Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1. Hai cung đối nhau: -x và x
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
2. Hai cung bù nhau:
x
π
−
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π

π
+
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
5. Các hằng đẳng thức lượng giác
2 2
2
2
1
. sin cos 1 . 1 tan
cos
1
. 1 cot . tan .cot 1
sin
a x x b x

sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = −
9. Công thức hạ bậc:
2 2
1 cos2 1 cos2
sin cos
2 2
x x
x x
− +
= =
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
= − + +
= − − +
= − + +
11 . Công thức biến đổi tổng thành tích

3 3
sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot .
5 2
p
a p a a a a
ổ ử
ữ
ỗ
=-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 2: Cho 5cosa + 4 = 0
( )
o o
180 < a < 270
.Tớnh sina , tana, cota.
Bi 3: Cho
o o o o
tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .= -
Bi 4: Tớnh
tan x cot x
A
tan x cot x
+
=
-
bit

2 2
2 2 2
2 2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx
1+cosx
g/
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin y
i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx
tan x.tan y sin x.sin y
Bi 7: * Chng minh cỏc biu thc sau c lp i vi x:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 6 4 4 4 2 4 2
2

p
ổ ử
ữ
ỗ
< <
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

a/ Tớnh cosx ; b/ Tớnh
( ) ( )
sin x , cos x , tan x , cot 3 x
2 2
p p
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ - + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Nguyn Hu Hiu - GV Trng THPT Hựng Vng- TX ng Xoi-Bỡnh Phc
2
Trng THPT Hựng Vng Bi tp Toỏn khi 11
Bi 2: Tớnh:

ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
- + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
= -
ổ ử
ữ
ỗ
+ -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
+ + - +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
= - + -
ổ ử

ữ ữ
ỗ ỗ
= + - - + - + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - + - - + -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= + + - - - + - + -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
ữ
Bi 4: n gin biu thc:

( ) ( ) ( ) ( )

- - -
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ố ứ
= = +
ổ ử
+
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 6: Chng minh:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
2 2
a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0
85 3
b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1
2 2
p p
p p

p p p p p
Bi 10: Tớnh
cos x
3
p
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
bit
12 3
sin x , ( < x < 2 )
13 2
p
p=-
Bi 11: Cho 2 gúc nhn
,a b
cú
1 1
tan ,tan
2 3
a b= =
. a/ Tớnh
( )
tan a b+

÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
biết
40
sin x
41
=-
và
3
< x <
2
p
p
Bài 14: Tính
tan
4
p
a
æ ö
÷
ç
+
÷
ç

a / A cos x cos x cos x cos x
3 4 6 4
2 2
b/ B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x
3 3 3 3
p p p p
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

2 2 2 2 2 2
2 2
A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x

+ - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh:

1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
A B B
6/ tan tan tan
2 2
p
= -
= -
æ ö
÷
ç
¹
÷

æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - - -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
4
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11

( ) ( ) ( )
a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x; c/ sin5x sin x
d / sin a b sin a b ; e / tan a b tana; f / tan 2a tan a
+ - +
+ - - + + -
Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C
10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -

= + = + = =
Bài 25: Chứng minh
ABCD
đều nếu:
1 3
a / cos A.cosB.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c/ cos A cos B cosC
8 2
= + + = + + + + =
Bài 26: Chứng minh
ABCD
cân hoặc vuông nếu:

( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c/
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+ -
= = =
+ -
Bài 27: Hãy nhận dạng
ABCD
biết:

2 2 2
sin A
a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C

π π π π
= ⇔ = + ⇔ ⇔ +
5) Hàm số y = tanx xác định khi
2
x k
π
π
≠ +
Hàm số y = cotx xác định khi
x k
π
≠
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x
+
+
3) y = sin
4x +
4) y = cos
2
3 2x x− +
5) y =
2
os2xc
6) y =
2 sinx−

x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ
D
; Kiểm tra
,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng

− = →


− = − →


− ≠ ± →

0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y =
1
2
tan
2
x 5) y = sin

2 ; 2k kπ π + π
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
;
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 ÷
 
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
;k kπ π + π
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên
;
6 3
π π
 
−
 ÷
 
2) y = cosx trên khoảng
2 3
;
3 2
π π
 
 ÷
 

π π
 
−
 
 

7) y = tan3x trên khoảng
;
12 6
π π
 
−
 ÷
 
8) y =sin(x +
3
π
) trên đoạn
4 2
;
3 3
π π
 
−
 
 
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số
Hàm số

Khoảng

y = sinx
y = cosx
y = tanx
y = cotx
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
6
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K
⇒
y = A.f(x) +B
®ång biÕn trªn K nÕu A > 0
nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0



Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn
[ ]
;−π π
2) y = -2cos
2
3
x
π
 
+
 ÷
 
trên đoạn
2

os (2x + )
3
c
π
4) y =
2
1 os(4x )c+
- 2 5) y =
2 sinx 3+
6) y = 5cos
4
x
π
+
7) y =
2
sin 4sinx + 3x −
8) y =
2
4 3 os 3 1c x− +
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a ;
a ;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )

 
 
3) y = sinx trên đoạn
;0
2
π
 
−
 
 
4) y = cos
π
x trên đoạn
1 3
;
4 2
 
 
 
C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
sin u = sin v ⇔



+−=
+=
ππ
π

−+
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
7
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
asinx +bcosx = c ⇔
)sin(.
22
ϕ
++
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
.
Cách 2 :
Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z

(cossin
44
=++
π
xx
5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx
−=−
, 6.
tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x
− = +

7.
3(1 cos 2 )
cos
2sin
x
x
x
−
=
8.
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0

x
= +
8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9.
2
6sin 3 cos12 4x x+ =
10.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = 0 .
Cách 1 :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
• Xét
cos 0x
≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx.
Cách 2: Thay sin
2
x =
2
1
(1 – cos 2x ), cos
2

sin2x – 2cos
2
x = 4
4. 6sinx – 2cos
3
x = 5sin2x.cosx.
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
8
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
5.
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
6/ Phương trình dạng : a( cosx
±
sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
−t
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện

Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx
2/
x
x
2
cos
3
4
cos
=
ĐS : x = k3π , x= ±
4
π
+k3π , x = ±
4
5
π
+k3π
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(

2
2xcos
2
x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x

10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan
3
( x -
4
π
) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π
+ kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =

x ) ĐS : x=
4
π
+
2
π
k

5/ sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx ĐS : x =
4
π
+kπ
6/ 3cos
4
x – sin
2
2x + sin
4
x = 0 ĐS :x = ±
3
π
+ kπ v x=
4

sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin
3
x – cos
3
x = 1 + sinxcosx 6/
3
10
cossin
sin
1
cos
1
=+++
xx
xx

7/ tanx + tan
2
x + tan
3
x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6
8/
x
2
sin

3
x – sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1

5/ sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x 8/ sin
4
x + cos
4

tan
2
x – cos
2
2
x
= 0 12/ cotx – tanx + 4sinx =
xsin
1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
15/
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x
x
xx
x
16/ sin
2

cos2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
+ −
+
21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =
D. TOÅ HÔÏP
Tóm tắt giáo khoa
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và
B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách.
Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể
thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được
thực hiện bởi n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự
định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k ∈ ¥

C
là:
( )
( ) ( )
k
n
n n 1 n k 1
n!
C
k! n k ! k!
− − +
= =
−
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
( )
( )
*
k n k
n n
k k k 1
n 1 n n
Cho a, k :
C C 0 k n
C C C 1 k n
−
−
+
∈
= ≤ ≤
= + ≤ ≤

+ + + + =
–
( ) ( )
k n
0 1 2 3 k n
n n n n n n
C C C C 1 C 1 C 0
− + − + + − + + − =
Chú ý:
–
( )
n
n
k n k k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
11
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
–
( )
n
n
k k n k

Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ
ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =
−
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ
nối hai điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập
{ }
A 0,1,2,3,4,5=
có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:
( )
( )
k
n
n!
C 0 k n
k! n k !
= ≤ ≤
−

n
n
n 1
2P
A 1
P
−
=
.
Bài 9: Tìm
*
n ∈ ¥
, nếu có:
( )
3 3
n n 1
6n 6 C C . 2
+
− + ≥
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)
n
.
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
( )
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n
n n n n n n
k 0
a b C a b C a C a b C a b C a b C b

3
2 x
x


ữ

, (x > 0), hóy tỡm s hng khụng cha x.
Bi 12: Tỡm h s ca x
8
trong khai trin
( )
8
2
1 x 1 x

+

Bi 13: Cho khai trin:
( )
10
2 10
0 1 2 10
1 2x a a x a x a x+ = + + + +
, cú cỏc h s
0 1 2 10
a ,a , a , ,a
. Tỡm h
s ln nht
Bi 14: Tỡm s hng trong cỏc khai trin sau

ỗ
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
5) 33) S hng cha a, b v cú s m bng nhau trong khai trin
21
3
3
a b
b
a
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 15: Tỡm h s ca s hng trong cỏc khai trin sau

+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
3) H s ca s hng cha
8
x
trong khai trin
8
2
1 x (1 x)
ộ ự
+ -
ờ ỳ
ở ỷ

4) H s ca s hng cha
5
x
trong khai trin
( )
10
2 3
1 x x x+ + +

5) H s ca s hng cha
3

Dng 7: Tỡm tng cú cha
k
n
C
Phng phỏp gii: T bi, ta liờn kt vi mt nh thc khai trin v cho x giỏ tr
thớch hp, t ú suy ra kt qu.
Bi 16: Tớnh tng:
( ) ( )
k n
0 1 2 n 0 1 2 k n
1 n n n n 2 n n n n n
S C C C C ; S C C C 1 C 1 C= + + + + = + + + +
Bi 17: Tớnh tng:
0 2 4 2n 1 3 2n 1
3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n
S C C C C ; S C C C

= + + + + = + + +
Bi 18: Tớnh tng:
( )
n
0 1 2 2 3 3 n
n n n n n
T C 2C 2 C 2 C 2 C= + + +
Nguyn Hu Hiu - GV Trng THPT Hựng Vng- TX ng Xoi-Bỡnh Phc
13
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
E. CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
1. Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ

+ (n - 1)d
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số
hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số
hạng kề bên nó, tức là
2
11 +−
+
=
kk
k
uu
u
(k
≥
2).
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Đònh lí: Để tính S
n
tacó hai công thức sau:
• S
n
tính theo u
1
và d
[ ]
dnu
n
S
n

31840/
44/
20
15
−=
=
ub
ua
Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng
30.
Bài 3: Cho cấp số cộng:



=+
=−+
26
10
64
352
uu
uuu

Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của
chúng là 165.
Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của
chúng là 1140.
Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một
cấp số cộng với công sai là 25.

.
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
14
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
Bài 8: Một cấp số cộng (a
n
) có a
3
+ a
13
= 80.
Tìm tổng S
15
của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng
cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Bài 10: cho cấp số cộng (a
n
) có a
1
= 4, d = -3. Tính a
10
.
Bài 11: Tính u
1
, d trong các cấp số cộng sau đây:







=
=
72
31
/4
2
45
9
/3
94
103
6
4
uu
uu
S
S
ĐS: 1/ u
1
=
13
53
và d =
39
38
; 2/ u
1
= 3 và d = 4.

Bài 14: Cho cấp số cộng (u
n
) có a
10
= 10, d = -4.
Tính u
1
và S
10
. ĐS: u
1
= 46, S
10
= 280
Bài 15: Cho cấp số cộng (u
n
) có u
6
= 17 và u
11
= -1.
Tính d và S
11
. ĐS: d =
5
18
−
và S
11
= 187

1
,
Nếu u
1
= 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,
Để chỉ dãy số (u
n
) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu
u
1
, u
2
, , u
n
,
2. Số hạng tổng quát
Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
u
n
= u
1
1−n
q
(q
0
≠
)

1
−
−
=
q
q
uS
n
n
(q
≠
1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u
1
= 243 và u
6
= 1
2/ Cho q =
4
1
, n = 6, S
6
= 2730. Tìm u
1
, u
6
.
Bài 2: Cho cấp số nhân có: u

) biết:



=++
=++
351
13
654
321
uuu
uuu
Bài 6: Tìm cấp số nhân (u
n
) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số
hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai.
Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1
và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
16
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
PHẦN II. HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH
Câu 1: Trong mặt phẳng oxy,phép tònh tiến theo vectơ
( ; )v a b

biến điểm M(x;y)
thành M’(x’;y’) . Tìm tọa độ điểm M'
Câu 2:Trong mặt phẳng oxy cho điểm M (1;2) .Phép tònh tiến theo vectơ
(2;3)v

r
biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C')
Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)
2
+(y-4)
2
=25
. Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C')
Câu 12 :Trong các phép biến hình sau phép nào không phải là phép dời hình ?
A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vò tự tỉ số k=
1±
; C) phép tònh tiến ;
D)phép chiếu vuông góc
Câu 13 : Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)
2
+(y-3)
2

=16 . Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua gốc toạ
độ biến (C) thành (C') và phép tònh tiến
(1;4)v
r
biến (C') thành (C’'). Tìm phương
trình của (C'').
Câu 14 :Cho hình vuông ABCD .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo .Thực hiện
phép quay tâm O biến hình vuông ABCD thành chính nó. Tìm số đo của góc quay
đó?
Câu 15 : Phép vò tự tâm O tỉ số k (k
≠
0) là một phép biến hình biến điểm M thành

tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn (C'). Tìm phương trình (C')
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước
17
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
Câu 19 : Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song là
phép naò sau đây:
A) phép đối xứng trục B) phép tònh tiến C) phép quay D) phép đối xứng tâm
Câu 20 : Trong mp oxy cho điểm M(1;2) . phép đồng dạng có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép
2
o
V
và phép đối xứng qua trục oy biến M thành điểm N. Tìm N?
Câu 21 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+ y+2=0 . phép
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số
1
2
và phép
đối xứng qua trục ox biến d thành d’. Tìm phương trình d'?
Câu 22 : Trong các phép biến hình sau đây phép biến hình nào không có tính chất
“biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”:
A) phép đối xứng tâm B) phép tònh tiến C) phép vò tự D) phép đối xứng trục
Câu 23: Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)
2
+ (y-2)
2
=4 .Phép đồng dạng có
được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vò tự tâm O tỉ số k=3 và phép tònh tiến theo
vectơ
(1;2)V


β
= I J
Khi tìm điểm chung ta chú ý :


Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung

M
∈
d và d
⊂

α


M
∈

α





β⊂α⊂
=∩
b;a
Mba (P) trong


AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD)
1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC .
a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)
b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b ∈ (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao
tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ?
1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho :
NC
AN
MB
AM
≠
. Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD)
1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác
định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ?
1. 10 : Trong mặt phẳng α cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm
ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của :
a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD)
1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là
trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC)
Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Chứng minh A; B; C thẳng hàng :
Chỉ ra A ; B ; C
∈

α


B
M
N
•
•
a
b
P
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
2. 1: Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau theo giao tuyến d .Trên α lấy hai điểm A ; B
nhưng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần
lượt cắt β tại A’ ; B’. AB cắt d tại C
a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ?
b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy
2. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ;
trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC
cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ?
2. 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng α . Gọi M ; N ; P lần lượt là giao
điểm AB ; BC ; AC với α. Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?
2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai
đường chéo ; M ; N lần lượt là trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO ;
BN ; CM đồng quy
2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng α không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD
lần lượt tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ?
2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện
đồng quy ?
2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là
trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của :
a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD)
c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu

•
A
α
B
C
D
•
•
•
•
A
α
B
C
D
•
•
•
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
3. 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai
điểm C, D
a)Chứng minh AC chéo BD ?
b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song AB
hoặc CD không ?
c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng
3. 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng
phẳng không ? Tại sao ?
3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC.
a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ?
Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG α

d


α
= M ( hình vẽ b)
4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong SAB ; SBC. MN cắt
(ABC) tại P. Xác định giao điểm P
4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên
AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD) b) BD với (MNP)
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)
4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC;
BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :
a) CD với (MNP) b) AD với (MNP)
4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong ABC ; D và E là các điểm năm trên SB ;
SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO) b) SO với (ADE)
4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K
sao cho CK = 3KS.
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?
4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm
trên SA; SB; SC .Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
21
•
α
d
a
M
•

II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ
5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’
; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ?
2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ;
AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của
(MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là
trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba
điểm E; F ; K
2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ;
SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp
*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N
là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA =
2
1
MD ; ND =
2
1
NC
a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?
b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?
c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
*5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm ABC ; DBC ; M là trung
điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ?
2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định
thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
22
A
α

b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp
5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?
b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng α qua I cắt AB; BC;
CD; DA tại M; N; P; Q.
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?
b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?
2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm
SD; E là điểm trên cạnh BC
a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?
b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?
c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA
3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là
điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
23
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là
điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB .
a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?
b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?
c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?
5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi .F là trung điểm SC; E là điểm
trên cạnh BC sao cho BE = 2EC .
a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ?
b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ?
6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là
trọng tâm ∆SAD

SB ; SC’ =
1n3
1
+
SC
a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay
đổi ?
b) Chứng minh (A’B’C’) chừa một đường thẳng cố định
HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ
Vấn đề 6 HAI ĐT SONG SONG
Phương pháp :
Có thể dùng một trong các cách sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh
song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý
Ta-lét )
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3.
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước
24
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
6.1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên
hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho
AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN // DE
6.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên
hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho
AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM'  AB với M' trên AD; NN'  AB với N' trên AF.
Chứng minh : a) MM' và NN' // CD b) M’N// DF
Vấn đề 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Phương pháp :

25