng:
   
2
2 2 2
: .
S x a y z R
   
Điểm


3;1; 1
A

   
2
2
3 1
S a R
    



1
.
Điểm

2 2
: 10 50
S x y z
   
.
Bài tập: Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
1) Qua


3;2;8
A và có tâm


1;3;6
I . Đáp số:
       
2 2 2
: 1 3 6 9.
S x y z
     

2) Qua ba điểm


2;3;3
A  ,


1;1; 2
B  ,


,
d I P R

thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu


S
theo giao tuyến là một đường tròn tâm
H
,
có bán kính
r
với:

H
là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P).

 


2 2
,
r R d I P
 
.
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm


1; 2;3

  
. Gọi
R
là bán kính mặt cầu


S
ta có




2 2 2
; 4
R r d I P
  
. Vậy
       
2 2 2
: 1 2 3 4.
S x y z
     

Bài tập: Viết phương trình mặt cầu có tâm


1;2;0
I , cắt mặt phẳng




P
cắt mặt cầu


S
theo một đường tròn. Xác định tâm và bán
kính của đường tròn đó.
Giải
Mặt cầu


S
có: Tâm


1;2;3
I và bán kính
2 2 2
1 2 3 11 5
R
    
. Ta có




,d I P



:
IH
Qua


1;2;3
I , có VTCP


2; 2; 1
u
  

,
1 2
: 2 2 , .
3
x t
IH y t t R
z t
 


  


 


H là giao điểm của IH và




   

.
Vậy


4; 3;0;2 .
r H
Bài tập: Gọi
T
là giao tuyến của
   
2 2
2
( ) : 3 ( 2) 1 100
S x y z      với mặt phẳng
( ) : 2 2 9 0
P x y z
   
.Xác định tâm và bán kính của
T
.
http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
17


2 2
,
4
AB
R d I AB
  .
Ví dụ: Viết phương trình mặt cầu có tâm


1;1;1
I , cắt đường thẳng
14 5
:
4 1 2
x y z
 
  

tại hai
điểm A và B sao cho
16.
AB


Giải
Ta có: VTCP của

là




 
   
 
 

. Gọi R là bán kính của mặt
cầu


S
thì
 
2
2 2
,
4
AB
R d I
  
81

. Vậy:
     
2 2
2
: 1 1 ( 1) 81.
S x y z     
Bài tập: Viết phương trình mặt cầu có tâm




P
và


.
Q

Phương pháp:
 Gọi
I
 
(theo tham số).
 Vì


S
tiếp xúc với hai mặt phẳng


P
và


Q
nên




Giải
http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
18

Vì


2 ;1 2 ;8 2
I I t t t
     ;
 
 
14
,
3
t
d I P
 
 ,
 
 
8
,
3
t
d I Q
 
 . Do

     
2 2
2
: 13 21 ( 14) 1.
S x y z
     

Bài tập:Viết phương trình mặt cầu


S
có tâm thuộc đường thẳng
3 6
:
1 1 1
x y z
 
  

và tiếp
xúc với hai mặt phẳng:




: 2 2 6 0; : 2 2 7 0.
P x y z Q x y z
       

Đáp số:

P
cắt mặt cầu


S
tâm
I
, bán kính
R
theo một đường tròn tâm
H
, bán
kính
.
r
Khi đó chọn
P
IH n

 
.
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng


P
song song với mặt phẳng


Q
và tiếp xúc với mặt





/ /
P Q
nên


( ):4 3 12 0 1
P x y z d d
    
. Mặt khác


P
tiếp xúc với mặt cầu
( )
S
nên




, .
d I P R
 

78
26

và tiếp xúc với mặt
cầu
( )
S
với:


: 4 3 17 0
Q x z
  
và
2 2 2
( ) : 6 4 2 11 0
S x y z x y z
      
.
Đáp số:
( ):4 3 40 0
( ):4 3 10 0
P x z
P x z
  


  

.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng




/ /
P Q
nên
( ): 2 3 0
P x y z d
   



1
d

. Đường tròn có chu vi
2

nên
1
r


 
 
2 2
1 2 6
, 5 5 9 70.
14
d
d I P R r d
  

Q
và cắt
( )
S
theo một đường
tròn có bán kính bằng 4.
S:( ) : 3 2 3 14 0
Đ P x y z
   
.
Bài toán 9: Bài tập tổng hợp.
Bài 1: Cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 4 8 16 0
S x y z x y z
      
, và đường thẳng có phương trình
3 1
( ) :
1 1 2
x y z
 
  

.Viết phương trình
( )
P
,chứa đường thẳng

tiếp xúc với

 
  
 
.Viết phương
trình mặt cầu tâm
I
 
và tiếp xúc với
( )
P
và
( )
Q
.
           
2 2 2 2 2 2
2 2
S:( ): 11 26 35 38 ;( ): 1 2 1 2
Đ S x y z S x y z
           
.
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng
( )
P
chứa
10 10
:
10 8 1
x y z
 


.
 
2
2 2
S: ( ): 2 25
Đ S x y z
   
.
Bài 5: Cho
( ) : 3 6 21 0
P x y z
   
và mặt cầu
( )
S
có bán kính bằng 5,tâm thuộc Ox và tiếp
xúc với mặt phẳng Oyz.Tính bán kính tọa độ tâm của đường tròn
( )
C
là giao của mặt cầu
( )
S

với mặt phẳng
( )
P
.





ABC
theo một đường
tròn có bán kính nhỏ nhất.
2
2 2
17 9 7 179
S: ( ):( ) ( )
10 10 10 100
Đ S x y z
 
     
 
 
.
Bài 7: ĐH khối
1
,
A A

_ 2012

Cho đường thẳng
1 2
( ) :
1 2 1
x y z
 
   .Viết phương trình mặt cầu

1
:
2 1 2
x y z
d

 

và hai điểm




2;1;0 , 2;3;2
A B  . Viết phương trình mặt
cầu qua A, B và có tâm thuộc
.
d

 
2
2 2
S:( ):( 1) ( 1) 2 17.
Đ S x y z     
Bài 9: ĐH khối D_2012
Cho mặt phẳng
( ) : 2 2 10 0
P x y z
   
và điểm



S
qua mặt phẳng.
2 2 2
S: ( ) : ( 3) 25.
Đ S x y z   

Phần IV: Các bài toán phối hợp giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Bài toán 1: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng

, từ
đó suy ra M’ đối xứng với M qua

.
Phương pháp:
 Bước 1: Chuyển

về dạng tham số suy ra
H
 
. Vì
MH
 
nên
. 0
MH u



Ví dụ: Cho


2;3;5
M và
1 2
:
2 1 2
x y z
 
   . Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên

, từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua

.
Giải
Ta có
1 2
:
2 2
x t
y t
z t
 


 


 




. 0 2 2 1 5 2 2 1 0 1 3;1;4
MH u t t t t H

          
 
.
H là trung điểm của MM’ nên :
 
'
'
'
2 4
2 3 ' 4; 3;5
2 5
M H M
M H M
M H M
x x x
y y y M
z z z
  


     


  

51 51 51
H
 
 
 
 
.
2. Cho


2; 1;1
M  , và đường thẳng
1 1
:
2 1 2
x y z
 
  

. Tìm tọa độ M’ đối xứng với m
qua

.

Bài toán 2: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng

, từ
đó suy ra M’ đối xứng với M qua

.



 


 

.
Ví dụ: Cho


1;2; 1
M

và


: 3 0
P x y z
   
. Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của M
trên


P
, từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua


P
.


. Ta có tọa độ H là nghiệm:
1
2
1
3
3 0
x t
y t
t
z t
x y z
 


 

 

  


   




2;1;0
H .
H là trung điểm của MM’ nên :

M .
Bài tập:
1. Cho


3;3;3
M và mặt phẳng


: 2 3 4 0
P x y z
   
. Tìm điểm H là hình chiếu vuông
góc của M trên


P
, từ đó suy ra M’ đối xứng với M qua


P
. Đáp số:


1;2;0
H ,


' 1;1; 3
M

.
b) Tìm


M P
 sao cho :
MA MB

nhỏ nhất. Đáp số:
5 4 7
; ;
6 3 6
M
 
 
 
 
.
Bài toán 3: Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: Biểu diễn điểm đó theo tham số, sau đó dùng công thức về độ dài đoạn
thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt, khoảng cách từ một điểm đến một đường
từ đó suy ra điểm cần tìm.
http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
23

Ví dụ 1: TSĐH khối B_ 2010 ( Ban nâng cao). Cho đường thẳng
1
:


2;1;2
u



.


2;2 ; 2
MA u m m

   
 
. Ta có
 
2
,
5 4 8
3
M
MA u
m m
d
u




 




2;0;0 .
M

Ví dụ 2: Cho đường thẳng
1 2
:
2 1 2
x y z
 
  

và mặt phẳng


: 10 0
P x y z
   
. Tìm điểm
M thuộc

sao cho


; 3
d M   .
Giải
Ta có:

5; 6;10
9 3 6
9
; 3 3
9 3 12
23; 12;22
3
M
t t
t
d M
t t
M
  
   

 
      

 
    
 
 


.
Vậy :


5; 6;10


: 2 2 1 0
P x y z
   
. Tìm
1
M

sao cho






2
; ;
d M d M P
  .
Giải
http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
24

Ta có:


2
1;3; 1A

 . Vì






2
; ;
d M d M P
  nên :
2 2
1
11 20
29 88 68 35 88 53 0
53
3
35
t
t
t t t t
t




       





và
2
2 1
:
2 1 2
x y z
 
  
. Tìm
1
M

sao cho


2
; 1
d M
 
. Đáp số:


4;1;1 ,
M


7;4;4
M
2. TSĐH khối B_2009 ( Ban cơ bản). Cho điểm

d O ABC

. Đáp số:
1
0; ;0
2
A
 
 
 

và
1
0;0;
2
M
 
 
 
.
3. TSĐH khối B_2011 ( Ban nâng cao) . Cho đường thẳng
2 1 5
:
1 3 2
x y z
  
  

và hai
điểm

x y z
d
 
;
2
1 1
:
2 1 1
x y z
d
 
 

và


: 0
P x y z
  
. Tìm tọa
độ
1
M d

;
2
N d

sao cho:


 
.
Bài toán 4: Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp: Từ các giả thiết của bài toán ta tìm được 2 mối liên hệ giữa hoành độ, tung
độ và cao độ của điểm đó. Kết hợp với điểm đó thuộc mặt phẳng cho trước ta suy ra điểm
cần tìm.
http://baigiangtoanhoc.com Khóa hoc :Các chủ đề trọng tâm ôn thi đại học

Biên soạn: Nguyễn Đăng Dũng_ GV chuyên sư phạm_GV trung tâm luyện thi VIP.
25

Ví dụ 1: Cho hai điểm
(0;3; 1)
A

;


2;0; 1
B

và mặt phẳng
( ) :3 8 7 1 0
P x y z
   
. Tìm điểm
C thuộc mặt phẳng


P

    
 
 
   





2
2
1
a
b
c
 


 




;
2
3
2
3
1
3

Ví dụ 2: TSĐH khối B_2011 (Ban cơ bản) . Cho đường thẳng
2 1
:
1 2 1
x y z
 
  
 
và mặt
phẳng


: 3 0
P x y z
   
. Gọi


I P
   . Tìm


M P
 sao cho
MI
 
và
4 14
MI  .
Giải

2 2 2
3 0 5 3
2 2 0 9 ; 7
11 13
1 1 1 224
a b c a a
a b c b b
c c
a b c

      
 

  
        
  
  
  
 
     


.
Vậy :


5;9; 11
M  ;



M và
6 4 12
; ;
7 7 7
M
 

 
 
.