CHƯƠNG VIII
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

Áp dụng Nếu
A
0B0
AB0
≥∧ ≥
⎧
⎨
+=
⎩
thì A = B = 0

Bài 156 Giải phương trình:

22
4cos x 3tg x 4 3cosx 2 3tgx 4 0 (*)+− + +=

Ta có:
()
(
)
⇔−++
⎧
=
⎪
⎪
⇔

1
tgx
3
xk2,k
6
=Bài 157
Giải phương trình:

(
)
2
8cos4x.cos 2x 1 cos3x 1 0 *+− +=

Ta có:
() ( )
⇔
+++−* 4cos4x 1 cos4x 1 1 cos3x 0=
()
()
⇔+++−
⇔++−=
⎧⎧
=− =−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪

3


=






= = = +



= +


1
cos 4x
2
22
x +m2hay xm2hayxm2,m
33
2
xm2,m
3

(ta nhaọn
=
k1 vaứ loaùi k = 0 )

2

()
()
+ =

+=



+ =


22 2
2
242
2
222
1
Vaọy: * sin x sin 3x sin x sin 3x vaứ sin 4x 0
4
111
sin 3x sin x sin 3x sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
244
11
sin 3x sin x sin 3x 1 sin 3x 0 vaứ sin 4x 0
24







==


=

=



sin 4x 0
sin 4x 0
1
sin 3x 0 sin x
2
sin x 0 (VN)
sin 3x 1





=



=


1
sin x
2
sin 4x 0
5
xk2 k2,k
66
5
xk2x k2,k
66 Trường hợp 2 Phương pháp đối lập
Nếu
A
MB
AB
≤≤
⎧
⎨
=
⎩
thì
A
BM
=
=

Bài 159 Giải phương trình:
−=+

⎩
⎩
⇔=−
π
⇔=+π∈
2
2
cos 2x sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
cos 2x 0
cos 2x 0
sin 2x 0 (cos 2x 1)
sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
xk,k
2

Cách khác
Ta có
−≤ ≤≤+
44 4
x cos x sin x sin x sin x cos xsin

Do đó
=
⎧
⎪
⇔⇔=
⎨

22
4sin 3xsin x 4
≤

• Do nên
62≥−sin 3x 1 sin3x4
+
≥

Vậy
22
4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x≤≤+
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi
⎧
=
⎧
⎪
=
=⇔
⎨⎨
=
−
⎩
⎪
=−
⎩
2
2
2
sin 3x 1

sin x cos x
−
=
+

Điều kiện:
si

n x 0 cos x 0≥∧ ≥
Ta có: (*)
()( )
(
)
(
)
22
cos x sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x⇔− + = − +

()
()
−=
⎡
⎢
⇔
+=+ +
⎢
⎣
cos x sin x 0 (1)
1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)


Mà vế trái của (2):
13
1sin2x
22
+≤

Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*)
π
⇔=+π∈

xk,k
4Bài 162: Giải phương trình:
3 cos x cos x 1 2(*)−− += Ta có: (*) 3cosx 2 cosx1⇔− =+ +

()
3cosx 5cosx4cosx1
2cosx 1 4 cosx 1
⇔− =+ + +
⇔− + = +

Ta có:
(
)

nên:
(
)
222
1cos3x 1 2 cos 3x 2. cos 3x 2 cos 3x 2+− ≤ +− =

Dấu = xảy ra
2
cos3x 2 cos 3x⇔=−22
cos3x 0
cos 3x 2 cos 3x
cos3x 0
cos3x 1
cos3x 1
≥
⎧
⇔
⎨
=−
⎩
≥
⎧
⇔⇔
⎨
=±
⎩
=

2
x2m,m
g)Bài 164: Giải phương trình:
22 5
tg x cotg x 2sin x (*)
4
π
⎛⎞
+= +
⎜⎟
⎝⎠ Điều kiện:
sin 2x 0
≠

• Do bất đẳng thức Cauchy:
22
tg x cotg x 2
+
≥
dấu = xảy ra khi tgx cotgx
=

• Mặt khác:
sin x 1

tg x cotg x 2 2sin x
4
π
⎛⎞
+≥≥ +
⎜⎟
⎝⎠

Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
sin x 1
4
=
⎧
⎪
⇔
π
⎨
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩⎧
=
⎪

⎩⎩
==
⎧
+=⇔
⎨
=
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1=
⎧
−=⇔
⎨
=
−
⎩
sin u 1
sin u sin v 2
sin v 1=
−
⎧

≤
≤

nên dấu = của (*) chỉ xảy ra
()
=π ∈
=
⎧
⎧
⎪⎪
⇔⇔ ⇔=π
π
⎨⎨
=∈
=
⎪⎪
⎩
⎩
π
π= ⇔ =
=∈Ζ =

∈


xk,k
cos 2x 1
x8m,m
8h
3x

()
cos2x cos4x cos6x cosx.cos2x.cos3x 2 *++= +()
2
cos2x cos 4x cos6x 2cos 3x cos x 2 cos 3x 1
2cos3x cosx cos3x 1
4 cos 3x.cos 2x.cos x 1
++ = + −
=
+−
=−

Vậy:
()
1
cos3x.cos2x.cos x cos2x 6cos4x cos6x 1
4
=
+++

Do đó:
() ()
()
⇔++= ++
⇔++=
19
* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x
44

)
cos2x3sin2x3sinxcosx40*−−−+=

Ta có:
()
⎛⎞⎛
⇔=− + + +
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
13 31
* 2 cos2x sin 2x sin x cos x
22 22
⎞
⎟
⎟
⎠ππ
⎛⎞⎛
⇔= − + +
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2sin2x sinx
66
⎞
⎟
⎠


⎪
⇔⇔=+π
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩
∈





sin 2x 1
2x k2 ,k
6
62
xh2,h
sin x 1
62
6
xk,k
3
xh,h
3
xh2,h
3

Cách khác

6
6
(*)
sin x 1
xh2,h
6
62

⎧π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎪
π
⎪
⎝⎠
⇔⇔=+
⎨
π
⎪
=+ π∈
⎪
⎩
π∈


sin 2x 1
6
xh,h
3

2
cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0
cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *)

()
⇔= − + =
⇔=∨ +=
1
cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0
2
cos x 0 cos 3x cos x 2

=
⎧
⇔=∨
⎨
=
⎩
cos 3x 1
cos x 0
cos x 1

=
⎧
⇔=⇔
⎨
−
=
⎩
⇔=∨=

⇔=+π∈∨ ∨
⎨⎨
==−
⎩⎩


xk2,k x k2,k (loại
xk,k
cos 2x 1 cos 2x 1
2
)π
⇔=+π∨= π∈

xkxk2,k
2

Bài 169: Giải phương trình:

()
1
tg2x tg3x 0 *
sin x cos 2x cos 3x
++ =Điều kiện:
sin 2x cos 2x cos 3x 0

⎨⎨ ⎨
=−
⎩
⎪⎪
=
−=−
⎩⎩
33
2
sin x.sin 5x 1
1
cos6x cos4x 1
2
cos 6x cos4x 2
tcos2x tcos2x
cos6x 1
4t 3t 1 4t 3t 1
cos4x 1
t0
2t 1 1
=

Do đó: (*) vô nghiệm.
Cách khác
=
=−
⎧⎧
⇔=−⇔
⎨⎨
=


Ta có:
() () ()
⇔
+−+
11
* 1 cos 6x cos2x 1 cos 2x 0
22
=()
⇔
=
⇔
+=
⇔+=
=
⎧
⇔
⎨
=
⎩
⎧
−=
⇔
⎨
=
⎩
⎧

Cách khác

⇔=cos 6x cos 2x 1

=
=−
⎧⎧
⇔
⎨⎨
=
=−
⎩⎩
cos2x 1 cos2x 1
hay
cos6x 1 cos6x 1

=π∈ =π+π∈
⎧⎧
⇔
⎨⎨
==−
⎩⎩
2x k2 , k 2x k2 , k
hay
cos 6x 1 cos 6x 1

π
=∈

k

mn
mn
xxnmxkk
xcoxnmx kk
π
π
π
π
<⇔>∀≠+∈
<⇔>∀≠+
2
2
∈



sin sin ,
cos s ,
mn
mn
x
xnmx
x
co x n m x
≤⇔≥
≤⇔≥
∀
∀
−≥∀∈

Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R
Vậy
()
(
)
(
)
x0,:x0nêny'xy'0∀∈ ∞ > > =0()
(
)
(
)
x,0:x0nêny'xy'0∀∈−∞ < < =0

Do đó:

Vậy :
2
x
ycosx1x
2
=+ ≥∀∈R

Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0
Do đó

⎩
48
610
⇔
sin
2
x = 1 sinx = 0 ∨
⇔
x =
±
,kxkk
π
ππ
+
∨= ∈22
2


Cách khác
(*)
sin sin sin sin
x
ha
y
xx x⇔= +=+
4246
01

sin sin
x

sin x
2
4. cos x
5. 2cos x 2 sin10x 3 2 2cos 28x.sin x
6. cos 4x cos 2x 5 sin 3x

(
)
()(
() ()
+= −
−++−
+=−
=
a2
7. sin x cos x 2 2 sin 3x
8. sin 3x cos 2x 2sin 3x cos 3x 1 sin 2x 2cos 3x 0
9. tgx tg2x sin 3x cos 2x
10. 2 log cot gx log cos x
)
=

()
π
⎡⎤
=∈
⎢⎥
⎣⎦
+=
−+ +