CHƯƠNG 4
CHUỖI TIỀN TỆ
(ANNUITIES)

Mục tiêu của chương
Ở phần trước, chúng ta đã biết cách xác định giá trị của một khoản vốn tại
một thời điểm nhất định. Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về chuỗi tiền
tệ. Đó là một loạt các khoản tiền phát sinh định kỳ theo những khoảng thời gian
bằng nhau. Chuỗi tiền tệ khá phổ biến trong thực tế. Ví dụ, chúng ta vay một
khoản tiền tại ngân hàng và trả nợ bằng cách khoản tiền bằng nhau vào cuối mỗi
quý. Các khoản tiền đó tạo thành một chuỗi tiền tệ. Chương này sẽ giới thiệu
một số loại chuỗi tiền tệ cơ bản và nguyên tắc tính giá trị của chúng tại một thời
điểm bất kỳ.

Số tiết: 6 tiết
Tiết 1, 2, 3:
4.1. Các nguyên tắc cơ bản
4.1.1. Phương trình giá trị
Một tình huống đầu tư hoặc cho vay đơn giản bao gồm 4 yếu tố sau:
- vốn gốc đầu tư hay cho vay ban đầu
- thời gian đầu tư hay cho vay
- lãi suất
Ec 117.000.000 39.000.000 19.500.000 Lãi đơn
Er 94.813.600 36.178.100 18.768.000
Lãi kép (E’’) 100.870.600 36.178.100 18.428.700

trả lại tiền cho A sau 6 năm. Hỏi số tiền B phải trả là bao nhiêu nếu lãi suất là
9%, vốn hoá mỗi tháng.
Ở vị trí của A, ta có đồ thị như sau:

X là số tiền cần tính.
Nếu lấy cuối năm thứ 6 là thời điểm so sánh, ta sẽ có giá trị của X phải
bằng tổng các giá trị tích luỹ của các khoản tiền mà A đã cho B vay. Ta có
phương trình giá trị như sau :

X = 23.396.451 VND
Ở đây :
: giá trị tích luỹ vào cuối năm thứ 6 của 10.000.000
cho vay tại t = 0
: giá trị tích luỹ vào cuối năm thứ 6 của 5.000.000 cho vay tại t = 3
: giá trị tích luỹ vào cuối năm thứ 6 của 1.000.000 cho vay tại t = 4
Ta cũng có thể lấy thời điểm so sánh là t = 0. Khi đó, phương trình giá trị
là:
Trong đó:
,

,

, lần lượt là giá trị hiện tại hoá của 10.000.000, 5.000.000, 1.000.000 và
X tại thời điểm t = 0.
Từ đó, X = 23.396.451 VND
Để minh hoạ thêm về phương trình giá trị, ta có lấy thời điểm so sánh là t
= 3. Khi đó, ta có giá trị của các khoản tiền hoàn trả đưa về cuối năm thứ 3 phải
bằng giá trị tích luỹ của các khoản tiền cho vay trước t = 3 và giá trị hiện tại hoá
của các khoản vay sau t = 3.


và trong ví dụ thứ 2 là hai lần số tiền Y = 11.174.121 VND. Tổng số tiền B trả
trong ví dụ 2 là 2Y = 2 x 11.174.121 VND = 22.348.241 VND, ít hơn số tiền X
trong ví dụ 1 là 23.396.451 VND - 22.348.241 VND = 1.048.210 VND. Thực tế,
số tiền chênh lệch này đúng bằng khoản lợi tức sinh ra từ số tiền B trả vào cuối
năm thứ 5 với lãi suất danh nghĩa i
(12)
= 9% trong năm cuối cùng.
Ta có : 1.048.210 = 11.174.121 x [(1 + )
12
– 1]
Ví dụ :
A vay B một số tiền là 10.000.000 VND. Xác định lãi suất cho vay nếu A
trả cho B các khoản tiền 3.000.000 VND, 4.000.000 VND, 6.000.000 VND lần
lượt vào cuối năm thứ 3, thứ 6 và thứ 10. Giải:

Gọi i là lãi suất của khoản vay. Lấy thời điểm t = 0 làm thời điểm so sánh,
ta có phương trình giá trị như sau :
10.000.000 = 3.000.000 x (1 + i)
-3
+ 6.000.000 x (1 + i)
-6
+ 8.500.000 x (1 + i)
-10

Để tìm i, ta có thể dùng phương pháp nội suy.
Phương pháp nội suy :
Giả sử ta có phương trình : f(i) = s.
Trong đó, f(i) là một hàm số của i; s là một giá trị cho trước.
Để tìm i, ta tìm hai giá trị i
1

+ 6.000.000 x (1 + i)
-6
+ 8.500.000 x (1 + i)
-10
=
10.000.000
i
1
= 9% => s
1
= 9.484.646
i
2
= 8% => s
2
= 10.099.659

4.1.2. Kỳ hạn trung bình của khoản vay Giả sử B phải hoàn trả cho A một
khoản vay. Kỳ hạn trung bình của khoản vay (t
*
) là kỳ hạn mà ở đó, thay vì B trả
nhiều lần cho A các khoản tiền s
1
, s
2
,…, s
n
lần lượt tại các thời điểm t
1
, t

2
.(1 + i)
-t2
+ … + s
n
.(1 + i)
-
tn

Ví dụ:
Nam phải trả một khoản nợ bằng cách chia làm nhiều lần: 15.000.000 vào
cuối năm thứ 3, 25.000.000 VND vào cuối năm 5 vào 35.000.000 VND vào cuối
năm 6. Tính thời hạn trung bình của khoản vay, biết lãi suất là 8%.
Giải:

Chọn t = 0 làm thời điểm tương đương, ta có phương trình giá trị như
sau:
(15.000.000 + 25.000.000 + 35.000.000) x (1 + 8%)
-t*

= 15.000.000(1 + 8%)
-3
+ 25.000.000(1 + 8%)
-5
+ 35.000.000(1 +
8%)
-6

bằng nhau) và kỳ phát sinh của chuỗi tiền tệ trùng với kỳ vốn hoá của lợi tức. Ví
dụ, các khoản tiền được trả hàng tháng thì lợi tức cũng được vốn hoá mỗi tháng.
Các chuỗi tiền tệ biến đổi và kỳ phát sinh của chuỗi tiền tệ không trùng với kỳ
vốn hoá của lợi tức sẽ được giới thiệu ở phần sau.
4.2.2. Chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ
Xét một chuỗi tiền tệ gồm các khoản tiền bằng nhau a phát sinh vào cuối
mỗi kỳ trong suốt n kỳ. Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ là i. Chuỗi tiền tệ này được
gọi là chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ.
4.2.2.1.Giá trị hiện tại
a. Đồ thị biểu diễn

V
0
: Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ
Lấy thời điểm t = 0 làm thời điểm so sánh, ta có:

V
o
là dạng tổng của một cấp số nhân với n số hạng; số hạng đầu tiên là
và công bội là (1+i).
V
o
= .
Ví dụ :
Một người mua một cái bàn ủi bằng cách trả góp 12 kỳ vào cuối mỗi tháng
số tiền 1 triệu VND, lãi suất danh nghĩa i
(12)
= 9,6%. Vậy người đó đã mua cái
bàn ủi với giá bao nhiêu?
i = i

. Do đó, để đạt hiện giá V
0
, chúng ta
phải thêm vào kỳ khoản cuối cùng n
1
một khoản x.
* Cách 2: Chọn n = n
2
nghĩa là quy tròn n sang số nguyên lớn hơn
gần nhất. Lúc đó V
02
> V
0
. Do đó, để đạt hiện giá V
0
, chúng ta
phải giảm bớt kỳ khoản cuối cùng n
1
một khoản x.

Ví dụ:
1. Xác định giá trị của kỳ khoản phát sinh của một chuỗi tiền tệ đều có
8 kỳ khoản, lãi suất 2,2%/kỳ. Biết hiện giá của chuỗi tiền tệ đó là 18.156.858
VND.
2. Hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều có 12 kỳ khoản là 30 triệu VND
với giá trị của mỗi kỳ khoản là 3 triệu VND. Hãy xác định lãi suất i áp dụng cho
mỗi kỳ.


=>
Ta có thể tính i bằng phương pháp nội suy:
Đặt
Chọn: