Chơng 2
Các qui luật cơ bản của phân bố xác suất ứng dụng
trong thuỷ văn
2.1 Tổng quan
Khi dựa trên lý thuyết đờng cong phân bố mật độ xác suất đã xét trong
chơng 1, các thủ thuật đơn giản nhất của việc sơ đồ hoá và khái quát các tập thống
kê có thể thực hiện hoàn chỉnh và thể hiện dới dạng chung nhất.
Đờng cong phân bố nhận đợc đối với các sơ đồ thống kê khác nhau tạo
thành một hệ thống phát triển của khái quát toán học có lợi cho việc mô tả các tónh
chất hạng rộng của hiện tợng ngẫu nhiên.
Các dạng đờng cong phân bố khác nhau hoặc dựa trên các sơ đồ xác suất tập
trung đợc xác định về mặt lý thuyết , hoặc tự thể hiện sự khái quát hoá các qui luật
thống kê đặc trng cho các phạm trù xác định của tập thực nghiệm.
Tuy nhiên, trong bất kỳ trờng hợp nào các đờng cong phân bố xác suất
trong thể trừu tợng đều phản ánh qui luật thống kê thực đặc trng bởi các hiện
tợng ngẫu nhiên đại chúng.
Hình thức biểu diễn các qui luật phân bố liên quan chặt chẽ với việc chia đại
lợng ngẫu nhiên ra các dạng liên tục và rời rạc.
Đại lợng ngẫu nhiên rời rạc là biến của tệp (tập hợp) có thể thể hiện ở dạng
liệt xác định bằng số x1, x2, , xn, Khi giải các bài toán thực hành khác thờng
có vấn đề với đại lợng ngẫu nhiên chỉ nhận các giá trị nguyên. Để lấy ví dụ về tập
thuỷ văn đại lợng ngẫu nhiên rời rạc có thể chỉ ra số khô hạn sông ngòi vào mỗi
năm trong mùa hè nhận đợc từ N năm trên phân bố xê -ri các năm ít và nhiều nớc.
Khi nghiên cứu các tập thống kê các hiện tợng thiên nhiên thờng có vấn đề
với các đại lợng ngẫu nhiên liên tục, có nghĩa là với các hiện tợng mà kết quả thử
có thể nhận mọi giá trị trong giới hạn khoảng đang xét. Các đại l
ợng nh vậy là sai
số đo đạc và giá trị thành phần tập các đặc trng khác nhau của chế độ thuỷ văn (lu
lợng nớc và phù sa, mực nớc, vận tốc dòng chảy v.v ). Rõ ràng khi mô tả phân
bố các đại lợng nh vậy về nguyên tắc không thể viết và đánh số tất cả chúng vào
một liệt xác định, thậm chí trong giới hạn khoảng đủ hẹp. Các đại lợng này tạo nên

Student, Phiser,
2
và các phân bố khác sử dụng khi phân tích mẫu các biến ngẫu
nhiên .
Biểu thức giải tích của đờng cong phân bố mô tả tốt nhất tập thực nghiệm
các đại lợng ngẫu nhiên có thể thu đợc bằng nhiều phơng pháp , về số lợng tuy
rằng hạn chế khi thực hiện các điều kiện chung sau đây.

57
1. Hiển nhiên, đờng cong phân bố cần dựa trên một sơ đồ thống kê xác định
mà dới tác động của nó tạo nên hiện tợng ngẫu nhiên này hoặc kia. Vậy, ví dụ
qui luật phân bố chuẩn xuất hiện trong các trờng hợp khi mà đại lợng ngẫu nhiên
đang nghiên cứu có thể thể hiện dới dạng tổng (hoặc hàm tuyến tính) một số lớn
các số hạng thành phần (nhân tố) độc lập với nhau, mỗi số ảnh hởng nhỏ tới tổng.
Nếu điều kiện cuối cùng đợc thoả mãn và ảnh hởng của một số trong các số hạng
hình thành đại lợng ngẫu nhiên chiếm u thế thì đặc điểm của phân bố số hạng đó
ảnh hởng tới qui luật phân bố của đại lợng ngẫu nhiên đang nghiên cứu. Khi nhận
làm cơ sở sơ đồ lý thuyết mối liên hệ của sự xuất hiện đại lợng ngẫu nhiên không
phải là tổng mà là tích một số đủ lớn các tác động thành phần hay nói cách khác vào
tổng của các logarit của chúng ta thu đơcj qui luật phân bố logarit chuẩn. Khi giới
hạn bằng các ví dụ này ta thấy ý nghĩa thống kê khác, khi xét các qui luật phân bố
sẽ đợc làm sáng tỏ khi trình bày chúng.
2. Trong phơng trình đờng cong phân bố cần phải giảm các tham số, xác
định bằng số theo số liệu thực nghiệm. Điều kiện này rất quan trọng khi phân tích
thống kê các dao động nhiều năm của các đại lợng thuỷ văn vì tập thống kê của
chúng thờng hạn chế bởi vài chục số hạng (năm quan trắc).
Cùng với nó ta còn biết rằng các tham số phơng trình đờng cong phân bố
đợc xác định với sai số càng lớn thì tệp thống kê càng nhỏ và đại lợng mômen
thống kê càng cao dùng để tính toán các tham số đờng cong phân bố. Thật vậy, nếu
nh giá trị trung bình số học và hệ số biến đổi nằm trong tham số phơng trình

giá trị dòng chảy tính toán lệch nhiều các đại lợng lấy từ tài liệu đo đạc thuỷ văn.
Có thể nhận thấy rằng các tìm kiếm ứng dụng đờng cong phân bố giới hạn
từ phía các đại lợng dòng chảy lớn bởi một giới hạn cố định nào đó trong nhiều
trờng hợp dẫn tới nhận đợc các đại lợng dòng chảy tính toán thậm chí vợt quá
các đờng cong tơng ứng với việc xoá không hạn chế trong vùng các đại lợng
dơng. Tất nhiên điều đó liên quan với tính không xác định của việc thành lập giới
hạn trên. Thêm vào đó có thể nói rằng nhiều ví dụ sử dụng các đ
ờng cong phân bố
không giới hạn trong khoa học và trong kỹ thuật để mô tả chuỗi thống kê không thể
vô cùng lớn với suất đảm bảo tiến tới 0. Ví dụ nh sai số kích thớc khi chuẩn bị chi
tiết này hay chi tiết kia thờng đợc mô tả bởi qui luật phân bố chuẩn traỉ dài từ -
đến , mặc dù biết rằng sai số chuẩn bị chi tiết không thể lớn vô hạn do đại lợng
của chi tiết hạn chế bởi kích thớc chuẩn bị sử dụng khi xử lý.
Các hình ảnh nêu trên, cũng nh ớc lợng sự tơng ứng của sơ đồ lý thuyết
phân bố xác suất với tài liệu quan trắc thuỷ văn chứng tỏ rằng việc sử dụng các
đờng cong phân bố không hạn chế bởi các giá trị lớn không dẫn tới mâu thuẫn với
bản chất vật lý của tập các đại lợng thuỷ văn và có thể đợc xét nh là phơng tiện
hoàn toàn chấp nhận của mô tả toán học các qui luật thống kê trong giới hạn suất
đảm bảo sử dụng thực tế.
Nh vậy, đối với đờng cong phân bố sử dụng để mô tả dao động dòng chảy
sông ngòi nhiều năm và chuỗi các tham số khác của chế độ thuỷ văn (x), có thể đặt
các điều kiện biên sau: 0 x < .

59
Thờng các đờng cong phân bố lý thuyết sử dụng trong thuỷ văn thoả mãn
điều kiện đơn đỉnh. Nó sinh ra nh là hậu quả của yêu cầu đồng nhất và độc lập
ngẫu nhiên của các đại lợng thuỷ văn đang xét . Thật vậy, tính đa đỉnh của phân bố
là hậu quả của việc thống nhất một vài tệp với các phân bố rất khác nhau . Nhng do
khi giải các bài toán thuỷ văn thờng dùng phép với các đại lợng đồng pha, tất
nhiên dự đoán rằng phân bố của chúng sẽ đơn đỉnh. Do đờng cong phân bố sử

đúng hàm phân bố và các tham số bằng số của nó xác định theo số liệu thực nghiệm

60
( trung bình số học, hệ số biến đổi, hệ số bất đối xứng), đảm bảo từ quan điểm
nguyên tắc bình phơng tối thiểu, sự làm trơn tốt nhất phân bố thực nghiệm .
3. Khi xét các sai số có thể của việc xác định tham số phân bố bị chi phối bởi
tính hạn chế của lựa chọn đang xét trong tính toán quan trọng là đánh giá định lợng
các sai số đó. Sự đánh giá nh vậy đợc thực hiện hoặc nhờ sử dụng công thức lý
thuyết rút ra một vài hạn chế, hoặc với ứng dụng phơng pháp thực nghiệm thống
kê.
2.2 Qui luật phân bố nhị thức rời rạc
Trong thực tiễn tính toán thuỷ văn đờng cong Piecson III đợc phổ biến
rộng rãi nhất khi thể hiện khái quát đờng cong phân bố nhị thức đối với trờng hợp
đại lợng ngẫu nhiên liên tục. Qui luật phân bố nhị thức tơng ứng với việc lặp một
thí ngjiệm duy nhất với các điều kiện không đổi và chỉ có hai kết quả xuất hiện (xác
suất p) và không xuất hiện (xác suất q = 1- p) của biến cố ngẫu nhiên . Mỗi giá trị
của đại lợng ngẫu nhiên phân bố theo qui luật phân bố nhị thức thể hiện số trờng
hợp (m) thực hiện đợc biến cố ngẫu nhiên nào đó từ n trờng hợp có thể.
Trình bày sơ đồ qui luật phân bố nhị thức có thể thực hiện đợc nhờ các định
lý cộng và nhân xác suất .
Theo định lý cộng xác suất suy ra rằng xác suất xuất hiện một biến cố độc
lập không báo trớc bằng tổng xác suất của các biến cố đó, hoặc nói cách khác là
nếu biến cố ngẫu nhiên A có thể xuất hiện ở một số dạng A
1
, A
2
, A
3
, , A
n

k
Có khi ngời ta viết định lý này dới dạng:
),K(p )B(p)A(p)K BA(P
+
+
+
=

Các biến cố A, B, , K là độc lập. Ký hiệu

có nghĩa là "hoặc".
Theo định lý nhân xác suất suy ra rằng xác suất trùng của một vài biến cố
ngẫu nhiên độc lập bằng tích xác suất của chúng.

61
Biến cố ngẫu nhiên độc lập đợc hiểu là các biến cố mà kết quả thử nghiệm
lần sau không phụ thuộc vào lần trớc, và do vậy lần thử sau không thể đoán trên cơ
sở thực hiện những lần thử trớc.
Định lý nhân xác suất thờng đợc viết dới dạng:
P(AB K) = p(A)p(B) p(K).
Khi đó cũng giả thiết rằng biến cố A, B, , K là độc lập với nhau.
Tơng ứng với nhứng điều nêu trên qui luật phân bố nhị thức nhận đợc khi
giải quyết bài toán sau:
Tiến hành n lần thử độc lập, mà kết quả thử biến cố có thể nhận các giá trị
dơng 0, 1, 2, , n với các xác suất p
0
, p
1
, p
2

2
= pp

62
Nh vậy, xác suất P(m) xuất hiện biến cố m lần (0; 1; 2) trong hai lần thử
(n=2) có phân bố nh sau:
m 0 1 2
P(
m)
q
2
2p
q
p
2
Đối với ba lần thử (n=3) tơng tự ta nhận đợc:
m .

0 1 2 3
P
(m)
.

q
3
3
pq
2
3
p

n) xuất hiện 1 lần biến cố B và ( n-1) lần biến cố A
n+1) xuất hiện n lần biến cố A.
Xác suất trờng hợp thứ nhất là q
n
. Trờng hợp thứ hai có thể xảy ra một
trong các dạng: hoặc là xuất hiện biến cố A trong lần thử thứ nhất, hoặc lần thứ hai,

63
hoặc lần thứ ba, v.v cho đến lần cuối cùng, hơn nữa trong mọi trờng hợp còn lại
đều xuất hiện biến cố B; xác suất mỗi biến cố trong các dạng này bằng nhau và bằng
q
n-1
p, vì số lợng các dạng này bằng n, nên xác suất trờng hợp thứ hai sẽ bằng:
P
2
= nq
n-1
p
Trong trờng hợp thứ ba xác suất mỗi dạng bằng q
n-2
p, còn số dạng khi thực
hiện trờng hợp thứ ba, tất nhiên, bằng số kết hợp từ n thành tố theo 2, tức là:
.
n
)1n(n
C
2
n

=

+

++=+


(2.1)
Tổng tất nhiên là bằng 1, vì q+p=1
Xác suất rằng biến cố B xuất hiện (n-m) lần, còn biến cố A xuất hiện m lần,
sẽ bằng:
,pqC)m(P
mmnm
n

= (2.2)
hoặc:
,pq
)!mn(!m
!n
pq
)!mn(!m
)1mn) (1n(n
)m(P
mmnmmn

=

+

=
(2.3)

=

=



====
n
0m
mnm
n
0m
mnmm
n
n
0m
nn
.)p1(p
)!mn(!m
!n
m)p1(pmC)m(mP)m(Em

Với m=0, số hạng thứ nhất bằng không. Vì thế lấy tổng bắt đầu từ m=1. Đa
np ra khỏi dấu tổng, ta có:


=




1, và ta có
npm =
.
Dẫn công thức để phơng sai đại lợng rời rạc phân bố theo qui luật nhị thức:
.mm
n
m
m2mm
n
mm2mm
n
)mm(
)m(
2
n
0m
2
n
0m
2
n
0m
2
n
0m
n
0m
2
n
0m

n
0m
2
n
0m
22
),m(mP)m(P)1m(m)m(Pmm)m(E
với P(m) - qui luật phân bố nhị thức đại lợng ngẫu nhiên m. Tổng thứ hai
trong biểu thức trên là kỳ vọng toán học (1.3). Số hạng đầu tiên có thể thể hiện dới
dạng
.)p1(p
)!mn(!m
!n
)1m(m
)p1(pC)1m(m)m(P)1m(m
mnm
n
0m
n
0m
n
0m
mnmm
n

=
==




z
0y
z
y
2
n
0m
===

==

Trong biểu thức ban đầu đối với phơng sai thay các số hạng vừa nhận đợc:
,npq)p1(np)np1pnp(np
]np1)1n(p[nppnnpp)1n(n
m)m(mP)m(P)1m(mmm)m(
222
n
0m
2
n
0m
2
n
0m
22
==+=
=+=+=
=+==

===

m
C
m
v
==

=
(2.7)
.
q
)np(
q
pn
q
pnpqn
q
)np(npq
np
q
)pq(npq
C
C
5
2/3
2/52/5
2/3
2/32/3
3
3
3

n
m
P =
(2.9)
với m - số kết quả thuận lợi; n - số lần thử.
Khi sử dụng công thức (2.9), ta có:
.2,0
20
4
P ==

Sai số trong việc xác định P, tính theo công thức (2.9) càng lớn nếu số lần thử
càng ít. Giới hạn dao động có thể của đại lợng ngẫu nhiên (chẳng hạn nh P, xác
định theo mẫu ngẫu nhiên) đợc đánh giá trong thống kê với việc sử dụng khái niệm
khoảng tin cậy, chỉ ra các giới hạn, mà trong khuon khổ của nó các đại lợng đang
xét có thể thay đổi với các mức xác suất khác nhau. Khoảng tin cậy đảm bảo khoảng
95 và 99% đối với P trong trờng hợp phân bố nhị thứccó thể nhận đợc khi sử dụng
tuỳ thuộc trên hình 2.2 và 2.3. Trên các hình này thấy rằng đối với P nhận đợc P =
0,2 và n = 20 giới hạn tin cậy 99% của P là 0,02 và 0,39. Rõ ràng khi tăng thời gian
quan trắc (n) giới hạn tin cậy sẽ nhỏ hơn.Theo biểu thức (2.2) ta tính xác suất cho 20
năm sẽ là tuần tự 1, 2, . . . , 10 trờng hợp với sông khô cạn trong mùa hè:
.000086,08,0.2,0.C)12(P
,0005,08,0.2,0.C)11(P
,002,08,0.2,0.C)10(P
,0074,08,0.2,0.C)9(P
,0221,08,0.2,0.C)8(P
,0540,08,0.2,0.C)7(
P
,1090,08,0.2,0.C)6(P
,1746,08,0.2,0.C)5(P

1644
20
20
1733
20
20
1822
20
20
1911
20
20
2000
20
20
==
==
==
==
==
==
==
==
==
==
==
==
==
năm đợc ghi nhận sông khô cạn vào mùa hè. Rõ ràng rằng với giá trị m càng nhỏ
và lớn hơn 4 xác suất này cần phải nhỏ hơn và đợc khẳng định bằng kết quả tính
toán.
Ta tính các tham số phân bố thực nghiệm đã cho theo công thức (2.5) - (2.8):

2
= npq = 20.0,2(1-0,2) = 3,2,
.335,0
)789,1(
92,1
C
,92,1)2,08,0(8,0.2,0.20)pq(npq
447,0
4
789,1
m
C
789,12,3
2
3
3
s
3
vm
==

à
=
===à
==

Hình. 2.3 Giới hạn tin cậy 99% đối với xác suất thực nghiệm theo
phân bố nhị thức (theo số liệu công trình [140]).

Giả sử rằng cần xác định xác suất cho 20 năm quan trắc dòng chảy sông ngòi
không quá 5 trờng hợp sông khô hạn. Ta có: n = 20; p = 0,2; r = 5. Khi sử dụng
biểu thức (2.10) và đẳng thức hiển nhiên p = 1 - q, nhận đợc:
.808,0175,0218,0205,0140,0058,0012,0)2,01(2,0C)5m(P
m
0m
m20mm
20
=+++++==

=
71
Thờng trong tính toán thuỷ văn ngời ta sử dụng xác suất thiên lớn của số r
đã cho. Trong trờng hợp này ta có:
P[m (r + 1)] = 1 - P(m r) (2.11)
Bởi vì:
P(m r) + P [m (r + 1) = 1.
Khi sử dụng công thức (2.11), ta tính xác suất cho thời kỳ 20 năm không có
quá 6 trờng hợp khô hạn sông ngòi
P( m 6) = 1 - 0,808 = 1,92.
Hàm tích phân phân bố số trờng hợp vợt khô hạn sông ngòi với n = 20, p =
0,2 và r = 1 ữ 10 ở trên h. 2.4.

Hình 2.4 Đờng cong suất đảm bảo phân bố nhị thức các trờng hợp khô

nghiệm.
Kết luận của qui luật phân bố Poatxông ta tiến hành khi dựa trên qui luật
phân bố nhị thức rời rạc.
Phù hợp với biểu thức (2.3) phân bố nhị thức rời rạc có dạng:
.)p1(p
!m
)1mn) (2n)(1n(n
)p1(pC)p,n,m(f
mnm
mnmm
n



+
=
==

Nhân tử số và mẫu số với n
m
và tiến hành thế biếntheo đẳng thức np = .
.)p1(
!mn
)1mn) (2n)(1n(n
)p,n,m(f
mnm
m


+

















=
(2.13)
Xét từng phần biểu thức tới hạn của dẳng thức thu đợc. Tiến hành biến đổi















=












Và cuối cùng xét giới hạn của biểu thức khi n và p 0.
.1
)p1(
n
1m
1
n
2
1
n
1
1
lim
m



=



Thế giá trị giới hạn vào công thức (2.13), cuối cùng thu đợc phân bố
Poatxông (2.12), thể hiện dạng giới hạn của phân bố nhị thức rời rạc với tham số =
np và p 0 và n .
Dẫn biểu thức đối với kỳ vọng toán học , phơng sai và mô men trung tâm
bậc ba của đại lợng ngẫu nhiên phân bố theo qui luật Poatxông . Khi đó ta sử dụng
các mô men nhân tố. Mô men giai thừa bậc r của đại lợng ngẫu nhiên m từ m = 1
đến m = n thể hiện bằng biểu thức :

==
+==
n
1m
n
1m
r
r
).1rm) (1m(m
n
1
m
n
1
f




=
1m
m
em
r
r
.
)!rm(
r
f
(2.14)
Cần lu ý rằng luỹ thừa nguyên dơng của mọi số có thể thể hiện dới dạng:
,CAC
r
1i
iri
r

=
=
(2.15)

74
Với A
ri
- số Stirling, xác định theo công thức xoáy đảo:
A
ri

i
rir

==
==
(2.17)
Theo các biểu thức (2-16) và (2-17) ta nhận đợc các biểu thức đối với ba
mômen gốc đầu tiên của phân phối Poatxông
Khi r = 1


=
=
==
1r
1i
11,11
Af
Khi r = 2


=
=
+==
2r
1i
2
i22
iAf
Khi r = 3

m
), mômen trung tâm bậc hai hoặc phơng sai và mô men trung tâm bậc ba
(
2
m

à
3
) trong phân phối Poatxông đều bằng:
=à==
3
2
m
m

chuyển sang các tham số thờng dùng trong thuỷ văn, ta đợc:

2
1
v
m
C

=


=

=


m
m
thì điều đó là cơ sở cho phép ta giả thiết rằng đại lợng ngẫu
nhiên m đợc phân phối theo luật Poatxông .
Ta nên chú ý đến tính chất gần đúng của đẳng thức trị bình quân số học (
m
) ,
phơng sai (
) và mô men trung tâm bậc ba (à
2
m

3
) cho thấy khả năng dao động ngẫu
nhiên của các tham số mẫu với tổng thể của chúng.

76
Những quan hệ giữa các tham số vừa chứng minh trên ít đợc dùng đối với
các chuỗi thống kê của đại lợng thuỷ văn, vì vậy phân phối này trong thuỷ văn
ngời ta ít sử dụng. Tuy vậy, trong một số trờng hợp việc sử dụng nó có thể là cần
thiết nh một số thí dụ sau:
Trớc hết ta làn lợt so sánh luật phân phối nhị thức rời rạc với luật phân
phối Poatxông.
So sánh đợc tiến hành với những giá trị sau đây của các tham số phân phối
Poatxông 1)=5,0; 2)=1,3) =0,1. ứng với điều kiện = 5,0 (vì = np) ta nhận
đợc những tham số của phân phối nhị thức rời rạc nh sau:
1a. p = 0,20 n = 25. 1b. p = 0,10 n = 50.
Đôí với điều kiện =1,0.
2a. p = 0,20 n=5 2b. p = 0,10 n=10
2c. p = 0,05 n=20 2d. p = 0,02 n=50
78
Hình 2.5 So sánh qui luật phân bố tích phân nhị thức và qui luật Poatxông
1-qui luật nhị thức p=0,2, n=25; 2- qui luật nhị thức p=0,1, n=50; 3- phân bố
Poatxông
=5
m
ý nghĩa thực tế của việc sử dụng luật Poatxông là giảm bớt đợc những tính
toán so với việc phân phối nhị thức rời rạc. Ngoài ra, với một số giá trị của các tham
số n và p những tính toán theo luật phân phối nhị thức là rất khó khăn, do những
bảng lôgarit với năm chữ số có nghĩa không đủ độ chính xác. Từ điều kiện đó nên
luật Poatxông thờng đợc dùng khi p 0, vì thế nó đợc dùng để làm trơn những
phân phối quan trắc , các biến cố hiếm nh thời kỳ rất dài pha ít nớc hoặc nhiều
nớc, sấm trong mùa đông v.v Với tính chất trên mà luật phân phối Poatxông
thờng đợc gọi là luật phân phối của những hiện tợng cực hạn (ít thấy).
Việc ứng dụng luật Poatxông chúng ta sẽ xét ở thí dụ đánh giá sự lặp lại của
những nhóm năm ít nớc và nhiều nớc trên một số sông ở Liên Xô. Các tài liệu cơ
bản gốc đã đợc trình bày ở bảng 2.3
Bảng 2.3. Tài liệu về thời gian dài nhất của thời kỳ ít nớc và về số năm
quan trắc trên một số sông ở Liên Xô.

quan trắc đợc.
Đối với bài toán này tham số của phân phối Poatxông có thể đợc tính theo
công thức gần đúng:
1k
2
n
+

(2.20)
Việc chứng minh công thức này dựa vào lý thuyết tổ hợp. Cụ thể hơn về
nhóm các năm ít nớc và nhiều nớc sẽ đợc xét ở chơng IV. ở đây ta chỉ xét mối
quan hệ này với độ chính xác đủ để giải những bài toán thực tế, xác định số lợng
bình quân của những nhóm nớc có thời gian lớn hơn k năm trong các mẫu đaị
lợng ngẫu nhiên độc lập.
Khi sử dụng các biểu thức (2.19) và (2.20) dễ dàng có thể tính đợc xác suất
xuất hiện trong n năm quan trắc có số lợng nhóm nớc () với độ dài lớn hơn k
năm.Lu ý khi đó k khá lớn và vì thế cho nên nhóm nớc quan trắc đợc, chẳng hạn
nh nhóm năm ít nớc là hiện tợng rất hiếm, tơng ứng có xác suất xuất hiện nhóm
nớc đó là rất nhỏ. Cũng nh trên ở đây ngời ta giả thiết là không tồn tại quan hệ
trong chuỗi tổng lợng năm của dòng chảy sông ngòi.
Sự xuất hiện hai nhóm nớc ít với độ dài của mỗi nhóm lớn hơn 7 năm, trong
mẫu có 85 năm quan trắc (sông Bêlai - trạm Ufa) có thể dự đoán với xác suất là bao
nhiêu ? Do có n = 85, = 2, k = 7. Theo công thức (2.17) chúng ta nhận đợc:
332,0
256
85
2
85
17
===