Chơng 6
quan hệ thống kê giữa các biến thuỷ văn
6.1. Tổng quan
Hiện tợng thuỷ văn thờng thờng đợc hình thành bởi rất nhiều yếu tố,
trong thực tế không thể xét đầy đủ đợc các yếu tố đó, trong nhiều trờng hợp cũng
không cần thiết phải xét nh vậy. Vì thế khi xây dựng các mối quan hệ nhân quả
chỉ cần phân tích những nhân tố về mặt định tính có thể xem nh là chính đối với
quá trình hình thành đặc trng thuỷ văn nghiên cứu. Những nhân tố chính này quy
định dạng cơ bản của mối quan hệ, còn những nhân tố khác không quan trọng bằng
sẽ tạo nên môi trờng phân tán đặc trng cho mối quan hệ ngẫu nhiên.
Ngay cả trong các trờng hợp khi mối quan hệ giữa các biến lợng nghiên
cứu, thực chất là hàm số (điều này trong thực tế nghiên cứu thuỷ văn rất ít thấy), mối
quan hệ đợc xây dựng theo tài liệu quan trắc sẽ không cho ta lời giải đơn trị, là do
sai số đo đạc ngẫu nhiên đợc đa vào mối quan hệ.
Vì lẽ đó, mà các nhà thuỷ văn thờng không gặp quan hệ hàm số mà gặp
những quan hệ thống kê, trong đó ứng với mỗi giá trị của đại lợng đợc lấy làm
biến lợng độc lập sẽ có một tập hợp vô hạn những giá trị của đại lợng kia (hàm sẽ
đợc mô tả bằng đờng phân phối có điều kiện). Các đờng phân phối có điều kiện
sẽ thay đổi theo sự thay đổi của biến lợng độc lập. Mối quan hệ thống kê đợc ứng
dụng rất rộng rãi trong mọi lĩnh vực thuỷ văn. Mối quan hệ này phải dựa vào các
phơng pháp đo đạc dòng chảy, và dựa vào các quan hệ này mà xây dựng các lợc
đồ tính toán, dự báo thuỷ văn. Mối quan hệ giữa dòng chảy sông ngòi và lợng m
a,
mối quan hệ giữa lu lợng hay mực nớc ở các trạm quan trắc khác nhau trên một
con sông đờng lu lợng, mối quan hệ dòng chảy của các sông nằm trong vùng
đồng nhất về điều kiện địa vật lýv v đều là những thì dụ về việc sử dụng mối quan
hệ thống kê trong thuỷ văn. Việc nâng cao mức độ phân tích khoa học các quá trình
thuỷ văn, việc hoàn thiện các phơng pháp toán học khái quát hoá các chuỗi thống
kê vả việc sử dụng MTĐT đã tạo ra khả năng phát triển nhanh chóng sử dụng mối
quan hệ thống kê vào nghiên cứu thuỷ văn.
Để khái quát hoá khái niệm quan hệ thống kê ngời ta sử dụng khái niệm

thể các mối quan hệ thống kê rất phù hợp với tài liệu mẫu nhng lại chệch so với
quan hệ ngãu nhiên.
Mối quan hệ ngẫu nhiên giữa hai biến lợng đợc mô tả đầy đủ nhất bằng
hàm mật độ phân phối hai chiều. Còn mối quan hệ thống kê giữa hai biến lợng ấy
đợc miên tả bằng biểu đồ lăng trụ tần suất. Những mô tả mối quan hệ thống kê và
ngẫu nhiên giữa hai biến lợng nh vậy sẽ đợc khái quát hoá đối với tr
ờng hợp

333
mối quan hệ giữa n biến lợng. Các mối quan hệ này đợc mô tả bằng luật phân
phối n chiều. Sự mô tả các mối quan hệ thống kê và ngẫu nhiên nh vậy là đầy đủ
nhất nhng lại yếu cầu một lợng thông tin gốc rất lớn. Khi nghiên cứu các quá
trình thuỷ văn những điều kiện này không thể thực hiện đợc. Vì vậy khi nghiên cứu
các mối quan hệ thống kê nói chung và giữa hai biến lợng thuỷ văn nói riêng
ngời ta thờng sử dụng mối quan hệ gọi là tơng quan, đây là mối quan hệ giữa giá
trị đợc xác định của một đại lợng (đối số) và trị bình quân có điều kiện tơng ứng
của đại lợng kia (hàm số). Rõ ràng là mối quan hệ tơng quan là dạng biểu diễn
riêng của mối quan hệ thống kê.
Mối quan hệ tơng quan đợc biểu diễn dới dạng các phơng trình tơng
quan hay phơng trình hồi quy có thể là tuyến tính hoặc không tuyến tính. Sau đây
chúng ta sẽ xét mối tơng quan tuyến tính giữa các biến ngẫu nhiên. Trong trờng
hợp mối quan hệ không tuyến tính giữa các đặc trng thuỷ văn cần nghiên cứu có
thể biến đổi tài liệu gốc để cho mối quan hệ giữa các giá trị đã đợc biến đổi có
dạng tuyến tính. Ta nhận thấy rằng phép biến đổi trên đây chính là chuyển luật phân
phối gốc của đại lợng nghiên cứu sang dạng chuẩn.
Một số phơng pháp biến đổi đó đã đợc nghiên cứu ở chơng II. Cũng cần
phải chú ý rằng phơng pháp biến đổi đem dùng chỉ có ý nghĩa trong trờng hợp
khi yếu tố có trong mối quan hệ không tuyến tính giữa các đại lợng gốc đ
ợc xác
định là rất tin cậy.


+=
(6.1)
Các giá trị của tham số a và b thoả mãn với phơng trình (6.1) ta tìm đợc khi
cho đạo hàm của tổng đo theo các tham số trong không đạo hàm theo a.

0)x()baxy(2
da
dS
i
n
1
ii
==


Từ đó:
(6.2)
0xbxayx
n
1
i
n
1
i
2
n
1
ii
=++

n
1
i
n
1
i
==

(6.4)
Giải các phơng trình (6.2) và (6.3) đối với các tham số a và b ta nhận đợc

xayb,
)xnx(
)yxnyx(
a
n
1
2
i
2
n
1
ii
=


=




)yy)(xx(
r
(6.6)
Hệ số tơng quan thờng đợc sử dụng ở dạng sau:

yx
)y,xcov(
r

=
(6.7)
Trong đó: cov(x,y) - hiệp biến (mônen hỗn hợp bậc hai) hay mômen quan hệ
của các đại lợng x và y là kỳ vọng toán của tích các khoảng lệch x và y so với tần
phân phối của chúng, nghĩa là:

)yy)(xx(
n
1
)y,xcov(
ii
n
1
=


hay
y/xx/y
aar =
(6.8)
trong đó a

1
2
x


=


(6.9)
- Tham số b có thể đợc viết dới dạng:

xryb
x
y


= (6.10)
Với các đẳng thức (5.6) và (5.9) phơng trình tơng quan có thể biểu diễn
dới dạng:

)xx(r)xx(ayy
axyaxbaxy
x
y



==
+=+=
(6.11)

độc lập với nhau elíp sẽ trở thành hình tròn, còn đối với mối quan hệ hàm số thì nó
trở thành mối quan hệ tuyến tính đơn trị.
Đờng thẳng ab là đờng hồi
quy của y theo x nó chia các tuyến
thẳng đứng của elíp ra làm 2 phần
bằng nhau, và nó biểu diễn sự phân
tán của giá trị y ứng với mỗi giá trị
x. Giá trị phân tán lý luận đợc mô
tả bằng quan hệ (6.9). Giá trị
phơng sai đặc trng của hàm y là
một số không đổi, không phụ thuộc
vào x
i
, vì vậy biểu thức (6.9) sẽ cho
ta ớc lợng sự phân tán của y. Đối
với thiết diện ứng với giá trị x
i
cố
định cũng nh đối với toàn bộ phơng trình hồi quy nói chung đờng chia đôi các
cát tuyến nằm ngang song song với trục x.
Hình 6.1 Sơ đồ quan hệ y = ax+b;
y=a'x+b' đối với phân bố chuẩn
biến x và y
Các đờng ab và cd ứng với các phơng trình (6.11) và (6.12) nh trên đã rõ
chúng chỉ trùng nhau khi các đại lơng x và y có quan hệ hàm số với nhau:
Để kết luận về vấn đề này, vì các phơng trình tơng quan nhận đợc trên cơ
sở các mẫu phải phù hợp với các quan hệ ngẫu nhiên, nên phải đánh giá độ chính
xác và phơng trình hồi quy và tham số của phơng trình này. Để làm chỉ tiêu độ
chính xác của phơng trình hồi quy, ngời ta sử dụng khoảng lệch trung bình bình
phơng có điều kiện (sai số tiêu chuẩn) là khoảng lệch trung bình bình phơng giữa

y(hàm số); r - hệ số tơng quan của phơng trình đờng hồi quy.
Biểu thức (6.14) cho thấy rằng chẳng hạn khi r=0,95 khoảng lệch trung bình
bình phơng của các giá trị nhận đợc theo phơng trình hồi quy bằng 0,32, nghĩa là
độ phân tán của các giá trị đó nhỏ gấp 3 lần so với độ phan tán của chuỗi biến lợng
phụ thuộc gốc.
Khi nghiên cứu các tham số a và b đợc xem nh là đại lợng biến đổi,
chúng biến thiên từ mẫu này sang mẫu khác, độ chính xác của ớc lợng có thể đặc
trng bằng các giá trị của sai số tiêu chuẩn tơng ứng.

n
r1
n
2
y)x(y
b



=
(6.15)
Khi sử dụng để xây dựng đờng hồi quy các tham số a và b có sai số ngẫu
nhiên, chúng ta cho phép có sai số trong khi ớc lợng tung độ của đờng hồi quy.
Sai số này có thể đợc đặc trng bằng giá trị của phơng sai tơng ứng (bình
phơng sai số tiêu chuẩn).







Phơng sai
đặc trng cho độ phân tán của tung độ đờng hồi quy mẫu
so với đờng hồi quy của tổng thể.
2
)xi(y

Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu vấn đề độ chính xác về ớc lợng hệ số tơng
quan mẫu.
Trong công trình của V.I Rômanôvski [111.tr 391] đã chứng minh đợc
công thức sai số trung bình bình phơng của hệ số tơng quan.

339

2
222
r
n2
13r75
n2
r11
1
1n
r1
++


=

mà khi n khá lớn (n > 25) đợc viết dới dạng thờng hay gặp:


2
1
z

+
=
(6.19)
Để xác định các giá trị z=f(r) nên sử dụng tại liệu của bảng 6.1
Phân phối z ngay cả đối với các mẫu không lớn rất gần với phân phối chuẩn
trong thực tế không phụ thuộc vào n và giá trị thực r.
Sai số tiêu chuẩn z bằng:

3n
1

=
(6.20)

340
Theo các giá trị
Z
, và sử dụng số liệu bảng 6.1 ta có thể tìm đợc và cần đa
vào luật phân phối chuẩn sẽ xác định ở giới hạn nào đó những giá trị hệ số tơng
quan mẫu ứng với các mẫu khác nhau của xác suất tin cậy.
Trờng hợp riêng sử dụng phép biến đổi Fisher là đồ thị hình 6.2
Bảng 6.1 Giá tri z = f(r)
r 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0
0,1
0,2

0,02
0,12
0,22
0,33
0,45
0,58
0,72
0,91
1,16
1,59
2,76
0,03
0,13
0,23
0,34
0,46
0,59
0,74
0,93
1,19
1,66
2,83
0,04
0,14
0,24
0,35
0,47
0,60
0,06
0,95

0,65
0,81
1,02
1,39
2,09
3,25
0,08
0,18
0,29
0,40
0,52
0,66
0,83
1,05
1,38
2,30
3,45
0,09
0,19
0,30
0,41
0,54
0,68
0,85
1,07
1,42
2,65
3,80
Hệ số tơng quan nhỏ nhất ứng với mức ử dụng 5% trong tổng thể, với các
giá trị của hệ số đệ tính theo các mẫu có dung lợng khác nhau.

quan tóc trớc đây đặc trng
nghiên cứu. Vấn đề là ở chỗ các
giá trị của hàm (trong trờng hợp này là của đại lợng phục hồi y) nhân theo phơng
trình hồi quy là trị bình quân của tập hợp sự thể hiện khi cố định giá trị của đối số x
i
.
Nhng giá trị thực tế riêng biệt của hàm Y lệch tơng đối nhiều so với đờng hồi
quy. Việc thay thế những giá trị phân tán xung đờng hồi quy đó bằng kỳ vọng toán
của chúng sẽ dẫn đến đợc khôi phục khác với chuỗi thực tế đợc san bằng những
động X.X.Kirski và M.F.Menkel [82] đã chứng minh rằng biến đổi thực tế của đại
lợng thuỷ văn đợc nghiên ứu bằng Cv/r, trong đó là hệ số biến đổi nhận đợc theo
đã đợc khôi phục bằng phơng trình hồi quy, còn r là hệ số tơng quan của phơng
trình hồi quy. Tơng tự nh vậy để bảo đảm tính chất dao động chung của biến
lợng y đợc biểu diễn bằng hệ số biến đổi thực Cv ta cần phải tăng khoảng lệch y-
y tính theo phơng trình hồi quy 1/r lần.
Hình 6.2 Giá trị cực tiểu của hệ số
tơng quan với mức sử dụng 5% trong tổng
thể với các giá trị khác nhau của hệ số này
trong các mẫu có dung lợng khác nhau.

342
Thuật toán đó đợc dùng vào việc tính toán theo phơng trình hồi quy gốc
với trờng hợp khi r=1 cũng giống nh sử dụng lời giải, "duy nhất" ứng với phơng
trình.

)xx(y)x(y
i
x
y
i

hay P
x
có nghĩa là thực hiện một phép toán tơng đơng
chỉ khác nhau bằng hình dạng bên ngoài.
Đối với những luật phân xác suất không đối xứng, phơng pháp Ivanôv là
đúng hơn cả. Vì rằng giá trị P
xi
nhận đợc theo đờng tần suất thực nghiệm sẽ phản
ánh đợc tính không đối xứng của nó.
Cần phải chú ý rằng khi hệ số tơng quan nhỏ các chuỗi đợc khô phục có
xét đến số hiệu chỉnh sẽ không phản ánh đợc dao động của đại lợng nghiên cứu
trong một khoảng thời gian cụ thể, đối với khoảng thời gian này trong khi tính toán
đợc sử dụng tài liệu quan trắc dao động của biến số x.
Phần khôi phục của chuỗi là một thí dụ điển hình chuyển đặc tính những dao
động của chuỗi nghiên cứu mà không khôi phục chúng trong trình tự thời gian cụ
thể.
Để chuyển các tham số thông kê sang thời kỳ nhiều n (không kéo dài chuỗi
theo những giá trị tơng ứng của đối tợng tơng tự) ngời ta đã sử dụng các
phơng trình sau đây của Kriski và Menkel [82].

)xx(ryy
nN
xN
yN
nN



+= (6.21)


các giá trị y và x xảy ra đồng thời.
Hệ số tơng quan giữa các ớc lợng của phơng sai đợc lấy bằng r
2
trên cơ
sở quan hệ gần đúng đã biết trong thống kê toán. Giá trị phơng sai
yN
đợc tính
khi giải phơng trình (6.22)

)1(r1
2
xN
2
xn
2
2
yn
2
yN




=
(6.23)
Để đánh giá độ chính xác của các tham số nhận đợc cho thời kỳ nhiều năm
ngời ta sử dụng các công tức sai số tiêu chuẩn.

2
yN

Xtaraia và để chuyển các tham số của chuỗi 18 năm sang thời kỳ nhiều năm. Đồ thị
quan hệ của tài liệu trong thời kỳ quan trắc đồng bộ đợc biểu diễn trên hình 6.3.
Đối với thời kỳ quan trắc đồng bộ ta có

=134xi


=124yi
2
skm/l4,7x = .
2
skm/l9,6y =
79,1;117)yyi();58)xxi(;73)yyi();xxi(
xn
22
===




. Ngoài ra ta đã biết
55,2y =
9,6x,28,1xN
N
=
=
344

=
===



Trong trờng hợp này phơng trình hồi quy của y theo số có dạng:
Y(x) = 6,9+ 1,27 ( x-7,4) l/sKm
2
hay là
Hình 6.3 Đồ thị quan hệ dòng chảy năm S. Viazm -
tr. Xtaraia (y) và s. Dnhepr ở tp. Smolensk (x)
Y(x) = 1,27x-2,51 l/s Km
2
Những tính toán tơng tự đối với đờng hồi quy của x theo y sẽ dẫn đến
phơng trình:
X(Y) = 0,62 + 3,11 l/s Km
2

345
Khoảng lệch trung bình bình phơng có điều kiện của biến lợng y đối với
đờng hồi quy ứng với đối số cho trớc bằng:

24,1
15
73.27,1117
n
)yy()xx(a)yyi(
ii
2
1)x(y

18
20,1
n
2)x(y
b
==

=

Sai số tiêu chuẩn của hệ số hồi quy bằng

16,0
58
24,1
)xxi(
2
1)x(y
a
==


=


hay là

16,0
58
20,1
)xxi(

2n
1
2
2
i
2
)x(y)xi(y

+=


+

=


Thí dụ: khi x
i
=5
y(x)
=0,50l/s.km
2
, khi x
i
= 10
y(x)
= 0,52
l/skm
2
và khi ==

=

Nh vậy trong phạm vi
z
giá trị z bằng
z
tr
= z+
z
= 1,42+0,28 = 1,68
z
d
= z-
z
= 1,42 -0,26 = 1,16
Tiếp theo với z
tr
và z
d
theo bảng 6.1 ta xác định đợc giới hạn trên và giới hạn
dới của r.
r
tr
= 0,93
r
d
= 0,82
Khi sử dụng công thức (6.18), ta có:
r
tr

2
xn
2
yn
yN
skm/l58,2
)
82,1
79,1
1(89,01
55,2
1r1
=

=












=

Trong trờng hợp này

Cơ sở để tìm mối quan hệ là sử dụng tài liệu quan trắc đại lợng y và các đại
lợng quy định nó là x
1
, x
2
và x
n
. Kết quả đo đạc đồng thời các đại lợng đó có thể
biểu diễn dới dạng

348
Y
1
, x
11
, x
21
, x
31
, x
j1
, x
n1
Y
2
, x
12
, x
22
, x

1
, x
2
, x
3
, x
j
, x
n
Dựa vào những tài liệu đo đạc trên đây ta phải tìm một quan hệ tuyến tính
giữa y và x1, x2, xn, theo nguyên tắc bình phơng nhỏ nhất phù hợp nhất với tài
liệu thực nghiệm. Lời giải nhận đợc rất đơn giản nếu nh không nghiên cứu chính
các giá trị gốc y và x1, x2, xn là các khoảng lệch của chúng so với trị bình quân.

m, 2,1i
n, 2,1j
;xxx;yyiy
jij
00
1
=
=
==

Trong trờng hợp này phơng trình hồi quy của tơng quan tuyến tính nhiều
chiều

) xx(k )xx(k )xx(k)xx(kyy
nininjijj2i22iij1


(6.27)
0
nn
0
22
0
11
0
1
xk xkxky +++=
Rõ ràng là có m phơng trình nh vậy đối với số lợng quan trắc của giá trị
y, x
1
, x
2
, x
n
. Lúc này m == . Khi m >>n bài toán xác định các tham số sẽ không
giải đợc khi m = n lời giải sẽ nhận đợc với độ chính xác thoả mãn với tài liệu
gốc, nhng lời giải này chỉ có ý nghĩa đối với các quan hệ hoàn toàn là hàm số.
Trờng hợp hệ có số lợng phơng trình lớn hơn số lợng tham số cha biết
sẽ là trờng hợp cơ bản của việc xây dựng các phơng trình hồi quy. Lời giải tốt
nhất của hệ có phơng trình thừa là tìm những giá trị của đại lợng cha biết đó mà

349
đợc liên kết với nhanh bằng các phơng trình liên hẹ nghiên cứu, khi xác định
chúng các phơng trình này khoảng lệch nhỏ nhất gữa các giá trị tính toán và quan
trắc. nếu dùng tổng các khoảng lệch đó của chúng để đánh giá sẽ gặp phải trờng
hợp là các khoảng lệch lớn nhng có dấu ngợc nhau có thể bù trù lẫn nhau, trong
khi đó của giá trị tuyệt đối của các khoảng lệch riêng biệt có thể là rất lớn.

x
r1
rrr
x
x
r1
rrr
.
x
y




+




=

Trong trờng hợp có 4 biến lợng ta có:
3
0
3x2x3x1x2x1x
2
3x1x
2
2x1x
2

3x1x2yx
2x
y
1
0
3x2x3x1x2x1x
2
2x1x
2
3x2x
2x1x3yx3x1x2ỹ3x2x
3x2x3x1x2x1x
2
2x1x
2
3x2x
3x1x3x2xv2x3x2xy1x
1x
y
0
x
rrr2rrr1
)rrrr(r
rrr2rrr1
rrrr)r1(r
x
rrr2rrr1
)rrrr(r
rrr2rr1
rrrr)r1(r

+




+
+



+
+




+
+
+
+




+



=
(6.29)

1r rrr
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r
.
.
.
1
.
.
.
r
.
.
.
r
.

r
.
.
.
r
.
.
.
r 1rr
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r r 1r
r r r1
D
xnxj
2xnx1xnx
xjxn2xjx1xjx
xn2xxj2x1x2x
xn1xxixj2x1x
yy

1
0
xkxky +=
là
yy
2yx
2x
y
1
yy
1yx
1x
y
1
D
D
.k
D
D
.k


=


=

Đối với trờng hợp nghiên cứu định thức có dạng:

1rr

1r
D
,rrr
1r
rr
D
==
===
==

phơng trình hồ quy sẽ có dạng (6.28). Các nguyên tố của định thức (6.33) là những
hệ số tơng quan từng đôi một giữa các biến nghiên cứu, đợc xác định theo
phơng trình

352





=
m
1
2
kk
m
1
2
jj
kk

= = r
x2x2
= = r
x1xn
= 1 .
Ta nhận thấy rằng hệ số tơng quan tổng hợp có thể đợc tính nh thế là hệ
số tơng quan từng đôi một giữa các giá trị quan trắc đợc của biến lợng phụ thuộc
vào những giá trị tính toán theo đờng hồi quy.
Khoảng lệch trung bình bình phơng của các giá trị quan trắc (y
qtr
) so với các
giá trị tính toán đợc theo phơng trình hồi quy (y
tt
) đặc trng cho độ chính xác của
phơng trình hồi quy mẫu đem dùng, có thể đợc tính theo công thức:

m
)yy(
2
m
1
pH
y


=
(6.36)
hay là

2

trong đó m - số số hạng của chuỗi đợc dùng để xây dựng phơng trình hồi
quy n số biến lợng độc lập.

jj
kj
P


=


jj
định thức con của định thức, nhận đợc bằng cách xoá bỏ dòng thứ j và
cột thứ j trong định thức.
Từ phơng trình (6.38) rút ra sai số của hệ số hồi quy (trong các điều kiện
nh nhau) sẽ tăng lên khi số lợng biến lợng tăng. Với độ dài của chuỗi các giá trị
thuỷ văn không lớn lắm việc sử dụng số biến lợng nhiều hơn bồn đê xây dựng
phơng trình hồi quy nhiều chiều sẽ nhận đợc những hệ số hồi quy kém chính xác
và lời giải về mặt thống kê là kém ổn định.
Biểu thức tổng quát của sai số trung bình bình phơng của hệ số hồi quy k
j

đối với trờng hợp ba biến lợng đợc viết dới dạng:

)r1)(2m(
y
2
2x1x1x
ki


3x1x
2
2x1x
2
3x2x
3x
y
3k
3x2x3x1x2x1x
2
3x2x
2
3x1x
2
2x1x
2
3x2x
2x
y
2k
3x2x3x1x2x1x
2
3x2x
2
3x1x
2
2x1x
2
3x2x
1x

6.4. ứng dụng phơng pháp tơng quan tuyến tính nhiều
chiều để kéo dài các chuỗi thuỷ văn ngắn sang thời kỳ
nhiều năm.
Chúng ta sẽ xét trình tự việc kéo dài các giá trị dòng chảy năm sang thời kỳ
nhiều năm của sông Kivir - trạm Miatuxôvô bằng cách sử dụng sông tơng tự là các
sông Vuokxy - trạm nhà máy thuỷ điện X (x
1
) và sông Nêva - trạm Pêtrôkrêpost
(x
2
)
Đối với sông Xvir - trạm Miatuxôvô có tài liệu quan trắc trong các thời đoạn
1881 - 1940 và 1945 - 1951. Để minh hoạ phơng pháp xây dựng phơng trình hồi
quy ta giả thiết rằng ở điểm này thông tin về dòng chảy năm chỉ có trong 20 năm
(1928 - 1940 và 1945 - 1951) đợc quan trắc đồng bộ trên ba sông nghiên cứu. Dựa
vào tài liệu quan trắc đồng bộ tròn 20 năm đó ta tìm các hệ số tơng quan của từng

355
đôi một: r
yx1
= 0,74; r
yx2
=0,88; r
x1x2
= 0,55. Trong trờng hợp này định thức (D) và
các định thức con của nó sẽ bằng:

1,055,0.88.0.74,0.230,077,055,01
155,088,0
55,0174,0

D
D
1R
yy
===

Việc tính toán trị bình quân và khoảng lệch trung bình bình phơng của
chuỗi gốc sẽ nhận đợc kết quả sau:

58,1;96,1;71,1
75,8x,79,9x,876,0y
2x1xy
21
===
=
==

Các hệ số hồi quy của phơng trình bằng:

73,0
70,0.58,1
47,0.71,1
k
32,0
70,0.96,1
26,0.71,1
k
2
1
==