I. BIẾN ĐỔI TRỰC TIẾP VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Thí dụ 1.
33 2
2(sin cos3 cos sin3 ) 3sin 2 .xx xx x+=

(,
2
xk
π
=
,
62
xm
ππ
= +
, ).km∈

Thí dụ 2.
2 2 44
23
sin cos cos sin .
36 4
x x xx
ππ
  
+ + −= − +
  
  

(,
6

π
π
=−+
23 2
,
5 10 5
xm
απ π
=−++
, ).km∈
2
(cos ,
29
α
=
5
sin ).
29
α
=

Lưu ý: Giải PT
(sin cos ) (sin cos ) 0au vbv u++ +=
bằng cách đặt
22
cos ;
a
ab
α
=


+


12
5
(, )
33
xx
ππ
= =
.
(A-2003)
2
cos2 1
cot 1 sin sin2 .
1 tan 2
x
x xx
x
−= + −
+

(,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

π
π
=±+
).k ∈

(B-2004)
2
5sin 2 3(1 sin )tan .x xx−= −

( 2,
6
xk
π
π
= +
5
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

(B-2006)
cot sin 1 tan tan 4.
2
x
xx x


2
,
42 7
xm
ππ
= +
, ).km∈

(D-2002) Tìm
x
thuộc đoạn
[ ]
0;14
nghiệm đúng của phương trình:

cos3 4cos2 3cos 4 0.x xx− + −=

(,
2
x
π
=
3
,
2
x
π
=
5
,


(D-2007)
2
sin cos 3cos 2.
22
xx
x

++ =



( 2,
2
xk
π
π
= +
2,
6
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2009)
3cos5 2sin3 cos2 sin 0.x xxx− −=

(,

Thí dụ 4. Chứng minh rằng nếu cả ba góc của tam giác
ABC
cùng là nghiệm của phương trình sau thì
ABC
là
tam giác đều:
tan 2sin2 2 3.xx+=


Lưu ý: Nếu trong phương trình có
tan (2 ) 0a u bf u c+ +=
trong đó
f
là một trong các hàm số
sin,
cos,
tan,
cot,

thì đặt
tantu=
và biến đổi phương trình theo công thức
2
2
sin2 ;
1
t
u
t
=

xx x++ =

( 2,
2
xk
π
π
=−+
2,xm
ππ
= +
, ).km∈

Lưu ý: Nếu đặt
sin costxx= +
thì
2
sin 2 1;xt= −
2
1
sin .cos .
2
t
xx
−
=

Nếu đặt
sin costxx= −
thì

sin x
và
cos ,x
ta có thể chia hai vế của
phương trình cho
3
cos x
hoặc
3
sin x
để đưa PT đã cho về PT bậc ba của
tan x
hoặc
cot .x

III. BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Thí dụ 7. Giải phương trình:
sin sin2
1.
sin3
xx
x
+
= −

(,
2
xk
π
π



( 2,
6
xk
π
π
=−+
7
2,
6
xm
π
π
= +
2,
2
n
π
π
−+
2,p
ππ
+
, , , ).kmnp∈

Lưu ý: Nếu trong phương trình có số hạng dạng:

2
sin sin ;a xb xc++

Lưu ý: Các hệ thức hay dùng:
(sin tan 1) (cos cot 1) (sin cos sin cos ) ;
cos sin
ab
ax x b x x x x xx
xx

+ ++ + += + + +


(tan sin 1) (cot cos 1) (sin cos sin cos ) .
cos sin
ab
axx bxx xxxx
xx

− ++ − += + − +



(A-2005)
22
cos 3 cos2 cos 0.xx x−=
(
,
2
xk
π
=
).k ∈

=−+
2,
2
xm
π
π
= +
2,xp
π
=

, , ).kmp∈

(A-2008)
11 7
4sin .
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π

+=−




1 tan
2
x xx
x
x
π

++ +


=
+

( 2,
6
xk
π
π
=−+
7
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

(A-2011)
2

k
x
π
=

,
2
m
x
π
=
, ).km∈

(B-2005)
1 sin cos sin2 cos2 0.xx x x++ + + =

(,
4
xk
π
π
=−+
2
2,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

xm
π
π
=−+
, ).km∈

(B-2010)
(sin2 cos2 )cos 2cos2 sin 0.x xx x x+ + −=

(,
42
xk
ππ
= +
).k ∈

(B-2011)
sin 2 cos sin cos cos2 sin cos .xx xx x x x+ = ++

( 2,
2
xk
π
π
= +
2
,
33
xm
ππ

(2cos 1)(2sin cos ) sin2 sin .x x x xx− +=−

( 2,
3
xk
π
π
=±+
,
4
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2006)
cos3 cos2 cos 1 0.x xx+ − −=

(,xk
π
=
2
2,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

3
xk
π
π
= +
).k ∈

IV. ĐÁNH GIÁ HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Thí dụ 10.
2
(cos4 cos2 ) 5 sin3 .xx x−=+

( 2,
2
xk
π
π
= +
).k ∈

Lưu ý: Các BĐT thường dùng để ước lượng:
sin 1;x ≤
cos 1;
x
≤
22
sin cos .a xb x a b+ ≤+

Nếu
,mn

2 2sin
x x xx
x
+−
=
−

5
( 2,
4
xk
π
π
= +
).k ∈

Lưu ý: Nếu trong phương trình có các số hạng bậc hai dạng
2
sin ( );u
α
+
2
cos ( )u
β
+
ta thường làm như sau:
- Sử dụng công thức hạ bậc để đưa các số hạng bậc hai về bậc nhất của
cos
góc nhân đôi.
- Sử dụng công thức biến tổng thành tích để rút gọn và quy về phương trình cơ bản hoặc đơn giản hơn.


Lưu ý: Giải PT
(sin cos ) (sin cos ) 0au vbv u++ +=
bằng cách đặt
22
cos ;
a
ab
α
=
+
22
sin ;
b
ab
α
=
+
22
0,ab+≠

đưa về dạng
sin( ) cos( ) 0.uv
αα
++ −=

(B-2009)
3
sin cos sin2 3cos3 2(cos4 sin ).x xx x x x
+ +=+

ππ
=−+
).k ∈

(A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng
(0;2 )
π
của phương trình

cos3 sin3
5 sin cos2 3.
1 2sin2
xx
xx
x
+

+=+

+


12
5
(, )
33
xx
ππ
= =
.

π
π
=±+
).k ∈

(B-2004)
2
5sin 2 3(1 sin )tan .x xx−= −

( 2,
6
xk
π
π
= +
5
2,
6
xm
π
π
= +
, ).km∈

(B-2006)
cot sin 1 tan tan 4.
2
x
xx x


x
π
=
3
,
2
x
π
=
5
,
2
x
π
=
7
).
2
x
π
=

(D-2005)
44
3
cos sin cos sin 3 0.
4 42
xx x x
ππ
  

6
xm
π
π
=−+
, ).km∈

(D-2009)
3cos5 2sin3 cos2 sin 0.x xxx− −=

(,
18 3
xk
ππ
= +
,
62
xm
ππ
=−+
, ).km∈

(D-2010)
sin2 cos2 3sin cos 1 0.x x xx− + − −=

( 2,
6
xk
π
π

tan (2 ) 0a u bf u c+ +=
trong đó
f
là một trong các hàm số
sin,
cos,
tan,
cot,

thì đặt
tantu=
và biến đổi phương trình theo công thức
2
2
sin2 ;
1
t
u
t
=
+
2
2
1
cos2 ;
1
t
u
t
−

ππ
= +
, ).km∈

Lưu ý: Nếu đặt
sin costxx= +
thì
2
sin 2 1;xt= −
2
1
sin .cos .
2
t
xx
−
=

Nếu đặt
sin costxx= −
thì
2
sin2 1 ;xt= −
2
1
sin .cos .
2
t
xx
−

sin x
để đưa PT đã cho về PT bậc ba của
tan x
hoặc
cot .x

III. BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Thí dụ 5. Giải phương trình:
sin sin2
1.
sin3
xx
x
+
= −

(,
2
xk
π
π
= +
).k ∈

Lưu ý: Công thức
sin3 sin (2cos 1)(2cos 1) 4sin sin sin .
33
xxx x x x x
ππ
  

2,
6
xm
π
π
= +
2,
2
n
π
π
−+
2,p
ππ
+
, , , ).kmnp∈

Lưu ý: Nếu trong phương trình có số hạng dạng:

2
sin sin ;a xb xc++
2
cos cosa xb xc++
thì lưu ý cách phân
tích thành tích:
2
12
( )( ).at bt c a t t t t+ += − −

Thí dụ 7.


(tan sin 1) (cot cos 1) (sin cos sin cos ) .
cos sin
ab
axx bxx x xxx
xx

− ++ − += + − +



(A-2007)
22
(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin2 .xx xx x+ ++ =+

(,
4
xk
π
π
=−+
2,
2
xm
π
π
= +
2,xp
π
=

2
1 sin 2 cos2
2sin sin 2 .
1 cot
xx
xx
x
++
=
+

(,
2
xk
π
π
= +
2,
4
xm
π
π
= +
, ).km∈

(A-2008)
11 7
4sin .
3
sin 4

8
xp
π
π
= +
, , ).kmp∈

(A-2010)
(1 sin cos2 )sin
1
4
cos .
1 tan
2
x xx
x
x
π

++ +


=
+

( 2,
6
xk
π
π

1 sin cos sin2 cos2 0.xx x x++ + + =

(,
4
xk
π
π
=−+
2
2,
3
xm
π
π
=±+
, ).km∈

(B-2007)
2
2sin 2 sin7 1 sin .xx x+ −=

(,
84
xk
ππ
= +
52
,
18 3
xm

= +
).k ∈

(B-2011)
sin 2 cos sin cos cos2 sin cos .xx xx x x x+ = ++

( 2,
2
xk
π
π
= +
2
,
33
xm
ππ
= +
, ).km∈

(D-2004)
(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin .x xx xx− +=−

( 2,
3
xk
π
π
=±+
,

π
=±+
,
4
xm
π
π
= +
, ).km∈

(D-2011)
sin2 2cos sin 1
0.
tan 3
x xx
x
+ −−
=
+

( 2,
3
xk
π
π
= +
).k ∈

IV. ĐÁNH GIÁ HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Thí dụ 8.

( 90 , 45 )A BC= = =

.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
(DB1-D2008)
( )
44
4 sin cos cos4 sin2 0.xx xx+ ++=

( , ).
4
x kk
π
=− +π ∈

(DB1-D2007)
2 2sin cos 1.
12
xx
π

−=



( , , ).
43
xkxkk
ππ
= +π = +π ∈

x
π−

+− =



( , ).
4
x kk
π
=− +π ∈

(DB1-D2005)
22 3
sin cos2 cos (tan 1) 2sin 0.xx xx x+ −+ =

5
( 2, 2, ).
66
x kx kk
ππ
=+π= +π∈

(DB2-D2004)
sin sin 2 3(cos cos2 ).xx xx+= +

22
( , 2 , ).
93

cos (cos 1)
2(1 sin ).
sin cos
xx
x
xx
−
= +
+

( 2, 2, ).
4
x kx kk
π
=−+π=π+π∈

(DB2-D2002) Xác định
m
để phương trình
44
2(sin cos ) cos4 2sin2 0x x x xm+ + + −=
có ít nhất một nghiệm thuộc
đoạn
0; .
2
π





x
ππ

∈−



(DB2-B2008)
2
3sin cos2 sin2 4sin cos .
2
x
xxx x++=

(DB1-B2008)
1
2sin sin 2 .
3 62
xx
ππ
  
+− −=
  
  

( 2 , , ).
23
x k x kk
ππ
= + π =− +π ∈

=+π=+π=π+π∈


(DB2-B2006)
cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0.x xx x++ − =

( , 2, 2, ).
42
xkxkxkk
ππ
=+π=+π=π+π∈


(DB1-B2006)
22 2
(2sin 1) tan 2 3(2cos 1) 0.
xx x
− + −=

( , ).
62
x kk
ππ
=±+ ∈

(DB2-B2005) Tìm nghiệm trên khoảng
(0; )π
của phương trình
22
3





(DB2-B2004)
sin 4 sin7 cos3 cos6 .xx xx=

( , , ).
20 10 2
x k x kk
ππ π
= + = +π ∈

(DB1-B2004)
11
2 2 cos .
4 sin cos
x
xx
π

++ =



( , ).
4
x kk
π
=± +π ∈

42
x k xkk
ππ
=+ =π∈

(DB2-B2002)
44
sin cos 1 1
cot2 .
5sin2 2 8sin 2
xx
x
xx
+
= −

( , ).
6
x kk
π
=± +π ∈

(DB1-B2002)
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
tan 1 .
cos
xx

(DB1-A2008)
2
tan cot 4cos 2 .xx x= +

( , , ).
42 82
x kx kk
ππ ππ
=+ =−+ ∈

(DB2-A2007)
2
2cos 2 3sin cos 1 3(sin 3cos ).x xx x x+ += +

2
( , ).
3
x kk
π
= +π ∈

(DB1-A2007)
11
sin2 sin 2cot2 .
2sin sin 2
xx x
xx
+− − =

( , ).