Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

Áp dụng Nếu
A
0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0

Bài 1 Giải phương trình:

22
4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + +=

Ta có:
()( )
⇔−++
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=−
⎪

6
=Bài 2 Giải phương trình:

( )
2
8cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *
+− +=Ta có:
()
( )
⇔ +++−
* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0
=

()
()
⇔+++−
⇔++−=
⎧⎧
=−
=−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪

3

www
.
l
a
i
s
ac
.
pa
g
e.
tl

P
P
P
H
H
H
Ư
Ư
Ư
Ơ
Ơ
Ơ
N
N
N

G
G
G
G
G
G
I
I
I
Á
Á
Á
C
C
C
K
K
K
H
H
H
Ơ
Ơ
Ơ
N
N
N
G
G
G


=






= = = +



= +


1
cos 4x
2
22
x +m2 hay x m2 hay x m2 , m
33
2
xm2,m
3

(ta nhaọn
=
k
1
vaứ loaùi k = 0 )

3 cos x sin x 3 sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x
33
sin 2x.cos 2x sin 4x
24
2

()
()
+ =

+=



+ =


22 2
2
24
2
2
222
1
Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0
4
111
sin3x sinx sin3x sin3x 0vaứsin4x 0
244
11









==


=

=



sin 4x 0
sin 4x 0
1
sin 3x 0 sin x
2
sin x 0 (VN)
sin 3x 1





=

⎩
ππ
⇔=+π∨= +π∈


sin 4x 0
1
sin x
2
sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66
Trường hợp 2

Phương pháp đối lập
Nếu
A
MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=

⎪
⇔⇔
⎨⎨
= =±
−=
⎪
⎩
⎩
⇔=−
π
⇔=+π∈
2
2
cos 2x sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 0
sin 2x 0 (cos2x 1)
sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
xk,k
2

Cách khác
Ta có
−≤ ≤ ≤+
44 4
inx cosx sinx sinx sinx cosxs


22
4 sin 3x.sin x 6 2sin 3x
⇔=
+
•
Do: và
2
sin 3x 1
≤
2
sin x 1
≤

nên
22
4sin 3xsin x 4
≤

•
Do nên
62≥−sin 3x 1 sin3x 4+ ≥

Vậy
22
4sin 3x sin x 4 6 2sin 3x
≤≤+
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi
⎧
=
⎧

⎩


xk2,k
xk2,k
2
2
sin 3x 1
π∈Bài 5 Giải phương trình:
33
cos x sin x
2cos2x (*)
sin x cos x
−
=
+

Điều kiện:
sin

x 0 cos x 0≥∧ ≥
Ta có: (*)
()
( )
( )
( )
22

≥≥
2
cos x cos x cos x

Vậy
si
và
n x cos x 1
+≥
sin x cos x 1
+ ≥

Suy ra vế phải của (2) thì
2≥
Mà vế trái của (2):
13
1sin2x
22
+≤

Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*)
π
⇔=+π∈
xk,k
4Bài 162: Giải phương trình:
3 cos x cos x 1 2(*)


( )
22
cos 3x 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)
+− = +Do bất đẳng thức Bunhiacốpski:

222
2
A
XBY A B.X Y+≤ + +
nên:
( )
222
1cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+− ≤ +− =
Dấu = xảy ra
2
cos 3x 2 cos 3x⇔=−22
cos3x 0
cos 3x 2 cos 3x
cos3x 0
cos3x 1
cos3x 1
≥
⎧

⇔
⎨
π
=∈
⎪
⎩
⇔= π ∈


cos 3x 1 sin 2x 0
cos 3x 1
k
x,k(có4đầungọncun
2
x2m,m
g)Bài 164:
Giải phương trình:
22 5
tg x cotg x 2sin x (*)
4
π
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠
+≤
⎜⎟
⎝⎠

dấu = xảy ra khi sin x 1
4
π
⎛⎞
+ =
⎜⎟
⎝⎠

Do đó:
22 5
tg x cotg x 2 2sin x
4
π
⎛⎞
+≥≥ +
⎜⎟
⎝⎠

Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
sin x 1
4
=
⎧
⎪
⇔


Trường hợp 3:
Áp dụng: Nếu
A
MvàB M A M
thì
A
BMN BN
≤≤
⎧⎧
⎨⎨
+= + =
⎩⎩
==
⎧
+=⇔
⎨
=
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1=
⎧
−=⇔


Ta có:
()
3x
*cos2xcos
4
⇔+
2=

3x
Do cos 2x 1 và cos 1
4
≤ ≤

nên dấu = của (*) chỉ xảy ra
()
=π ∈
=
⎧
⎧
⎪⎪
⇔⇔ ⇔=π
π
⎨⎨
=∈
=
⎪⎪
⎩
⎩
π

==
⎪⎪
⎩⎩


cos 2x 1 x k , k
x8m,m
3x 3k
cos 1 cos 1
44Bài 166: Giải phương trình:
()
cos2x cos 4x cos6x cos x.cos2x.cos 3x 2 *++= +PHƯƠN
G

PHÁP
ĐÁNH
G
IÁ
()
2
cos2x cos4x cos6x 2cos3xcosx 2cos 3x 1
2cos3x cosx cos3x 1
4 cos 3x.cos 2x.cos x 1
++ = + −

⎨⎨
⎪⎪
==
⎩⎩

cos2x cos4x cos6x 3
cos 2x 1 2x k2 , k (1)
cos 4x 1 cos 4x 1 (2)
cos 6x 1 cos 6x 1 (3)

⇔ = π∈⇔=π∈
2x k2 ,k x k ,k

( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa)
Bài 7
Giải phương trình:
(
)
cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+=Ta có:
()
⎛⎞⎛
⇔=− + + +
⎜⎟
⎜
⎜⎟
⎜
⎝⎠⎝

⇔⇔
⎨⎨
ππ
π
⎛⎞
⎪⎪
+=+ π∈
+=
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
π
⎧
=+π∈
⎪
π
⎪
⇔⇔=+π
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩




⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+ =+ π∈
⎜⎟
⎪⎪
⎩
⎝⎠
⎩

sin 2x 1
sin 2x 1
6
6
(*)
sin x 1
xh2,h
6
62

⎧π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎪

* 4cos x 2 2cos x 1 1 2sin 2x 1
=

⇔− + =
⇔= −+ =
222
2
4cosx 4 cos x 8sin x cos x 0
cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x cos x 0

(
)
⇔= + −=
⇔= − =
2
cos x 0 hay 1 cos x 2sin x 1 0
cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 (* *)

()
⇔= − + =
⇔=∨ +=
1
cosx 0 hay 1 cos3x cosx 0
2
cos x 0 cos3x cos x 2

=
⎧
⇔=∨
⎨

==
⎧⎧
⇔=∨ ∨
⎨⎨
=
=−
⎩⎩
cos x 1 cos x 1
cos x 0
cos2x 1 cos2x 1=π∈ =π+π∈
⎧⎧
π
⇔=+π∈∨ ∨
⎨⎨
==
−
⎩⎩


xk2,k x k2,k (loại
xk,k
cos 2x 1 cos 2x 1
2
)π

()
⇔+
⇔++
sin 2xsin x cos 3x sin 3xsin x.cos2x 1 0
sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0

()
⇔=−
⇔− − =−
⇔−=
==
⎧⎧
=
⎧
⎪⎪
⇔⇔−=⇔−
⎨⎨ ⎨
=−
⎩
⎪⎪
=
−=−
⎩⎩
33
2
sin x.sin 5x 1
1
cos6x cos4x 1
2
cos 6x cos 4x 2

⎪⎪
=− =
⎩⎩

xk2,k x k2,k
hay
22
sin 5x 1
sin 5x 1

x⇔∈∅

Bài 9
Giải phương trình:
( )
22
cos 3x.cos2x cos x 0 *−=Ta có:
() () ()
⇔ +−+
11
* 1 cos 6x cos2x 1 cos2x 0
22
=



2
2
cos 6x cos 2x 1
1
cos 8x cos 4x 1
2
cos 8x cos 4x 2
cos 8x 1
cos 4x 1
2cos 4x 1 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
cos 4x 1
4x k2 ,k
k
x,k
2

Cách khác
⇔=cos 6x cos 2x 1

= =−
⎧⎧
⇔
⎨⎨
= =−
⎩⎩
cos 2x 1 cos 2x 1


cos8x 1 cos8x 1
cos 4x 1 4x k2 , k

π
⇔= ∈

k
x,k
2Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
y = a
x

là hàm giảm khi 0< a <1.
Do đó ta có

sin sin
, ,
cos s ,
,
mn
mn
xxnmxkk
xcoxnmx kk
π
π
π

−=
*

Ta có:
()
2
x
*1 cos
2
⇔= +
x

Xét
2
x
ycosxtrên
2
=+
R

Ta có:
y'

x sinx=−
và
y'' 1 cosx 0 x R=
−≥∀∈

Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R
Vậy

xx
+=+
4681
0
x
(*)
Ta có

sin sin
sin sin
2
2
và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx =0
và dấu=xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx =0
xx
xx
⎧
≥
⎪
⎨
≥
⎪
⎩
48
610
⇔
sin
2
x = 1
∨

Giải các phương trình sau
()
−+ =
π
⎛⎞
−=+ −
⎜⎟
⎝⎠
+=
23
22 2
1. lg sin x 1 sin x 0
2. sin 4x cos 4x 1 4 2 sin x
4
1
3. sin x sin 3x sin x.sin 3x
4

()
π=
+=+
−=+
sin x
2
4. cos x
5. 2cos x 2 sin10x 3 2 2 cos 28x.sin x
6. cos 4x cos 2x 5 sin 3x

( )
()(

+= −
+=−
−− ++
33 4
22
14. sin x cos x 2 2 cos 3x
15. sin x cos x 2 sin x
16. cos x 4 cos x 2x sin x x 3 0
=

+=+
+− −+
sin x
2
22
17. 2 sin x sin x cos x
18. 3cot g x 4 cos x 2 3 cot gx 4 cos x 2 0
=


cảm
ơn
t
ác
laisac
khơng
biêt

đư
ợc