Bài tập Toán khối 11
Sƣu tầm biquyetthanhcong.net diễn đàn thông tin tổng hợp
1
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1. Hai cung đối nhau: -x và x

cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
xx
xx
xx
xx

  
  
  

2. Hai cung bù nhau:
x


và x

sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
xx

   
   
   
   

4. Hai cung hơn kém nhau Pi:
x


và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
xx
xx
xx
xx




  
  


5. Các hằng đẳng thức lượng giác
22
2
2

2 2 2 2
sin2 2sin cos : sin 2sin cos
22
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x

     

8. Công thức nhân ba:
33
sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x   

9. Công thức hạ bậc:

22
1 cos2 1 cos2
sin cos
22
xx
xx



10. Công thức biến đổi tích thành tổng

 
 
 

xy
x y x y
xy
x y x y
xy
x y x y
xy







A. CễNG THC BIN I
I/. GI TR LNG GIC
Bi 1: Cho
33
sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot .
52
p
a p a a a a
ổử
ữ
ỗ
=-
ữ

=
-
bit tanx = -2
Tớnh
22
2
sin x 3sinxcosx 2cos x
C
1 4sin x
+-
=
+
bit cotx = -3
Bi 5: Chng minh:
4 4 2 2 6 6 2 2
a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x

(s dng nh 1 cụng thc)
2 2 2 2 2 2
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx

Bi 6: Chng minh cỏc ng thc sau:

22
2 2 2
2 2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x

sin x+cos x-1
E= sin x+4cos x+ cos x+4sin x; F= ;
sin x+cos x-1
44
6 6 4
22
sin x+3cos x-1
G=
sin x+cos x+3cos x-1
H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )
2
p
ộự
ờỳ
ẻ
ờỳ
ởỷ

II/. GI TR LNG GIC CA CUNG C BIT
* Bit 1 HSLG khỏc:
Bi 1: Cho sinx = - 0,96 vi
3
x2
2
p
p
ổử
ữ
ỗ
<<

( )
( ) ( )
( )
2cos sin tan
22
A 2cos ;
cot sin
2
33
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3
cos 2 tan
cos cot
2
pp
a a p a
a
p
a p a
p p p p
a b b a
b b b
p
p b p a
p a b
æ ö æ ö
÷÷
çç

--
÷
ç
÷
ç
èø

Bài 3: Đơn giản biểu thức:

( ) ( )
( )
( ) ( )
95
A sin 13 cos cot 12 tan ;
22
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2tan
2 2 2
pp
p a a p a a
p p p
p a a a a
p p p
p a a p a a a
æ ö æ ö
÷÷
çç

o o o o o
A sin a sin 2 a sin 3 a ... sin 100 a
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
p p p p= + + + + + + + +
= - - - + + + - + -

Bài 5: Đơn giản biểu thức:

( ) ( )
( )
( )
oo
o o o
19
tan x .cos 36 x .sin x 5
2sin 2550 cos 188
1
2
AB
9
tan368 2cos638 cos98
sin x .cos x 99
2
p
pp
p
p
æö
÷
ç

pp
- + - + =
æ ö æ ö
÷÷
çç
+ + + + + + - =
÷÷
çç
÷÷
çç
è ø è ø

Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh:

A B C
a /sin(A B) sinA; b/cosA cos(B C) 0; c/sin cos;
22
3A B C
d/cosC cos(A B 2C) 0; e/sinA cos 0
2
+
+ = + + = =
++
+ + + = + =

III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau:
o o o o o
15 ,75 ,105 ,285 ,3045


tan ,tan
23
ab==
. a/ Tính
( )
tan ab+
b/ Tính
ab+

Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả :
xy
4
tanx.tan y 3 2 2
p
í
ï
ï
+=
ï
ì
ï
ï
=-
ï
î

a/ Tính
( )
tan x y ;tanx tan y++
b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.

4
p
a
æö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
èø
theo
tana
. Áp dụng: Tính tg15
o

Bài 15: Tính:
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
oo
tan25 tan20 1 tan15
A sin20 cos10 sin10 cos20 B C
1 tan25 .tan20 1 tan15
3 tan225 cot81 .cot69
D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F
3

ç ç ç ç
= + + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

2 2 2 2 2 2
22
A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3 3 3
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + - = + + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

Bài 18: Chứng minh:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
A B B
6/ tan tan tan
22
p
=-
=-
æö
÷
ç
¹
÷
ç
÷
ç
èø
+
C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
+=
+ + =


( ) ( ) ( )
a/ cos4x cos3x; b/ cos3x cos6x; c/ sin5x sinx
d/ sin a b sin a b ; e/ tan a b tana; f / tan2a tana
+ - +
+ - - + + -

Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -
( )
2 2 2
2 2 2
4cosA.cosB.cosC
13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2

( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23: Chứng minh
ABCD
vuông nếu:

( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tanB sin B
a / tanA.tanB.tan 1; b/ ; c/
2 tanC sin C sin B sin C sin B sin C
+-
= = =
+-

Bài 27: Hãy nhận dạng
ABCD
biết:

2 2 2
sinA
a / sin4A sin4B sin4C 0 b/ cos A cos B cos C 1 c/ 2sinC
cosB
+ + = + + = =

B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
A
B
có nghĩa khi B
0
(A có nghĩa) ;

Hàm số y = cotx xác định khi
xk



Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x


3) y = sin
4x 

4) y = cos
2
32xx
5) y =
2
os2xc
6) y =
2 sinx