www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1
MỤC LỤC
Trang
Mục lục: 1
§Æt vÊn ®Ò 3
Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò 3
1. Cơ sở lý luận 3
2. Cơ sở thực tiễn 3
2.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 4
2.1.1. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
4
2.1.2.Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 4
2.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành 5
2.1.4. Diện tích hình tròn, hình elip 9
2.1.4.1.Diện tích hình tròn 9
2.1.4.2.Diện tích của elip 9
2.2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 10
2.2.1.Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 10
2.2.2 Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số 10
2.2.3.Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 10
2.3.HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 14
3. Giải pháp thực hiện 14
4. Kết quả thực nghiệm 14
KẾT LUẬN 15
TÀI LIỆU THAM KHẢO 16
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN


www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

4
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận
+ Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn


b ; a
để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó.
 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì


b ; a x , 0)( xf

 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì



b ; a x , 0)( xf

+ Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) và
)(xgy

trên đoạn


b ; a

Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn


b ; a
.
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức:


b
a
dxxfS )(
(1)
Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt
đối.
 Nếu


b ; a x , 0)( xf
thì


b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(

 Nếu


b ; a x , 0)( xf

 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì



b ; a x , 0)( xf

-Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì ta có:


b
a
b
a
dxxfdxxfS )()(

2.1.2. Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ 1: Tính
dxxI



0
2
42

Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4
x ∞ 2 0 +∞


2
0
2
23

Cách 1: Xét dấu tam thức f(x) = x
2
– 3x + 2, có a = 1 > 0; và






2
1
023
2
x
x
xxwww.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

6

x 
∞ 0 1 2

2
3
3
(
0
1
)2
2
3
3
(
2323
x
xx
x
xx

=
6
5

)
6
1
(
=1
Cách 2

1
6

2
3
4
-2
O
1
A
B

Hình 1
Giải
Cách 1: Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS


2
0
2

Vì


0;2x , 0
2
x

3
8
3
0



dxxS

Bài toán 2
Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0, x = 0 và x = 3.
Hãy tính diện tích hình thang đó.
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

7
y
x
f x
 
= -x-2
3
-4
2
-1-2
O
1
A
B
Hình 2
Giải
Diện tích S của hình phẳng trên là
dxxS



0









x
x
dxxdxxS
(đvdt)
Bài toán 3.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
2
)(




x
x
xfy
, trục
hoành và các đường thẳng x = 1; x = 0.
y
x

Từ hình vẽ, suy ra
 
1;0x , 0
1
2




x
x














0
1
0
1
0

) 1ln3( 

 xx
(đvdt)
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

8
Ghi nhớ:
Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, …, x
k
thuộc (a; b) thì trên mỗi
khoảng (a; x
1
), (x
1
; x
2
), …, (x
k

+ 2 có đồ thị (C ) (Hình 12).

(C)
y
x
f x
 
= x
3
-3

x
2
 
+2
3
2
-1
4
-2
O
1
A
B

Hình 4
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường
thẳng x = 2.
Giải
Trục tung có phương trình x = 0

323
2
0
23

 







 )21
4
1
(2.22
4
2
021
4
1
1
2
)2
4
(
0
1
)2

0
23
2
0
23
)23()23(23 dxxxdxxxdxxxS

2
5
4
5
4
5
4
5
4
5

1
2
)2
4
(
0
1
)2
4
(
3
4

Hình 5
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Từ hình vẽ ta có:
Diện tích S cần tìm là


e
xdxxS
1
ln

Đặt















2
1

1



e
e
xe
xdx
e
x
x
xd
x
x
e
x
x
xdxxS
eee
(đvdt)
Bài toán 6.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
23
2
 xxy
, trục hoành , trục
tung và đường thẳng x = 3
(C)
y
x



 ;21; 023
2
xxx
và


2;1 023
2
 xxx

  

1
0
2
1
3
2
222
3
0
2
3
0
2
)23()23()23(2323 dxxxdxxxdxxxdxxxdxxxS

www.VNMATH.com


Giải: Ta có
22222
xryryx (P)
x
y
-r
2
4
-1
2
-2
-1
r
3O
1

Hình 7
Với y ≥ 0 ta có:
22
xry 
có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
Và có diện tích
2
.
2
2

x
,
ab


0

(P)
x
y
2
-b
4
-1
b
-a
-2
-1
r
a
O
1

Hình 8
Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là:

baS .

(đvdt)
www.VNMATH.com


(*)
Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ x
0
của giao điểm của hai đồ thị.
Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Thay x = x
0
vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao
điểm.
2.2.2. Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Ví dụ 1:
Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
xxy 3
2

và
3


xy

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:
33
2
 xxx










xxxxxxxx

Vì x > 0 nên
exxxxx









1ln01ln0)1(ln

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e.
2.2.3. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số:
Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x =b (a<b)
Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng
x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức:
dxxgxfS
b
a


 
 



















2;01
2;01
2;0
2
1
01
012
0)1)(12(
2

4
+ 5x
2
– 4 có đồ thị ở hình trên.
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đó với trục hoành.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

(C)
y
x
f x
 
= -x
4
+5

x
2
 
-4
-4
-1
-2
O
1
B

Hình 9
Giải: Xét phương trình:



2
0
24
)45( dxxxS

Từ hình đồ thị suy ra:


0;1x , 045
24
 xx
và


1;2x , 045
24
 xx

dxxxdxxxdxxxS )45()45()45(
2
1
242
1
0
4
2
0
24


3
2
O
1

Hình 10
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x
2
3x + 2 và đường thẳng
y = x – 1 là:






3
1
034123
22
x
x
xxxxx

www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

13
Suy ra diện tích của hình phẳng trên là:

2




xx
x
dxxxS
(đvdt)
Cách 2: Xét dấu tam thức x
2
- 4x + 3 ta có:
x ∞ 1 3 + ∞
x
2
– 4x + 3 + 0  0 +
Do đó x
2
– 4x + 3 ≤ 0  x  [1; 3]

3
4
3
4
1
3
)32
3
()34(
2

2




xx
x
dxxxdxxxSBài toán 11. Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2.
b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến .

H
i

(C)
x
y
-5
2
-2
-3
-1
3
1
-3 -2 -1
432O
1
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

14
Bài toán 12: Cho hàm số
1
1
2



x
xx
y
có đồ thị (C )
a/ Tìm tiệm cận xiên  của đồ thị hàm số đó.
b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), tiệm cận xiên  và các đường







x
x
x
xx
x
xx
y

0)
1
1
(lim)
1
1
(lim)(lim 





x
x
x
xxy

(đvdt)
Hoặc dựa vào đồ thị ta có ngay kết quả trên www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

15
2.3. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ
Bài toán 13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
]3;2[0,,32
2
 trênyxyxy
.
y Hình 13

2
3





xx
x
xx
x

Bài toán 14: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số
2,,22
2
 xyxyxy Hình 14
Bài toán này nếu ta không vẽ đồ thị thì giải rất phức tạp
x
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

16
Nhìn vào đồ thị ta thấy nếu để nguyên đồ thị như vậy thì ta chưa tính được. Ở đây ta phải

dụng kiến thức để giải bài tập tốt hơn lớp đối chứng. KẾT LUẬN

Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng việc sử dụng
phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khả
quan. Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài toán tính diện
tích của hình phẳng ở chương trình giải tích 12. Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực
quan, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học. Từ đó, các em học sinh rất
thích thú và học tốt vấn đề này.
Chắc chắn rằng sẽ còn có nhiều bài toán mà ta có thể giới thiệu cho học sinh, nhưng
do điều kiện và kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi chỉ đưa ra một số ví dụ mà trong quá trình
giảng dạy tôi đã giới thiệu cho học sinh. Vì vậy rất mong được sự đóng góp của các đồng
nghiệp để cho đề tài của tôi thêm hoàn chỉnh và có thể ứng dụng cho các năm học sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

17
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

 Các bài giảng luyện thi môn Toán NXB Giáo Dục
 Đại số sơ cấp –Trần phương
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN


19
4
3. Phơng pháp đa về hai luỹ thừa cùng bậc 10
4. Phơng pháp dùng hệ số bất định 11
5. Phơng pháp đánh giá 12
III. Các biện pháp tổ chức thực hiện 13
C kết luận 18
D Tài liệu tham khảo và mục lục 19
www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

20
B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò.
I. HƯỚNG KHẮC PHỤC 1
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG 2

II.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
II.1.1. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b
II.1.2. Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2
II.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành. 3
II.1.4 Diện tích hình tròn, hình elip: 7

II.1.4.1.Diện tích hình tròn:
II.1.4.2.Diện tích của elip

II.1.4.3 Bài tập tương tự: 8

II. 2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 9


dxxdxxV
ee


1
2
1
2
ln)(ln

(đvtt)
Đặt













xv
dx
x
xdu
dxdv


Ie 2





e
xdxI
1
ln

Đặt













xv
dx
x
du


= (e – 2) (đvtt)
Bài toán 39
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau
quanh trục hoành Ox.
4
2
 xy
, y = 2x 4 , x = 0 , x = 2.
Giải
Chú ý
 Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và
hai đường thẳng x = a , x = b, trong đó ( a < b).
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay.
Thể tích của vật thể này được tính theo công thức:
 
dxxfV
b
a
2
)(




0
2
)168
3
4
()16164()42(
2
0
2
3
2
2
0
2
1




xx
x
dxxxdxxV
(đvtt)
Gọi V
2
là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn
đường y = x
2
– 4 , y = 0 , x = 0 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
15

2
, trục hoành và đường thẳng y =
x + 2.
(C)
d
x
y
2
-2
4
-1
3
2
1
-3 -2
-1
3
O 1

Hình 43

Giải
Gọi V
1
là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường
y = x + 2 , y = 0 , x = 2 , x = 1 quanh trục hoành Ox.

9
2
1

, y = 0 , x = 1 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
15
53
)816()4(
2
1
42
2
1
22
2




dxxxdxxV
(đvtt)
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là:
15
188
9
15
53
12



 VVV
(đvtt)
Bài tập tương tự

Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành.

Bài 5 Cho hàm số y = x
3
– 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2.
c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến .
d/ T ính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng trên quanh trục hoành.
2/ Vật thể tròn xoay khi quanh một hình phẳng quanh trục tung Bài toán 42. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C ):
44
22
 yx

, trục tung, hai đường thẳng x = 2 , y = 2.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục tung.
 Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục tung và hai
đường thẳng y = m , y = n, trong đó ( m < n).
Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể tròn xoay.
Thể tích của vật thể này được tính theo công thức:

 
dyygV
n
m
2
)(

1
là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa elip
(E ), trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung.

12
11
3
11
.
4
)4(
4
)4
2
1
(
1
0
22
1
0
2
1




dxxdxxV
(đvtt)
Gọi V

Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (P ): x
2
+ y
2
= r
2

với r > 0 và y ≥ 0. (hình 49)
Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán hính bằng r.
Thể tích của mặt cầu này là:
3
.
3
4
rV


(đvtt)

www.VNMATH.com
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

25
(P)
x
y
-r
2
4
-1

r





3
.4
)
3
(2
33
3
rr
r



(đvtt)
b/ Thể tích của khối trụ:
Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn bởi đường thẳng y = r ( r > 0) ; trục hoành và
các đường thẳng x = 0; x = h ( h > 0).
Quay hình phẳng trên quanh trục hoành ta được một khối trụ có bán kính đáy bằng r và
chiều cao h.
Thể tích của vật thể tròn xoay ( khối trụ )này là:
hrrhr
h
xrdxrV
h
0

323
2
2
0
2
2
2
2
0
hr
h
hr
h
x
h
r
x
h
r
dxx
h
r
V
hh




(đvtt).